函数单调性以及曲线凹凸性

1、关于函数单调性和曲线凹凸性第1页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四定理1.(函数单调性的判别法).(1)若x(a,b)有 f (x) 0. 则y=f (x)在a,b上单调增加;(2)若x(a,b)有f (x) 0.则y=f (x)在a,b上单调减少;设y=f (x)C(a,b), 且在(a,b)内可导.证: x1, x2 a,b 且x10,则f ( )0.故f (x2) f (x1)0, 即 f (x2) f (x1). (2)若f (x)0, 则f ()0. 故f (x2) f (x1)0, 即 f (x2) f (x1). f (x2 ) f (x1 )= f ()(x

2、2 x1 ) (x1 x2)根据Lagrange中值定理,得出由x1, x2 在a,b上的任意性知f (x)在a, b上单调增加.于是f (x)在a,b上单调减少.第3页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例1. 讨论y=lnx在(0, +)上的单调性.解:由定理1知 y=lnx在(0,+)内单调增加.oxyy=lnx第4页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例2. 讨论f (x)=x36x2+9x3的单调性.解: f (x)=3x212x+9以x1=1, x2=3为界将f (x)的定义域(,+)分成三个部分区间(, 1), (1, 3), (3, +).当

3、 x0, 当1x3时: f (x)3 时: f (x)0, = 3(x1)(x3)所以f (x)单调增加;所以f (x)单调减少;所以f (x)单调增加.第5页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四10331yx故 f (x) 在 (, 1) (3, +) 内单调增加，在(1, 3)内单调减少.第6页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例3. 讨论f (x)=x3的单调性.解: 因为f (x)=3x20 (x 0) 由定理1知 f (x)=x3在(, 0)和(0, +)内均单调增加.这里 x=0 时 f (0)=0. 但x0时有f (x)0时,有f (0) 0

4、 时 x ln(1+ x)y= f ( x) f (x)0思考问题第8页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四二、 曲线的凹凸性及其判定法oxyy =x2第9页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四oxyx1x2f (x1)f (x2)AB 在曲线 y=f (x)上任取两点 A(x1, y1)和 B(x2, y2)，固定 t(0, 1) 得 (x1, x2)内一点t0, 1则弦 AB 的参数方程为：第10页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四oxyx1x2f (x1)f (x2)AB这时，弦上对应点纵坐标为而曲线弧上对应点纵坐标为有第11页，共

5、50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四x1x2f (x1)f (x2)oxyAB有第12页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四定义1: 设f (x)C ( a, b ) ，x1, x2 a, b (x1x2)和 t(0, 1), 若有则称曲线y=f (x)在a, b上是凹的(凸的).()第13页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四oxyoxy定理2. 设f (x)C a,b且在(a,b)内可导.则曲线 y=f (x) 在a, b上为凹的(凸的)充分必要条件是 f (x)在(a, b)内单调增加(减少).第14页，共50页，2022年，5月20日，

6、11点0分，星期四定理3. (曲线凹凸的判别法) 设 f (x)C(a, b)且在(a, b)内具有二阶导数.(1)若x (a,b), 有f (x)0. 曲线y=f (x)在a, b上是凹的.(2)若x (a,b), 有f (x)0. 曲线y=f (x)在a, b上是凸的.第15页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例4. 讨论曲线y=lnx在(0, +)内的凹凸性.解:由定理3知曲线 y=lnx在(0, +)内是凸的. oyx1y=lnx第16页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例5. 讨论曲线 y=x3 的凹凸性.解: y=6x当 x0时, y0时,

7、y 0. 这里点(0, 0)称曲线 y=x3 的拐点.故 y=x3在(, 0内是凸弧.故 y=x3 在 0, +) 内是凹弧.0yxy=x3第17页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 一般地，设f (x)C ( U ( x0) ), 若曲线 y=f (x)在点(x0, f (x0)处左右两侧凹凸性相反，则称 (x0, f (x0) 为该曲线的拐点.第18页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四定义1中有 y=f (x)凹 f (t x1+(1t)x2) 0, y0 且 xy 时，有其中n1.证：令 f ( t )= tn. ( t 0 )f ( t )=n(

