2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第5章 第1节　平面向量的概念及线性运算

1、 平面向量的概念及线性运算考试要求1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线

2、向量，规定：0与任意向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求两个向量差的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算| a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab3.向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得ba.提醒：当a0时，定理中的实数才唯一，否则不唯一常用结论1P为线段AB的中点，O为平面内任意一点eq o(OP,s

3、up6()eq f(1,2)(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()2若G为ABC的重心，则有(1)eq o(GA,sup6()eq o(GB,sup6()eq o(GC,sup6()0；(2)eq o(AG,sup6()eq f(1,3)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()3首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量4若eq o(OP,sup6()veq o(OP1,sup6()eq o(OP2,sup6()(、v为常数)，则P，P1，P2三点共线的充要条件是v1.5对于任意两

4、个向量a，b，都有：(1)|a|b|ab|a|b|；(2)|ab|2|ab|22(|a|2|b|2) 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反()(2)若向量eq o(AB,sup6()与向量eq o(CD,sup6()是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(3)若ab，bc，则ac.()(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1.如图，D，E，F分别是ABC各边的中点，则下列结论错误的是()A.eq o(EF,sup6()eq o(CD,sup6()B.eq o(AB,s

5、up6()与eq o(DE,sup6()共线C.eq o(BD,sup6()与eq o(CD,sup6()是相反向量D.eq o(AE,sup6()eq f(1,2)|eq o(AC,sup6()|Deq o(AE,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()，故D错误2设向量a，b不共线，向量ab与a2b共线，则实数_.eq f(1,2)ab与a2b共线，存在实数使得ab(a2b), eq blcrc (avs4alco1(，,21，)eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)，,f(1,2).)3已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq o(OA,sup6(

6、)a，eq o(OB,sup6()b，则eq o(DC,sup6()_，eq o(BC,sup6()_.(用a，b表示)baab如图，eq o(DC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()ba，eq o(BC,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()ab.4化简：(1)(eq o(AB,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OM,sup6()_.(2)eq o(NQ,sup6()eq o(QP,sup6()eq o

7、(MN,sup6()eq o(MP,sup6()_.(1)eq o(AB,sup6()(2)0(1)原式eq o(AB,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(MB,sup6()eq o(AB,sup6().(2)原式eq o(NP,sup6()eq o(PN,sup6()0. 考点一平面向量的概念1. 下列命题中的真命题是()A若|a|b|，则abB若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C若ab，bc，则acDab的充要条件是|a|b|且abBA不正确两个向

8、量的长度相等，但它们的方向不一定相同B正确eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，|eq o(AB,sup6()|eq o(DC,sup6()|且eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|eq o(AB,sup6()|eq o(DC,sup6()|，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()且eq o(AB,sup6()，eq o(DC,sup6()方向相同，因此eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6().C不正确因为零向量与任一非零

9、向量都平行，当b0时，a与c不一定平行D不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件故选B.2(2021合肥模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq f(a,|a|)eq f(b,|b|)成立的充分条件是()AabBabCa2bDab且|a|b|C因为向量eq f(a,|a|)的方向与向量a方向相同，向量eq f(b,|b|)的方向与向量b方向相同，且eq f(a,|a|)eq f(b,|b|)，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a2b时，eq f(a,|a|)eq f(2b,|2b|)eq f

10、(b,|b|)，故a2b是eq f(a,|a|)eq f(b,|b|)成立的充分条件3如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EFAB，则下列等式中成立的是()A.eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6() B.eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()C.eq o(PE,sup6()eq o(PF,sup6() D.eq o(EP,sup6()eq o(PF,sup6()D根据相等向量的定义，分析可得eq o(AD,sup6()与eq o(BC,sup6()不平行，eq o(AC,sup6()与eq o(B

11、D,sup6()不平行，所以eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(AC,sup6()eq o(BD,sup6()均错误，eq o(PE,sup6()与eq o(PF,sup6()平行，但方向相反，故不相等，只有eq o(EP,sup6()与eq o(PF,sup6()方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以eq o(EP,sup6()eq o(PF,sup6().解答与向量有关概念的四个关注点(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，可以比较大小(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是

12、相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈(4)非零向量a与eq f(a,|a|)的关系：eq f(a,|a|)是与a同方向的单位向量 考点二平面向量的线性运算向量的线性运算典例11如图，在四边形ABCD中，ABCD，ABAD，AB2AD2DC，E为BC边上一点，且eq o(BC,sup6()3eq o(EC,sup6()，F为AE的中点，给出下列命题：eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()；eq o(AF,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()；eq o(

13、BF,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()； eq o(CF,sup6()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6().其中正确命题的序号为_ ABCD，ABAD，AB2AD2DC，由向量加法的三角形法则得eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq o(AD,s

14、up6()，正确；eq o(BC,sup6()3eq o(EC,sup6()，eq o(BE,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()，eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)o(AB,sup6()f(2,3)o(AD,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6().又F为AE的中点，eq o(AF,su

15、p6()eq f(1,2)eq o(AE,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()，正确；eq o(BF,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()，正确；eq o(CF,sup6()eq o(CB,sup6()eq o(BF,sup6()eq o(BF,sup6()eq o(BC,sup6()e

16、q f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(AB,sup6()o(AD,sup6()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()，错误故正确命题为.根据向量线性运算求参数典例12在ABC中，延长BC至点M使得BC2CM，连接AM，点N为AM上一点且eq o(AN,sup6()eq f(1,3)eq o(AM,sup6()，若eq o(AN,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，则()A.eq f(1,3)B.eq

17、 f(1,2)Ceq f(1,2)Deq f(1,3)A由题意，知eq o(AN,sup6()eq f(1,3)eq o(AM,sup6()eq f(1,3)(eq o(AB,sup6()eq o(BM,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq f(3,2)eq o(BC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()，又eq o(AN,sup6()eq o(AB,sup6()

18、eq o(AC,sup6()，所以eq f(1,6)，eq f(1,2)，则eq f(1,3).平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)求已知向量的和或差共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用向量减法的几何意义；求首尾相连向量的和用三角形法则(2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值跟进训练1(1)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq o(EB,sup6()()A.eq f(3,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup6() B.eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(

19、3,4)eq o(AC,sup6()C.eq f(3,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup6() D.eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(3,4)eq o(AC,sup6()(2)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若eq o(AB,sup6()xeq o(AE,sup6()yeq o(AF,sup6()(x，yR)，则xy_.(1)A(2)2(1)法一：如图所示，eq o(EB,sup6()eq o(ED,sup6()eq o(DB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o

20、(CB,sup6()eq f(1,2)eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(3,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup6()，故选A.法二：eq o(EB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(3,4)eq

21、 o(AB,sup6()eq f(1,4)eq o(AC,sup6()，故选A.(2)由题意得eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()，eq o(AF,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DF,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()，因为eq o(AB,sup6()xeq o(AE,sup6()yeq o(AF,sup6()，所以eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(xf(y,2)eq

22、 o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)y)eq o(AD,sup6()，所以eq blcrc (avs4alco1(xf(y,2)1，,f(x,2)y0，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(4,3)，,yf(2,3)，)所以xy2. 考点三共线向量定理的应用典例2设两个非零向量a与b不共线(1)若eq o(AB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()2a8b，eq o(CD,sup6()3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：eq o(AB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()2a8b，eq o(CD,sup6()3(ab)，eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5eq o(AB,sup6().eq o(AB,sup6()，eq o(BD,sup6()共线又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)kab和akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是两个不共线的非零向量，kk10，k210，k1