人教版八年级数学下册正方形(提高)典型例题讲解练习doc

1、【若缺失公式、图片现象属于系统读取不可以功，文档内容齐备圆满，请放心下载。】正方形（提升）责编：康红梅【学习目标】1理解正方形的见解，认识平行四边形、矩形及菱形与正方形的见解之间的隶属关系；2掌握正方形的性质及判断方法【重点梳理】【特其余平行四边形（正方形）知识重点】重点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.重点解说：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特其余菱形，又是特其余矩形，更加特其余平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，仍是有一个角是直角的菱形.重点二、正方形的性质正方形拥有四边形、平行四边形、矩形、菱形的全部性质.边四边相等、邻边垂直、对边平行；角四个

2、角都是直角；对角线相等，相互垂直均分，每条对角线均分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.重点解说：正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的全部性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.重点三、正方形的判断正方形的判断除定义外，判断思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.重点四、特别平行四边形之间的关系也同意表示为：重点五、挨次连结特其余平行四边形各边中点获得的四边形的形状（1）挨次连结平行四边形各边中点获得的四边形是平行四边形.2）挨次连

3、结矩形各边中点获得的四边形是菱形.3）挨次连结菱形各边中点获得的四边形是矩形.4）挨次连结正方形各边中点获得的四边形是正方形.1重点解说：新四边形由原四边形各边中点挨次连结而成.（1）若原四边形的对角线相互垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】种类一、正方形的性质1、（2016?哈尔滨）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQBE于点Q，DPAQ于点P（1）求证：AP=BQ；（2）在不增添任何协助线的状况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长【思

4、路点拨】（1）依照正方形的性质得出AD=BA，BAQ=ADP，再依照已知条件获得AQB=DPA，判断AQBDPA并得出结论；（2）依照AQAP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析【答案与分析】解：（1）正方形ABCDAD=BA，BAD=90，即BAQ+DAP=90DPAQADP+DAP=90BAQ=ADPAQBE于点Q，DPAQ于点PAQB=DPA=90AQBDPA（AAS）AP=BQ2）AQAP=PQAQBQ=PQDPAP=PQDPBQ=PQ2【总结升华】此题主要观察了正方形以及全等三角形，解决问题的重点是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角解题时需要运用：有两角和此中一角的对边对

5、应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等贯串交融：【变式1】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延伸线上，且CEBKAG以线段DE、DG为边作YDEFG求证：DEDG，且DEDG连结KF，猜想四边形CEFK是如何的特别四边形，并证明你的猜想【答案】证明：(1)四边形ABCD是正方形，DCDA，DCEDAG90又CEAG，DCEDAG，EDCGDA，DEDG又ADEEDC90，ADEGDA90，DEDG四边形CEFK为平行四边形证明：设CK，DE订交于M点，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，ABCD，ABCD，EFDG，EFDG；BKAG，KGA

6、BCD四边形CKGD为平行四边形CKDGEF，CKDGEF四边形CEFK为平行四边形【特其余平行四边形（正方形）例9】【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一同，O1、O2是此中两个正方形的中心，则暗影部分的面积是_【答案】2；提示：暗影部分面积等于正方形面积的一半.种类二、正方形的判断32、（2015?闸北区模拟）如图，在RtABC中，BAC=90，AD=CD，点E是边AC的中点，连结DE，DE的延伸线与边BC订交于点F，AGBC，交DE于点G，连结AF、CG1）求证：AF=BF；2）假如AB=AC，求证：四边形AFCG是正方形【思路点拨】（1）依照线段垂直均分线的性质，可得AF=CF

7、，再依照等角的余角相等可得B=BAF，因此AF=BF（2）由AAS可证AEGCEF，因此AG=CF由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形，从而证得四边形AFCG是菱形，最后依照有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形【答案与分析】证明：（1）AD=CD，点E是边AC的中点，DEAC即得DE是线段AC的垂直均分线AF=CFFAC=ACB在RtABC中，由BAC=90，得B+ACB=90，FAC+BAF=90B=BAFAF=BF2）AGCF，AGE=CFE又点E是边AC的中点，AE=CE在AEG和CEF中，AEGCEF（AAS）AG=CF又AGCF，四边

