六年级几何篇练习进步题集

1、附五大模型概念及用法：一、等积变换模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图S:S=a:b12夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图s=S；ACDBCD反之，如果S=S，则可知直线AB平行于CDACDBCD正方形的面积等于对角线长度平方的一半；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比如图在ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图（或D在BA的延长线上，E在

2、AC上），则S:S=（ABXAC）：（ADxAE）ABCADE图图推理过程连接BE，再利用等积变换模型即可三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：S:S=S:S或者SXS=SXSAO:OC=（S+S）:（S+S）124313241243蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）：CCS:S=a2:b213S:S:S:S=a2:b2:ab:ab；梯形S的对应份数为（a+b）2.四、相似模型相似三角形性质：（金字塔

3、模型）（沙漏模型）（金字塔模型）（沙漏模型）ADAEDEAF=；ABACBCAGS:S=AF2:AG2ADEABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；五、燕尾定理模型S：S-S：S-BE：ECABG:aAGCBGE-aEGC一S:S-S:S-AF:FC；BGA:BGC-AGF:FGC-SaAGC：SaBCG-S-ADG：S-DGB-AD：DB；练习题集：1.（第3届华杯赛试题）一个长方形

4、分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米问：长方形的面积是平方厘米.2.（2007年六年级希望杯二试试题）如图三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D张大伯常走这两条小路，他知道DF-DC，且AD-2DE则两块地ACF和CFB的面积比3.两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？4.如图已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4,那么三角形ABC的面积是多少？CDBECDBE5.（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如图将三角形ABC的AB边

5、延长1倍到D,BC边延长2倍到E,CA边延长3倍到F如果三角形ABC的面积等于1,那么三角形DEF的面积是6.如图，在AABC中延长AB至D，使BD=AB延长BC至E，使CE二1BC,F是AC2的中点，若ABC的面积是2，则ADEF的面积是多少？EE447.如图，在AABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与AN相交于O，若AAOM、AABO和ABON的面积分别是3、2、1,则AMNC的面积是.8.四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所示）如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1，且AO二2,3CDO二3，那么CO的长度是DO的长度的倍.CCC9.如右，已知D是BC中点

6、，E是CD的中点，F是AC的中点,AABC由这6部分组成，其中比大6平方厘米，那么AABC的面积是多少平方厘米？10如右图，长方形ABCD中，EF=16,FG=9，求AG的长.11如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BDB分别交于G、H，已知AH=5cm,HF=3cm，求AGBBBDC12图中四边形ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？BB13如右图，三角形ABC中，BD：DC=4:9,CE：EA=4:3，求AF：FB.CC14如图，三角形ABC的面积是1,BD=DE=E

7、C,CF=FG=GA,三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?15如右图，ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M,AF与BG交于N，已知ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则“ABC的面积是多少平方厘米？16如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE=2BE,CF=2DF，连接BF,DE，相交于点G，过G作MN,PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG,设正方形MGQA的面积为S,正方形PCNG的面积为S，则S:S=1212DFBEPCNBEPC17如图，正方形ABCD的边长为6,AE=1.5,CF二2长方形

8、EFGH的面积为18如图，S=1,BC=5BD,AC=4EC,DG=GS=SE,AF=FG求SABCVFGS19如图，在长方形ABCD中，AB=6,AD=2,AE=EF=FB，求阴影部分的面积.20.如右，已知BD二DC,EC二2AE，三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积.（第六届希望杯五年级一试）如图正方形ABCD的边长是12厘米，E点在CD上，BOAE于O,OB长9厘米，则AE长厘米。ECAEC如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为s，空白部分面积为S，那12么这两个部分的面积之比是多少？（圆周率取3.14）23如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心求阴影部分的

