第五章 弹性力学问题的建立和一般

1、第五章 弹性力学问题的建立和一般原理 5-1 弹性力学的基本方程及其边值问题 5-2 按位移求解弹性力学问题 5-3 按应力求解弹性力学问题 5-4 弹性力学问题的一般原理 5-5 弹性力学的简单问题 5-1 弹性力学的基本方程及其边值问题 弹塑性力学的任务是研究各种具体几何尺寸的弹性、弹塑性体在各种几何约束及承受不同外力作用时，发生于其内部的应力分布与变形（或位移）规律。 弹塑性力学所求解的大多数问题都是超静定问题，因此其基础理论的建立来自三个方面的客观规律： （1）平衡方程； （2）几何方程； （3）本构方程。 1平衡（运动）微分方程：（51）式中 为单位体积的质量。若式（51）不等于零，

2、则表示物体内质点处于运动状态（如弹性波的传播问题），则根据达朗伯原理需增加括号内惯性力一项。 2几何方程： (52) 几何方程不涉及材料的变形，对于任何连续体，不论是弹性体、弹塑性体都是成立的。3本构方程（物理方程）：（1）用应力表示应变的表达式为：（54）3本构方程（物理方程）：（2）用应变表示应力的表达式为：（54）应变协调方程： 总之，当物体发生变形时，不论弹性变形或塑性变形问题，共有 3 个平衡微分方程，6 个几何方程和 6 个本构方程，共计 15 个独立方程（统称泛定方程）。而问题共计有 、 15个基本未知函数。 因此，在给定边界条件时，问题是可以求解的。弹塑性静力学的这种问题在数学

3、上称为求解边值问题。 任何一个固体力学参量在具体受力物体内一般都是体内各点（x, y, z）的函数，它们满足的方程相同。然而由于物体几何尺寸的不同，载荷大小与分布的不同，必然导致物体内各点应力、应变与位移的大小和变化规律是千变万化的，也就是说，单靠这些方程是不足以解决具体问题的。 从力学观点上来说，所有满足方程的应力、应变和位移，也应该同时满足物体（表面）与外界作用的条件，也即应力边界条件和位移边界条件； 而从数学观点上来说，就是要满足具体问题的定解条件，也即边界条件(或初始条件)。 于是，弹塑性力学的基本方程组和边界条件一起构成了弹塑性力学边值问题的提法。4边界条件：（1）应力边界条件： （

4、55）（2）位移边界条件： （56（3）混合边界条件： （55）通常在求解弹塑性静力学问题时，已知的条件是： (1) 物体的形状、尺寸和材料的物性参数； (2) 物体所受的载荷（包括体力和面力），以及物体的约束条件。根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题分为以下三类： 第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。 第二类边值问题：给定物体的体力和物体表面各点的位移，求在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场，即所谓边界位移已知的问题。 第三类边值问题：在物体表面上，一部分边界(S)上给定面力，其余部分边界Su上给定位移(或在一部分边界上既

5、给定外力又给定位移)的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。在求解弹塑性边值问题时，有三种不同的解题方法，即： (1) 位移法 即以位移分量作为基本未知量，来求解边值问题。 此时将一切未知量和基本方程都转换成用位移分量来表示。 通常给定位移边界条件的边值问题，宜用此法。 (2) 应力法 即以应力分量作为基本未知量，来求解边值问题。 此时将一切未知量和基本方程都转换成用应力分量来表示。 通常当给定应力边界条件时，宜用此法。 (3) 混合法 即以一部分位移分量和一部分应力分量作为基本 未知量，来混合求解边值问题。显然，这种方法适宜于求 解混合边值问题。（1）逆解法：设位移或应力的函数式是已知的，

6、然 后代入上述有关方程中求得应变和应力或应变 和位移，并且要求满足边界条件。如果验证能 满足或近似满足一切基本方程与边界条件，就 可把所选取的解作为所要求的解。在弹塑性力学解题方法中还经常采用如下方法: （2）半逆解法：也称凑合解法。所谓半逆解法就是在 未知量中，先根据问题的特点假设一部分应力或 位移为已知，然后在基本方程和边界条件中，求 解另一部分，这样便得到了全部未知量。在具体 计算中对于简单问题经常先利用材料力学中对同 类型问题的初等解作为近似解，建立应力（或位 移）函数再代入弹性力学的基本方程中逐步修正 得到精确解。 5-2 按位移求解弹性力学问题 为用位移作为基本未知量，必须将泛定方