8、形AFCG是平行四边形AF=CF，四边形AFCG是菱形在RtABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF即得点F是边BC的中点又AB=AC，AFBC即得AFC=90四边形AFCG是正方形【总结升华】此题观察的是正方形的判断方法，观察了线段垂直均分线的性质、全等三角形4的判断与性质等基础知识的灵巧运用，鉴别一个四边形是正方形主假如依照正方形的定义及其性质贯串交融：【变式】（2015春?上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个极点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；2）若DG=6，求

9、FCG的面积【答案】1）证明：四边形EFGH为菱形，HG=EH，AH=2，DG=2，DG=AH，在RtDHG和AEH中，RtDHGAEH，DHG=AEH，AEH+AHG=90，DHG+AHG=90，GHE=90，四边形EFGH为菱形，四边形EFGH为正方形；（2）解：作FQCD于Q，连结GE，如图，四边形ABCD为矩形，ABCD，AEG=QGE，即AEH+HEG=QGF+FGE，四边形EFGH为菱形，HE=GF，HEGF，HEG=FGE，AEH=QGF，在AEH和QGF中，AEHQGF，AH=QF=2，DG=6，CD=8，CG=2，5FCG的面积=CG?FQ=22=2种类三、正方形综合应用3、

10、E、F分别是正方形ABCD的边AD和CD上的点，若EBF45求证：AECFEF(2)若E点、F点分别是边DA、CD的延伸线上的点，结论（1）仍建立吗？若建立，请证明，若不建立，写出正确结论并加以证明【答案与分析】证明：（1）延伸DC，使CHAE，连结BH，四边形ABCD是正方形，ABCH90，又ABBC，CHAE，RtBAERtBCH，12，BEBH又13490，445，1345，2345，BEBH,在EBF和HBF中，EBFHBF,BFBF,EBFHBF，EFFHFCCHAECF即AECFEF以以下图：不建立，正确结论：EFCFAE证明：在CF上截取CHAE，连结BH四边形ABCD是正方形，

11、在RtEAB和RtHCB中，AECH,EABHCB90,ABBC,RtEABRtHCB，BEBH，EBAHBCHBCABH90，EBAABH90又EBF45，HBF45，即EBFHBF6BEBH,在EBF和HBF中EBFHBF,BFBF,EBFHBF，EFFHCFCHCFAE，即EFCFAE【总结升华】此题主要观察正方形的性质，全等三角形的性质和判断，重点在于用“截长补短”的方法正确地作出协助线.4、正方形ABCD的对角线交点为O，以以下图，AE均分BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC2FO【思路点拨】在平面几何中，要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1，平常采纳折半2法或加倍法而折半法又

12、可分直接折半法和间接折半法；加倍又可分直接加倍法和间接加倍法这就需要学生认真研究，找到解决问题的适合方法【答案与分析】证法一：(间接折半法)如图所示314，526而12，464535，BEBF取AE的中点G，连结OG，AOOC，OG1EC2由75，83，78，FOGOEC2OG2FO证法二：(直接折半法)如图所示由证法一得BEBF取EC的中点H，连结OHAOOC，OHAEBOHBFEBEFBHOBOBH，FOEHEC2EH2FO证法三：(直接加倍法)如图所示由证法一得BEBF在OD上截取OMOF，连结MC易证RtAOFRtCOM7OAFOCM，AEMC由BMCBFEBEFBCM，FMECECFM2FO【总结升华】若题目中波及线段的倍半关系和中点问题时，要联想中位线定理，利用中点构造中位线，要注意从不一样样的角度进行思构，结构不一样样的协助线来解决问题贯串交融：【变式】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图，易证EGCG，且EGCG(1)将BEF绕点B逆时针旋转90，如图，则线段EG和CG有如何的数目关系和位置关系?请直接写出你的猜想将BEF绕点B逆时针旋转180，如图，则线段EG和CG又有如何的数目关系和地点关系?请写出你的猜想，并加以证明【答案】解：(1)EGCG，且EGCG(2)