9、面积和.（H周24.（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，AABC中，ZABC=90。,AB=3,BC=5，以AC为一边向AABC外作正方形ACDE，中心为O，求AOBC的面积.25.如图，三角形ABC是等腰直角三角形，P是三角形外的一点，其中ZBPC二90。,AP=10cm，求四边形ABPC的面积.26.（2008年全国小学数学资优生水平测试）如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,ZAEB二90。，AC、BD交于O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积.27长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分

10、面积是多少？（小学生数学报邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？（写出符合要求的全部答案）用10块长5厘米，宽3厘米，高7厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?（05年武汉明心杯数学挑战赛）如图所示，一个5x5x5的立方体，在一个方向上开有lxlx5的孔，在另一个方向上开有2xlx5的孔，在第三个方向上开有3xlx5的孔”剩余部分的体积是多少？表面积为多少？参考答案1.（第3届华杯赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米问：

11、长方形的面积是平方厘米.分析】由于黄色三角形和绿色三角形面积总和是长方形面积的0.5倍，所以黄色三角形面积是长方形面积的0.5-0.15=0.35倍,所以长方形的面积是27十0.35=60平方厘米2.（2007年六年级希望杯二试试题）如图，三角形田地中有两条小路AE和CF交叉处为D张大伯常走这两条小路，他知道DF二DC，且AD=2DE则两块地ACF和CFB的面积比FBBFBB【分析】方法一：连接BD设MED的面积为1,BED的面积x,则根据题上说给出的条件，由DF=DC得，S=SBDCBDF即5BDF的面积为x+1、s=S;ADCADF又有AD=2DE，S=S=2S=2、S=2S=2x，而AD

12、CADFCDEABDBDES=x+1+2=2x；ABD得x=3，所以S:S=(2+2):(1+3+4)=1:2.ACFCFB方法二：连接BD，设S=1(份)，则S=S=2，设S=xS=y则CEDACDADFBEDBFD有|x+1=y，解得$=3，所以S:S=(2+2):(4+3+1)=1:22x=y+2y=4acfcfb方法三：过F点作FGIIBC交AE于G点，由相似得CD:DF=ED:DG=1:1，又因为AD=2DE，所以AG:GE=AF:FB=1:2，所以两块田地ACF和CFB的面积比=AF:FB=1:23.两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7

13、，7，则阴影四边形的面积是多少？AA分析：方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形。设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF=FE，再连结DE。所以三角形DEF的面积为3设三角形ADE的面积为x，则x(3+3)=AD:DB=(x+10):10，所以x=15，四边形的面积为18。方法二：连接AF,用燕尾定理解4.如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4,那么三角形ABC的面积是多少？VDBCVDBCDBEDBECBEDBEDBECBE分析：方法一：连接对角线AET

14、ADEF是长方形二S=S=-SAADEAAEF2XADEFDBS3FCS1=AADB二,=AACF=DES8EFS2AADEAAEFBEDEDB5CEFECF1DEDE8，EF_EF21515S二_X_xx16二ABEC282213S=SSSS=AABCXADEFAADBAACFACBE2方法二：连接BF,由图知SABF=16+2=8，所以s=168方法二：连接BF,由图知SABFBEFS=4，恰好是AAEF面积的一半,所以C是EF的中点,因此ACFS=S=5+2=2.5，所以S=16-342.5=6.5BCEBCFABC5.（北京市第一届“迎春杯”刊赛）如图将三角形ABC的AB边延长1倍到D

15、,BC边延长2倍到E,CA边延长3倍到F如果三角形ABC的面积等于1,那么三角形DEF的面积是分析】（法1）连接AE、CDTS-VABCVABCSVABCAAMONS=1.VDBC同理可得其它，最后三角形DEF的面积=18.（法2）用共角定理在VABC和VCFE中，ZACB与ZFCE互补，SAC-BC1x11VABC=SFCCE4x28VFCE又S=1,所以S=8.VABCVFCE同理可得S=6，S=3VADFVBDE所以S=S+S+S+S=1+8+6+3=18VDEFVABCVFCEVADFVBDE6.如图，在ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=1BC,F是2AC的中

