通用技术课材料力学

1、A N PF cos 2x F F P sin xA A拉压拉压杆斜截面上的应力公式也可以通过考察杆件上微元 元体，简称微元。所取微元只有左、右面上受有正应x工程力学研究将微元沿指定斜截面（）截开，令斜截面上的正应力和切应和。并令微元斜截面的面积为dA。根据平衡方F nF tdAxdAcoscos dAxdAcossin 工程力学研究 cos 2 1 sin2max 工程力学研究2max cos 2 1 sin22在0的截面（即横截面）上， 取最大值， A在45的斜截面上， 取最大值， x 2在这一斜截面上，除切应力外，还存在正应力，其工程力学研究 x 21、斜截面上的应已1、斜截面上的应已知

2、如下图a所示的一平面应力状yyy naa dd xxxxxxcbcxfy 工程力学研究应力的正负和斜截面夹角的正负规定正应力拉为正，压为负切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反对角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线时，其值为正；反之为负ebfy 工程力学研究1 1 目的：通过应力状态分析求出该点处的x、ax在研究点的周围，取一个由三对互相垂直的平面成的六面体，该六面体的边长分别为无穷小量x、dy和 d，如下图所示。yxz单元体每个面上应力均布；每对相互平行面上的性质相同的应力大小相等；可用截面法求任一截面上的应力。画出下列图中的A、B、C点的已知单元体PAyBPBxC CzM 工程力学

3、研究2 平面应力状态分析主应对图a所示悬臂梁上A点处单元体上的应力分布（图b）可见：有一对平面上的应力等于零，而不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。Fadabcd bAc该应力状态则称为平面应力状态，其单元体可简化为左图所示情形工程力学研究Aeetn 0 dAxdAcoscos xdAcos dAsinsin dAsincos yyett dAxdAcossin xdAcos dAsincos dAsinsin yyeet由此可得，任一斜截面上的应力 x x 2cos sinx 2x 2 cosx工程力学研究例 图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=

4、7kNm。求C点 =30截面yTT FCF C 解：C点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力x F 500103 A4工程力学研究xx Me 76WPy 图示斜截面上应力分量为Cx30 20 2060 060 n0 x 20 cosx 工程力学研究2、应力由任一斜截面上应力分量的计算公式可得 x x 2cos sinx 22 cosx两式两边平方后求 2 2 2 2工程力学研究1）应力y已知 、1）应力y已知 、 、 、 ，n右图，假定xyadex在、 坐标系内按比例尺确定两点： D , fcy D , 工程力学研究2）证对下图所示应力圆可见C点的横坐标OC OB B ED2B2C AC BB

5、 C B OC OB BB /2 y x 1 y22工程力学研究2）证对下图所示应力圆可见C点的横坐标OC OB B ED2B2C AC BB C B CD B B 1 B D 2 2 2121 x工程力学研究而圆方程为： x而圆方程为： xa2 yb2 x2, R 22 2x (,OC2单元体斜截面上应力（，）和应力圆上点的坐标因为圆心一定在轴上，只要知道应力圆上的两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。连接连接D1、D2两点，线段D1D2与轴交于C点D , ED , D , CCCD , 以C为圆心，线段CD1或CD2为半径作圆，即为应 力圆。从D1点按斜截面角的转向转动2得到E点

6、，该点的坐标即为斜截面上的应力分量工程力学研究EOAEOAC BE点横坐标为E FOCCF OCCEcos220OCCEcos20cos2 CEsin20sin 即 Ex 2 x 2cos sinx 工程力学研究EOAC B同理可得E点的纵坐标为 EF E2xcos2可见，E点坐标值即为斜截面上的应力分量值工程力学研究对图对图a所示应力状态，作出应力圆（图b）(a) A , (b) A2min, 主平面：剪应力 =0的平面；可证明： AOC并规定： 1 2 (b) 2AOC1x 2 x 22 2 y 222x 2 2xtan D 1 0 2 1 1 0 102x 例 例 求图a所示应力状态的主

7、应力y=40MPa 解：1、应力圆图解因为： x xy y 所以20 Dx Dy 按一定比例作出应力圆（图b）工程力学研究由应力圆通过直接量取，并考虑主应力的大小关系可得 1 232 30。 15。00主应力单元体以及主平面的方位如图c所示yy=40MPa x工程力学研究进一进一步研究表明，一般斜截面上应力位于图c所示的阴影部分内B因为： D所以，由 、 构成的应力O最大max作用点位于该圆 上，且1 2max作用面为与2平行，与1或3成4角的注意：max作用面上，0工程力学研究A2y2y 22 =40MPa 2 2 tan 240 10030 2 0 03下图所示单元体的应力状态是最普遍的情

