2023中考真题汇编-二次函数

1、2023全国中考真题解析考点汇编二次函数的几何应用一、选择题1. 2023安顺正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH设小正方形EFGH的面积为y，AE=x那么y关于x的函数图象大致是A、B、C、D、考点：二次函数综合题。分析：由得BE=CF=DG=AH=1x，根据y=S正方形ABCDSAEHSBEFSCFGSDGH，求函数关系式，判断函数图象解答：解：依题意，得y=S正方形ABCDSAEHSBEFSCFGSDGH=14 QUOTE 1xx=2x22x+1，即y=2x22x+10 x1，抛物线开口向上，对称轴为x= QUOTE ，应选

2、C点评：此题考查了二次函数的综合运用关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴二、填空题1. 2023山东日照，16，4分正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN当BM=2时，四边形ABCN的面积最大考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。专题：应用题。分析：设BM=x，那么MC=4x，当AMMN时，利用互余关系可证ABMMCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值解答：解：设BM=x，那么MC=4x，AMN=90，AMB=90NMC=MNC，AB

3、MMCN，那么，即，解得CN=，S四边形ABCN= QUOTE 44+ QUOTE = QUOTE x2+2x+8， QUOTE 0，当x=2时，S四边形ABCN最大故答案为：2点评：此题考查了二次函数的性质的运用关键是根据条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式三、解答题1. 2023江苏淮安，26，10分如图，二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B.(1)求此二次函数关系式和点B的坐标；(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得PAB是以AB为底的等腰三角形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析

4、：1把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标2作AB的垂直平分线，交x轴于点P，求出点P的坐标，假设点P的横坐标是正数，那么点P就符合题意，这样的点是存在的解答：解：1把点A4，0代入二次函数有： 0=16+4b+3,得：b= QUOTE 所以二次函数的关系式为：y=x2+ QUOTE x+3当x=0时，y=3, 点B的坐标为0，32如图：作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，那么：BP=AP设BP=AP=x，那么OP=4x，在直角OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+4x2,解得：x= QUOTE ，OP=4 QUOTE =

5、QUOTE 所以点P的坐标为： QUOTE ，0点评：此题考查的是二次函数的综合题，1根据二次函数的概念求出抛物线的解析式及点B的坐标2根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求出点P的坐标2. 2023江苏淮安，28，12分如图，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒t0，正方形EFGH与ABC重叠局

6、部面积为S.(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是；当t=3时，正方形EFGH的边长是；(2)当0t2时，求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。分析：1当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；2正方形EFGH与ABC重叠局部的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：当0t QUOTE 时；当 QUOTE t QUOTE 时；当 QUOTE t

7、2时；依次求S与t的函数关系式；3当t=5时，面积最大；解答：解：1当时t=1时，那么PE=1，PF=1，正方形EFGH的边长是2；当t=3时，PE=1，PF=3，正方形EFGH的边长是4；2：当0t QUOTE 时， S与t的函数关系式是y=2t2t=4t2；当 QUOTE t QUOTE 时， S与t的函数关系式是： y=4t2 QUOTE 2t QUOTE 2t QUOTE 2t QUOTE 2t = QUOTE t2+11t3；当 QUOTE t2时； S与t的函数关系式是y= QUOTE t+2 QUOTE t+2 QUOTE 2t2t=3t；3当t=5时，最大面积是： S=16 Q

8、UOTE QUOTE QUOTE = QUOTE ；点评：此题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力3. 2023江苏连云港，25，10分如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=2x上.(1)求a的值；(2)求A,B两点的坐标;(3)以AC,CB为一组邻边作ABCD,那么点D关于x轴的对称点D是否在该抛物线上?请说明理由.考点：二次函数综合题。分析：1根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；2根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；3根据平行四边形的性质得

9、出D点的坐标，即可得出D点的坐标，即可得出答案解答：解：1抛物线y= QUOTE x2x+a其顶点在直线y=2x上抛物线y= QUOTE x2x+a= QUOTE x22x+a= QUOTE x12 QUOTE +a，顶点坐标为：1， QUOTE +a，y=2x， QUOTE +a=2，a= QUOTE ；2二次函数解析式为：y= QUOTE x2x QUOTE ，抛物线y= QUOTE x2x QUOTE 与x轴交于点A，B，0= QUOTE x2x QUOTE ，整理得：x22x3=0，解得：x=1或3， A1，0，B3，0；3作出平行四边形ACBD，作DEAB，二次函数解析式为：y= Q

10、UOTE x2x QUOTE ，图象与y轴交点坐标为：0， QUOTE ，CO= QUOTE ，DE= QUOTE ，CAO=DBE，DEB=AOC，AOCBDE，AO=1，BE=1， D点的坐标为：2， QUOTE ，点D关于x轴的对称点D坐标为：2， QUOTE ，代入解析式y= QUOTE x2x QUOTE ，左边= QUOTE ，右边= QUOTE 42 QUOTE = QUOTE ，D点在函数图象上点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出D点的坐标是解决问题的关键4. 2023江苏苏州，29，10分巳知二次函数y=ax2-6x+8a0的图

11、象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C点D是抛物线的顶点1如图连接AC，将OAC沿直线AC翻折，假设点O的对应点0恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；2如图，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是4，4、4，3，边HG位于边EF的右侧小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“假设点P是边EH或边HG上的任意一点，那么四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等即这四条线段不能构成平行四边形“假设点P是边EF或边FG上的任意一点，刚刚的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；3如图，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在