16、点，若AABC的面积是2，则5DEF的面积是多少？EE分析：（法1）利用共角定理在AABC和ACFE中，ZACB与ZFCE互补，SAC-BC2x24ABC=SFCCE1x11FCE又S=2,所以S=0.5VABCVFCE同理可得S=2，S=3ADFBDE所以S=S+S+S-S=2+0.5+32=3.5DEFABCCEFDEBADF47.如图，在AABC中，已知M、N分别在边AC、BC上，BM与4AN相交于O，若AAOM、AABO和ABON的面积分别是3、2、1,则AMNC的面积是.分析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求3x3x1=3Y2根据蝴蝶定理得S=abonAMONSA

17、AOB根据共边定理我们可以得SSAANM=AABMSSAMNCAMBC3+2解得x=22.5C&四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所示）.如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的-，且AO=2,C3DO=3，那么CO的长度是DO的长度的倍.分析对于四边形ABCD为任意四边形，两种处理方法：1利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；2通过画辅助线来改变任意四边形根据题目中给出条件S:S=1：3,AABDABCD可得AO:OC=1:3OA=2，所以OC=2x3=6故OC:OD=6:3=2:19.如右图，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点，AABC由这6部分组成，

18、其中比大6平方厘米，那么AABC的面积是多少平方厘米？【分析】解法一：因为E是DC中点，F为AC中点，有AD=2FE且FE平行于AD，则四边形ADEF为梯形.在梯形ADEF中有二，x二x，:二AD2:FE2=4.又已知-=6,所以=6十（4-1）=2，二x4=8；所以x二乂二2x8=16，而二，所以二=4,梯形ADEF的面积为、四块图形的面积和，为8+4+4+2=18.有ACEF与ADEF的面积相等，为2+4=6.所以AADC面积为18+6=24.AABCAACD因为D是BC中点，所以AABC的面积是：S=2S=2x24=48AABCAACD解法二：如右图所示：题上给出了S=S+6，所以S=S

19、+6；AADGAEFGAADEADEF因为E是CD的中点，F是AC的中点，由共边定理得：S=S=2xS=2xS；AADEAAECAECFADEF所以由上面的分析得到：S+6=2xS,S=6；ADEFADEFADEF进一步共边原理可得：S=2xS=4xS=8xS=8x6=48（平方厘米）AABCAADCAAECADEF同样这个题目可以用相似模型也能解10如右图，长方形ABCD中，EF=16,FG=9，求AG的长.【分析】因为DAIIBE，根据相似三角形性质知经=AG，又因为DFIIAB農=学GBGEGBGAA771所以-=，即AG2=GE-FG=25x9=225=152,所以AG=15.GEGA

20、11如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD另交G、H，知AH=5cm，HF=3cm，求AG【分析】注意三角形AHB和三角形DHF相似，利用三角形相似的性质可以得到AB:DF=AH:HF=5:3，作EO垂直于AD，且交AF于点O，又因为E为AD中点，则有OE:DF=1:2,2所以AB:OE=5:-=10:3,211AG:GO=10:3,AO=-AF=-x(5+3)=4,22所以AG=所以AG=410 x=13401312图中四边形ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？BC

21、BCBCBC【分析】根据题中条件，我们可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相似，这样，我们就可以用相似三角形的性质来解决问题做GM垂直DC交AB于N，因为EFllDC,所以三角形GEF与三角形GDC相似，且相似比为EF:DC=4:12=1:3,由此我们可以得GN:GM=1:3，又因为MN=GM-GN，且MN=12cm,所以MN:GM=2:3，得GM=18,故三角形GDC故三角形GDC的面积为1x12x18=108Cm2）13如右图，三角形ABC中，BD:DC=4:9,CE：EA=4:3，求AF：FB.【分析】根据燕尾定理得S:S=BD:CD=4:9=12:27AOBAO