8、况，称为一般的空间应力状态。y图中x平面有： x , 图中y平面有： y , 图中z平面有： , , Oddxz在切应力的下标中，第一个表示所在平面，第二个表示应力的方向。空间应力状态共有9空间应力状态共有9个分量，然而，根据切应x, y, z, xy, yz可以证明，对上述应力状态一定可找到一个单元体，其对相互垂直的面都是主平面，其上应力分别1, 2, 该单元体称为主单元体空间应力状态：三个主应力都不平面应力状态：两个主应力不等于零单向应力状态：只有一个主应力不等于零工程力学研究下面分析空间应力状态下的最大正应力和切应考虑图a所示主单元体中斜截面上的应力对与3平行的由图b可知，该面上应力、与

9、无关，由1、2的应力圆来确定同理：和2平行的斜截面上与2无关，由1、3的应力圆确定；和1平行的斜截面上应力与1无关，由、的应力圆确定。工程力学研究例 用例 用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，yx解：由图示应力状态可知20Pa为一主应力，则与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力。工程力学研究BDAAO O 最后依据三个主应力值可绘出三个应力圆，如图d工程力学研究图图b所示平面应力状态对应的应力圆如图cAO 1 2 20MPa 3 解解析法1 )12( ) x 0 o1 3 146.1MPa, 2 3 y2xz工程力学研究4 应力与应变之间的关

10、1、各向同性材料的广义胡克定1）单向应力状态 时， Px E横向 yE zE2）纯剪应力状态 P时 G工程力学研究3）空3）空间六个应力分量 , , , , dd d 对应的六个应x, y, z, xy, yz工程力学研究三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为 xxE yxdEd d E 1 Ex工程力学研究 1 xx Ed 1 yd Ed z E z x1 G G G对平面应力状态：设z=0，xz=0，yz=0 1 xE 1 yE zEG 1若用若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有 1 E 1 E2二向应力状态3 1E 1 设 0, E 12 3E 123E工程力学研究G E21 可

11、见，即使3 =0，但3 而且各向同性材料11E 12 1 2E21 1 23E工程力学研究2、各2、各向同性材料的体应每单位体积的体积改变，称为体积应变，即 V对图示主单元V 而变形后单元体体积为123V11dx12dy13112 31 E1 2 3可见，任一点处的体积应变与三主应力之和成正比工程力学研究对平面纯剪应力状13xy；2因此： 1 E 即在小变形条件下，切应力不引起各向同性材料的体积改变，在空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变有关，并有：12 E工程力学研究例 边长例 边长a 0的铜立方无间地体积较大、变形可忽略的钢凹槽中，如图a所示。已知铜的弹性模量1a，泊松比 04。当

12、受到 N的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体应以大切力。yaxz解：铜块应力状态如图b所示，横截面上的压应力为工程力学研究 F yA受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零压应力，即有 xE zE联解可得 xz11 y工程力学研究a2 1 1E 1 3E例 应变值为1=401-6，161-6。材料的弹性模量E =210GP =0.点处的主应力值数，并求另一应变2的数值和方向。 113 E 12101 9160 0.331 3主应变2 2E21044.3其方向必与1和3例 讨论例 讨论图示各应力状态下的体积应变因为123 所以a 1E因为12 3 所以b 1 E可见：

13、 a 工程力学研究因为： 所以c 因为： 1 2 3 所以d 可见，图c和d所示应力状态下无体积应变工程力学研究已知图示简支梁已知图示简支梁C点45方向的线应变，材料的弹性模量为E，横向变形系数为求载荷。Fhb工程力学研究解：C点的应力状态为纯剪应力状CFb工程力学研究解：C点的应力状态为纯剪应力状C主应力方向如图中红线所1，20，3 1 1 1EEE 3 FS 3 F /3 2 2 工程力学研究解：C点的应力状态为纯剪应力状C主应力方向如图中红线所1，20，31 1 1所以E EE FF 工程力学研究112 15.5MPa，3 1 E 1 3 2C C 例 图例 图示圆截面杆，已知d=100

14、mm, =0.3, 50010 解：取单元FFFMMM A, P 0EF EA0 工程力学研究 1 ( )( 11 (1)2 1 E(1) M (10WPM EWP 1 )1205v 1 2v 2 1 E 2、三2、三向比例加载：图示主单元体中，各上的应力按同一比例增加直至最此时，对每一主应力，其对应的应变能仅与对应的主应变有关，而与其它主应力在该主应变上不作功，同时考虑三个主应力，有：dV 1 dydzdx1 dzdx 2112221 dxdy 2331 21 2 3 工程力学研究而主单元体体积为： dV 则应变能密度为v 1 1 2 3 1 由前述广义虎克定 E1 E 1 有：v E 21