7、程改用位移 u、v和 w 来表示。为此，由几何方程再利用物理关系可得： 经推导可得下列用位移表示的平衡微分方程，也称拉梅位移方程，其形式为：拉梅位移方程式（5-11）可缩记为：（5-12）用位移分量表示的应力边界条件为： 按位移求解弹性力学问题归结为：在求解问题时，要使所求的位移函数 u、v、w 在物体内部满足拉梅位移方程式，在边界上满足边界条件（5-15）或满足直接给出的位移边界条件，再将所求得的位移分量代入几何方程求出应变和代入本构方程求出应力。 应力边界条件可以用位移分量来表示，单从这一点上讲，按位移求解问题是普遍适用的方法。特别是在数值解中位移解法得到了广泛的应用，例如在有限单元法、差

8、分法等数值计算方法中，得到了很好地应用。例5-1 设有半空间体，单位体积的质量为 ，在水平边界面上受均布压力 q 的作用，试用位移法求各位移分量和应力分量，并假设在 z = h处 z 方向的位移 w = 0，如图5-1所示。 解 由于载荷和弹性体关于z轴对称，并且是半空间体，可以假设： 因此体积应变为： （1） 而：（2）将式(1)、(2)代入拉梅方程式(5-11)的前两式后，可得恒等式，而第三式则为：（3） 或：（4）式 (5) 中常数 A、B可由边界条件确定。在边界上有：代入式应力边界条件的前两式得恒等式，第三式为： （6）或：将(4)式积分后得：（5）化简后得：（7）（8）由前面所得 w

9、 的表达式(5)可得： 由上式和条件 ，得：将常数 A 和 B 代入 w 的表达式 (5) 后，得位移解为：（11）（12）得应力解为：5-3 按应力求解弹性力学问题 对于在物体的边界上给定了表面力的问题，除可以按位移求解外，也可以按应力去求解，此时以六个应力分量作为基本未知量，从基本方程中消去位移和应变，得到关于应力的偏微分方程组。 首先，待求的应力分量应满足平衡微分方程，仅平衡微分方程还不足以求解应力分量，必须建立有关应力的补充方程。 第三章已推导得应变协调方程 ： 经进一步推导可得用应力分量表示的六个变形协调方程： 为贝尔特拉米-米歇尔(Beltrami-Michell)方程。 当体力为

10、零或为常量时，贝尔特拉米-米歇尔(Beltrami-Michell)方程，可简化为： 按应力求解弹性力学问题就归结为：所求的应力分量应满足平衡微分方程(5-2)和变形协调方程(5-16)，应力分量在边界上应满足应力边界条件式(5-8)。 在求得应力分量后，通过弹性本构方程求得应变分量，再根据几何方程求出位移。 例5-2 当不计体力时，若应力分量为： 验证此组应力分量能否作为弹性力学问题的可能解。解: 一组应力分量能否作为弹性力学问题的可能解，需验证它是 否满足平衡微分方程和用应力表示的变形谐调方程。 现将给定的应力分量代入下式，各式均能满足。再将给定的应力分量代入平衡微分方程，前两式恒等地满足

11、，而第三式成为：故此组应力分量不能作为弹性力学问题的可能解。例5-3 长度为l 的等直杆件，其截面为2b2h，杆端受弯矩M的作用，不计体力，如图5-2所示。试求应力分量。解: 用半逆解法。建立如 图所示坐标系，据材料 力学中关于梁纯弯曲时应力的分析，可设梁内任一点处应力状 态的六个独立应力分量除 外，其余均为零，也即： （1） 将式(1)代入平衡微分方程，得：（2）亦即与 x 无关，它仅是坐标 y 和 z 的函数。再将式(1)代入变形协调条件式(5-17)得： 得： （3）将式(4)代入式(3)第三式，得：（5）由式(3)第一式得：（4）将式 (4) 再代入式 (3) 第二式，得：（6） 因此

12、，式(4)可写成： （7）式(7)中 c1, c2, c3 为待定常数，由问题的边界条件来确定。 若将坐标原点取在横截面的形心上，并设oxz平面为弯矩M作用平面，则在平行于Oyz 的平面上，梁自由端处局部边界上应满足的静力合成积分形式的边界条件为：（8）将式 （7） 代入式 （8）确定待定常数，再代入式（8）得该问题的应力分量为： （9）5-4 叠加原理、圣维南原理叠加原理 描述 作用在物体上的两组外力(包括表面力和体积力)的总和在物体内部所产生的效果(应力、应变及位移等)，等于此两组外力分别作用效果的总和。 或者说物体受两组载荷共同作用时的应力或位移场就等于每组载荷单独作用时的应力或位移场之