22、CS:S=AE:CE=3:4=12:16AOBBOC（都有AAOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S:S=27:16=af:FBAOCBOC14如图，三角形ABC的面积是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA,三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?分析设BG与AD交于点P,BG与AE交于点Q,BF与AD交于点M,BF与AE交于点N连接CP,CQ,CM,CN.根据燕尾定理，S:S=AG:GC=1：2,S:S=BD:CD=1：2，设ABPCBPABPACPS=1（份），则S=1+2+2=5（份），所以S=1ABPABCABP5同理可得S2fS1/S,而S1S所以S213，Q1

23、21S=一=-AQG3721ABQ7ABN2ABG3APQ7535同理，S二丄S-丄，所以S1239/BPM35BDM21四边形PQMN273570c1395c1151S二二,S二一一二一四边形mned3357042四边形nfce321426S四边形GFNQ111S四边形GFNQ11121654215如右图，ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M,AF与BG交于N，已知ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则AABC的面积是多少平方厘米？【分析】连接CM、CN根据燕尾定理，SABM:S=AG:GC【分析】连接CM、CN根据燕尾定理，SABM:S

24、=AG:GC=-:-，S:S=BD:CD=-:3，所CBMABMACM以S=-SABM5ABC再根据燕尾定理，S:S=SABNFBNCBNS-42S24+37AFC根据题意，有-S5ABCSABN:SFBN，所以SFCGN:SCBN二4:3=AG:GC=1:1，所以，所以AN:NF=4:3，那么fi-2I7丿AFC=X丄S=S74ABC28ABC-S=7.2，可得S28ABCABC=336（平方厘米）16如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，且CE=2BE,CF=2DF,连接BF,DE，相交于点G，过G作MN,PQ得到两个正方形MGQA和正方形PCNG，设正方形MGQA的面积为S

25、，正方形PCNG的面积为S，则-2S:S=-2AMBQQDAMBQQDFNC【分析】解法一：求两个正方形的面积比，实际上就是求QG:GP，根据正方形的性质，可以得到：QG:GP=DG:GE;连接GC，根据CF=2DF，s:S=1:2,ADGFAGFC而S=S(对称)，所以得S:S=(2+1):2=3:2,AECGAFCGADCGAECG即DG:GE=3:2，所以QG:GP=DG:GE=3:2所以S:S=32:22=9:412解法二：连接BD、EF.设正方形边长为3，则CE=CF=2，BE=DF=1，所以，EF2=22+22=8，BD2=32+32=18.因为，EF2BD2=8x18=144=1

26、22，所以，EF-BD=12.由梯形蝴蝶定理，得S:S:S:SAGEFABDGADFGABGE=EF2:BD2:EFBD:EFBD=8:18:12:12=4:9:6:6所以，s=6S=S-ABEG4+9+6+6四边形BDFE25四边形BDFE因为S=3X3一2=-,S=2X2x-=2，所以，S=S-S=-,ABCD2ACEF2BDFEABCDACEF2所以，S二色x5=3.因为正方形PCNG的边长等于BEG底边BE对应的高，ABEG2-2-所以，CN=3x2-1=6,ND=3-6=9.因为S=9x9=81,S=6x6=36,5555-552525525所以，s:S=81:36=9:4.1225

27、2517如图正方形ABCD的边长为6,AE=1.5CF二2长方形EFGH的面积为GGDG=GSDG=GS=SE,AF=FG求SVFGSC【分析】连接DE,DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积S=6X61.5X6+22x6+24.5x4+2=16.5，所以长方形EFGH面积为33DEF18.如图，S=1，BC=5BD，AC=4EC，ABC分析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找