8、n1) t n2 0. ( t 0)故t 0时 f (t)的曲线为凹的.取 x 0, y 0 得第20页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四3-5 函数的极值与最大值最小值y y= f ( x )x0有 f (x) f (x0) )定义1. 设f (x)在U(x0)内有定义. 若(极小值).(极小值点).点x0称为极大值点一、函数的极值及其求法第21页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四定理1. (Fermat) 若f (x)在x0可导, 且在 x0 取得极值, 则 f (x0)=0.使 f (x) 为零的点称为f (x)的驻点.第22页，共50页，2022

9、年，5月20日，11点0分，星期四(1)可导函数的极值点必是驻点. 但其逆命题不成立. (2)连续函数在其导数不存在的点处,也有可能取得极值. 0yxy=|x|0yxy=x3例如y=x3在x=0处不取极值.例如y=|x|在x=0处有极小值f (0)=0.第23页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四0yxx00yxx0(1)当 x0,当 xx0时, f (x) 0, 则f (x)在 x0 处取极大值;(2)当 xx0 时, f (x)x0时, f (x)0, 则f (x)在x0处取极小值.定理2. (判别条件I ) 设f (x)C(U(x0), 在可导.第24页，共50页，20

10、22年，5月20日，11点0分，星期四证：(1) 在当 x0. 故 f (x) 单调增加，有 f (x) x0时，f (x) 0. 故 f (x) 单调减少，也有 f (x) f ( x0 ).从而有f (x) f ( x0 ).即 f ( x0 )为极大值.同理证(2).第25页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例1. 求f (x)=x33x29x+5的极值.解: f (x)=3x2 6x 9 =3(x+1)(x3)令f (x)=0 解得驻点 x1= 1, x2=3x= 1: x0. x1时 f (x)0 x=3: x3时 f (x)3时 f (x)0 极大值f (1)=

11、10. 极小值 f (3)= 22.第26页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例2. 求f (x)=的极值解: x 0时, f (x) 0时, f (x) 0故得 极小值f (0)=0 xy0第27页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四定理3. (判别条件II) 设f (x)在U(x0)内二阶可导. 且f (x0)=0. f (x0)0, 则(1) 当 f ( x0) 0 时, f (x)在 x0 取极小值.第28页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四证: (1) 由 f (x0) 0 时, 按定义得根据极限保号性，在U( x0 ) 内有

12、又由于f (x0 )=0 所以第29页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四 当 x0, xx0时 f (x)0, 同理可证(2).于是在U(x0)内, 从而由定理2知 f (x) 在 x0 取极大值.第30页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例3. 求的极值.解: f (x) 以2 为周期，故考虑区间0, 2 )令 f (x)=cosxsinx = 0又有得驻点第31页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四由定理3知 由周期性知分别为 f (x) 的极大值点和极小值点.第32页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四二、曲线的

13、拐点若 f (x)C( a, b ), 且在(a, b)内可导，则 y = f (x)凹(凸) f (x)( )(x0, f (x0)是 y=f (x)拐点 x0是 f ( x) 极值点.定理4. 若f (x0)存在，且点(x0, f (x0)是曲线 y=f (x)的拐点，则 f (x0) = 0第33页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四0yx定理5. (拐点的充分条件) 设f (x)C(U(x0), 且在内二阶可导，若 f ( x )x0的两侧符号相反，则(x0, f (x0)是拐点.y0 y=x4第34页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例4. 确定

14、曲线y=3x44x3+1的凹凸和拐点.解：由 x1=0, 显然 x 0故曲线在(, 0和上为凸的.xyy=3x44x3+1110第35页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例5. 确定曲线解：在 x=0 处 y 不存在. 但 x 0 x 0: y 0 时因其唯一. 故也是最小值点.于是当时，S最小. 故所用材料能最省. 此时思考问题第45页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四例7. 某企业开发出一种新产品. 已知生产销售 x件产品所需成本费用C = 25000+5x(元). 若每件产品销售价为问生产销售多少件产品，能使企业的利润最大？这时每件产品的销售价定为多少？解：目标函数:= x P C利润 L = 收入成本第46页，共50页，2022年，5月20日，11点0分，星期四亦即最大值点. 故生产销售 x=2500 件产品可使企业的利润最大，此时求解：第47页，共50页，2022年，5月20日，1