15、 1 2 1 工程力学研究3、形3、形状平均应力： m1 3工程力学研究在m作用下，图b无形状改变，且其体积应变同图 则体积不变，仅发生形状改变与此对应，图的体积改变能密度等于图b能密度，而图a的形状改变能密度等于图所示单元体的应变能密度，即v 1 1 1 V2m m m 22而1 12EEm工程力学研究1、1、空间应力状态的BD最大剪应 O22、广义 1 E 1E 1 E工程力学研究Av v 3 121 V2m 2m 2另外，由图cv 11 11 2 3 222 而E 12E2 1Ev 1d 2 22 23v vV v 1 2x y z xy yz zx 线应变, 弹性模量E、横向变形, 截

16、面尺寸b、 h。求F=?FhLb工程力学研究 1 E平面应力状态2 2 11 E E3、各向同性材料的12 E工程力学研究4、空间应力状态下的应变能密v 23 1 2 1 体积v 1 2V形状v 1 2 2 2d23工程力学研究66 11）塑性屈服：极限应力jx脆性断裂：极限应力jx此时，s、和bjx n其中n2)塑性屈服：极限应力为 jx 脆性断裂：极限应力为 jx 其中，s和bjx n3）复3）复杂max ?研究复杂应力状态下材料破坏的原因，根据一定的假设来确定破坏条件，从而建立强度条件，这就是强度理论的研工程力学研究4）材料破坏的形常温、静载时材料的破坏形式大致可分为脆性断裂例如： 铸铁

17、：拉伸、低碳钢：三向拉应力状态塑性屈服型：例如： 低碳钢：拉伸、扭转等铸铁：三向压缩应力状态根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，。工程力学研究5）强5）强度常用的破坏判据有脆性断裂： l塑性断裂： l下面将讨论常用的、基于上述四种破坏强度理论工程力学研究2、四个常用的强度假设最大拉应力1是引起材料脆性断裂的因素。不论在什么样的应力状态下，只要三个主应力中的最大拉应力1达到极限应力x，材料就发生脆性断裂，即1 强度条件 1n可见：a) 与2、3无关工程力学研究 1n存在问题：没有考虑2、32）假设最大伸长线应变11 11231EE因此有： 1 2 3 n 1 23n实验验证可解释大理石单压时

18、的纵向裂缝铸铁二向、三向拉应力状态下的实验不符工程力学研究假设最大切应力max是引起材料塑性屈服素对低碳钢等塑性材料，单向拉伸时的屈服是由斜截面上的切应力引起的，因而极限应力jx可由单拉时的屈服应力求得 s 21 2 n工程力学研究 sn实验验证： a) 仅适用于拉压性能相同的低碳钢单拉(压)对45滑移二向应力状态基本符合，偏于安全存在问题仅适用于拉压性能相同的材料工程力学研究4）形状改变能密度理论(第四强度理论假设形状改变能密度vd是引起材料塑性屈因素，即v v dd vdjx 可通过单拉试验来确定因为材料单拉屈服时有： 1 s 2 3 所以v d 2 2s又v 1 2 2 2d工程力学研究

19、1212 2 2 223s12 2 2 2 23n实验验证： a)b) r最大拉应力(第一强度)理论r1 r2 12 3最大切应力(第三强度)理论： r3 11 2 2 2r2r 7 强7 强度理论的应应用范围不论塑性或脆性材料，在三向拉应力状态都对塑性材料，除三向拉应力状态外都会发生工程力学研究解：对图a所示应力状态，因 12 2 2 1 2 5工程力学研究2 32 2 2 1 2 5所以 r2 42 1r2 212 223 2 2 32 工程力学研究对图b所示应力状态，有 3 所以r3 1 3 r4 12 2 2 23工程力学研究r3 2 3r例 利用第三或第四强度理论求纯剪应力状态下屈1 2 0 3 当 =s12 3r3 1 3 2 即即r3 由此可得：s 0.5利用第四强度理论，有纯剪： 1r2 2 2 2 3单拉： r4 3s 由此可得 1 s3ss工程力学研究例 两端简支的工字钢梁承受荷载如图a所示。已知材料（Q235钢）的许用应力为=170MPa和= A200C200DB1.66CD截面为危险截 面，取C截面计算，其剪FSC FS,max MC Mmax 84kNm工程力学研究先按正应力强度条件选择截面型号。因最大正应力发生在C先