28、点，最妙的是其中包含了找点的3种情况最后求得s的面积为S=4X3X2X1X1=丄FGSFGS543221019如图，在长方形ABCD中，AB=6,AD=2,AE=EF=FB，求阴影部分的面积.OO【分析】如图，连接DE,DE【分析】如图，连接DE,DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为2x6十3十22.由于EF:DC1:3，根据梯形蝴蝶定理，s:S3:1,所以s3S，VDEOVEFOVDEO4VDEF而SS2，所以s3X21.5，阴影部分的面积为2+1.53.5.VDEFVADEVDEO420如右图，已知BDDC,EC2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.分析：

29、连接CF,因为BDDC,EC2AE,三角形ABC的面积是30,所以S1S10,S1S15.AABE3AABCAABD2AABC根据燕尾定理，AABF丛-1,需BD1,sEC2sCDACBFVACF所以S1S7.5,S15-7.57.5.AABF4AABCABFD所以阴影部分面积是30-10-7.512.5.21.（第六届希望杯五年级一试）如图正方形ABCD的边长是12厘米,E点在CD上，BO丄AE于O,OB长9厘米，则AE长厘米。【分析】在四边形OECB中，Z2+ZOEC=180。，因为上3+ZOEC=180。，所以Z3=/2,Z1DAC，所以,兰=OB，即12=2，所以Z1DAC，所以,AE

30、ADAE1222.如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为s，空白部分面积为S，那12么这两个部分的面积之比是多少？（圆周率取3.14）分析】如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形设大圆半径为r,则s=2r2,Sr2-2r2,所以21S:S=（3.14-2）:2=57:100.12移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系.如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心求阴影部分的面积和（圆周率取3.14）分析将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为5x5x3.14一2=39.25cm224.（2008年武汉明

31、心奥数挑战赛）如图所示，AABC中，ZABC=90。,AB=3,BC=5，以AC为一边向AABC外作正方形ACDE，中心为O，求AOBC的面积.解析：如图，将AOAB沿着O点顺时针旋转90。，到达AOCF的位置.由于ZABC=90。，ZAOC=90。，所以ZOAB+ZOCB=180。.而ZOCF=ZOAB，所以ZOCF+ZOCB=180。，那么B、C、F三点在一条直线上.由于OB=OF,ZBOFZAOC=90。，所以ABOF是等腰直角三角形，且斜边BF为5+3=8，所以它的面积为82x1二16.4根据面积比例模型,AOBC的面积为16x5=10.825.如图，三角形ABC是等腰直角三角形，P是

32、三角形外的一点，其中ZBPC=90。,AP=10cm，求四边形ABPC的面积.CCCC分析因为ZBAC和ZBPC都是直角，和为180。，所以ZABP和ZACP的和也为180。,可以旋转三角形APC，使AC和AB重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形APP，面积为10 x10-2=50平方厘米.26.（2008年全国小学数学资优生水平测试）如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,ZAEB二90。，AC、BD交于O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积.CBACBA分析如图，连接DE，以A点为中心，将AADE顺时针旋转90。到AABF的位置.那么ZEAF

33、=ZEAB+ZBAF=ZEAB+ZDAE=90。，而ZAEB也是90。，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF=AE=3,所以梯形AFBE的面积为：（3+5）x3x=12（cm2）.2又因为AABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2=AE2+BE2=32+52=34,所11以S=AB2=17(cm2).AABD2那么S=S-(S+S)=S-S=17-12=5(cm2),ABDEAABDAABEAADEAABDAFBE所以S=S=2.5(cm2).AOBE2ABDE27长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？解法二：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：可得：S=S、S=S、S=S，而AEHB2AAHBAFHB2ACHBADHG2ADHCS=S+S+S=36ABCDAAHBACHBACHD即S+S+S=(S+S+S)=X36=18；AEHBABHFADHG2AAHBACHBACHD2而S+S+S=S+S，AEHBABHFADHG阴影AEBFS=xBExBF=x(xAB)x(xBC)=x36=4.5.AEBF22228所以阴影部分的面积是：S=18-S=18-4.5=13.5阴影AEBF解法二：特殊点法找H的特殊点，把H点与D点重