13、和，且与加载顺序无关。叠加原理Chapter 6.5设第一组载荷为体力 和面力 ，第二组为体力和面力 ，它们引起的应力和位移场分别为 和及 和 ，且仅考虑线弹性小变形情况，则联合载载引起的应力和位移场为具体阐述为：叠加原理Chapter 6.5下面以应力解法为基础证明叠加原理的正确性：将叠加后的载荷代入应力解法各个方程后有： 代入平衡方程 应力协调方程 力边界条件叠加原理Chapter 6.5由于上述各式是线性微分方程或是代数方程，根据线性方程的性质将上述各式改写成：由前提假设， 和 分别是载荷 和单独作用时的解，根据它们满足的平衡方程，B-M方程和力边界条件可直接判断上述各式的等号是成立的。

14、因而证明了叠加后的应力场能满足应力解法的全部方程和边界条件，由此叠加原理得证。同理可以类似证明位移叠加原理的正确性。叠加原理Chapter 6.5叠加原理小结 叠加原理用于位移边界条件时要求总位移满足给定的边界条件，而 和 单独不一定要满足位移边界条件。 对于大变形情况，几何方程将出现非线性项，平衡方程也受到变形的影响，因为叠加原理不再适用。例如：同时受轴向和横向力的梁的纵横弯曲问题，薄壁构件的弹性稳定性问题，板壳结构的大挠度问题。叠加原理Chapter 6.5 对于非线性弹性材料或弹塑性材料，本构方程是非线性的；对于载荷随变形而变化的非保守力系情况或边界用非线性弹簧支撑的约束情况，边界条件是

15、非线性的；叠加原理对这些情况都将失效。解的唯一性定理Chapter 6.6 无初应力的线弹性问题的解是唯一的 给“试凑”解法提供了理论基础解的唯一性定理Chapter 6.6下面给出定理的证明（反证法）：先假设存在两种不同的解，它们的位移场和应力场 及 都满足基本微分方程和给定边界条件。然后证明，对线性弹性问题两解之差必为零，因而只能有唯一解。解的唯一性定理Chapter 6.6 由前提假设， 及 是同一物体在同一载荷 及相同边界条件下的两个解，它们都满足平衡方程 力边界条件 位移边界条件(在V内) (在S上) (在Su上)解的唯一性定理Chapter 6.6 把以上左右两式对应相减，由叠加原

16、理可知，两解之差 必然满足无体力平衡方程 和齐次边界条件解的唯一性定理Chapter 6.6将(1)式两边乘ui，对体积V积分，并利用高斯公式得 其中第一项面积分的积分域为S= S+Su,根据(2)和(3)式，被积函数在边界上总有一个因子ui或ijj为零，所以第一项等于零。再利用ij的对称性和线弹性应变能公式，上式可化为解的唯一性定理Chapter 6.6 对于线弹性问题应变能处处正定，故上式要求W=0，即两解之差是ij0和ij0的无变形状态，因而 于是证明了应力场和应变场的解是唯一的。 解的唯一性定理小结一般说，位移场 和 之间还可能差一个刚体位移，但是绝大多数弹性力学问题都给定足以限制刚体

17、运动的位移约束条件，因而位移场的解也是唯一的。 以上证明的前提是叠加原理、应变能正定性和应力张量对称性。线弹性理论能自动满足这些条件，因为线弹性问题的解是唯一的。 无论用什么方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。解的唯一性定理Chapter 6.6 不满足唯一性定理的情况 (1) 材料非线性 (2) 几何非线性 (3) 载荷与变形耦合问题（边界条件非线性） (4) 有初应力的情况圣维南原理Chapter 6.7 静力等效原理 若把作用在物体局部表面上的外力，用另一组与它静力等效（合力与合力矩与它相等）的力系来代替，则这种等效处理对物体内部应力应变状态的影响将随远离该局部作用区的距离增加而迅速衰减。 没有严格的数学证明，仅为事实所验证圣维南原理Chapter 6.7 局部影响原理 由作用在物体局部表面上的自平衡力系（合力与合力矩为零）所引起的应力和应变，在远离作用区（距离远大于该局部作用区的线性尺寸）的地方将衰减到可以忽略不计的程度。 应当指出： 所谓“静力等效”，就是有相同的主矢和主矩。 所谓“局部表面”，系指该表面的面积