12、一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等即这四条线段能构成平行四边形？请说明理由考点：二次函数综合题分析：1此题需先求出抛物线与x轴交点坐标和对称轴，再根据OAC=60得出AO，从而求出a2此题需先分两种情况进行讨论，当P是EF上任意一点时，可得PCPB，从而得出PBPA，PBPC，PBPD，即可求出线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形3此题需先得出PA=PB，再由PC=PD，列出关于t与a的方程，从而得出a的值，即可求出答案解答：解：1令y0，由解得；令x0，解得y8a点A、B、C的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)，该抛物线对称轴

13、为直线x3OA2如图，时抛物线与x轴交点为M，那么AM1由题意得：，OAM60BAyO(图)xDCBAyO(图)xDCEFGHM2假设点P是边EF或边FG上的任意一点，结论同样成立如图，设点P是边EF上的任意一点 (不与点E重合)，连接PM点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C在y轴上，PBPB又PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，点F的坐标是(4，3)，点G的坐标是(5，3)FB3，3PB3，4t2280方程7a22ta10有两个不相等的实数根 显然，满足题意当

14、t是一个大于3的常数,存在一个正数，使得线段PA、PB、PC能构成一个平行四边形点评：此题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是此题的关键5. 2023江苏宿迁，27，12如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t0t2，线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QEAB于点E，过M作MFBC于点F1当t1时，求证：PEQNFM；2顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值考点：正方形的性质；二次函数的最值

15、；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。专题：代数几何综合题。分析：1由四边形ABCD是正方形得到A=B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而证得；2由点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由PEQNFM得到PQ的值，又PQMN求得面积S，由t范围得到S的最小值解答：证明：1四边形ABCD是正方形，A=B=D=90，AD=AB，QEAB，MFBC，AEQ=MFB=90，四边形ABFM、AEQD都是矩形，MF=AB，QE=AD，MFQE，又PQMN，EQP=FMN，又QEP=MFN=90，PEQNFM；2点P是边AB的中点，AB2，DQAE

16、tPA1，PE1t，QE2由勾股定理，得PQPEQNFMMNPQ又PQMNSt2t0t2当t1时，S最小值2综上：St2t，S的最小值为2点评：此题考查了正方形的性质，1由四边形ABCD是正方形得到A=B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而证得；2由勾股定理求得PQ，由PEQNFM得到PQ的值，又PQMN求得面积S，由t范围得到答案6.2023江苏徐州，28，12如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C1，21求此函数的关系式；2作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D假设在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD分成面积相等的

17、两个四边形，求点E的坐标；3在2的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得PEF是以P为直角顶点的直角三角形？假设存在，求出点F的坐标及PEF的面积；假设不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：1将顶点坐标C1，2代入y=x2+bx+c即可求得此二次函数的关系式；2先求出直线PM的解析式，然后与二次函数联立即可解得点E的坐标；3根据三角形相似的性质先求出GP=GF，求出F点的坐标，进而求得PEF的面积解答：解1y=x2+bx+c的顶点为1，2y=x122，y=x22x1；2连结CD交AB于点M，根据轴对称性可知MA=MB,MC=MD,ABCD,所以四边形ACBD是菱形，

18、过点M的任意一条直线都把菱形ACBD的面积平分，所以直线PM平分菱形ACBD的面积因为y=与y相交于点P0,1, 顶点为点C1，2所以点M的坐标为1，0设直线PM的解析式为y=kx+b那么，解之得所以直线PM的解析式为y=x1解方程组，得或所以点E的坐标为3，2.3过点P作直线PQPM,那么直线PQ的表达式为y=x1解方程组，得或所以直线PQ与抛物线的交点F是抛物线的顶点C1，2.所以PE= ,PC=所以PEF的面积为点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中

19、档题7. 2023南昌，25，10分如下图，抛物线m：y=ax2+ba0，b0与x轴于点A、B点A在点B的左侧，与y轴交于点C将抛物线m绕点B旋转180，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A11当a=1，b=1时，求抛物线n的解析式；2四边形AC1A3假设四边形AC1A1C为矩形，请求出a考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题分析：1根据a=1，b=1得出抛物线m的解析式，再利用C与C1关于点B中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；2利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；3利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB解答：解：1当a

20、=1，b=1时，抛物线m的解析式为：y=x2+1令x=0，得：y=1C0，1令y=0，得：x=1A1，0，B1，0，C与C1关于点B中心对称，抛物线n的解析式为：y=x221=x24x+3；2四边形AC1A理由：C与C1、A与A1都关于点B中心对称，AB=BA1，BC=BC1，四边形AC1A3令x=0，得：y=bC0，b令y=0，得：ax2+b=0，.要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB=BC，ab3a、b应满足关系式ab3点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键8.2023内蒙古呼和浩特，25，12

21、抛物线y1=x2+4x+1的图象向上平移m个单位m0得到的新抛物线过点1，81求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成y2=ax-h2+k的形式；2将平移后的抛物线在x轴下方的局部沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的局部构成一个新的图象请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在-3x时对应的函数值y的取值范围；3设一次函数y3=nx+3n0，问是否存在正整数n使得2中函数的函数值y=y3时，对应的x的值为-1x0，假设存在，求出n的值；假设不存在，说明理由考点：二次函数综合题分析：1根据抛物线y1=x2+4x+1的图象向上平移m个单位

22、，可得y2=x2+4x+1+m，再利用又点1，8在图象上，求出m即可；2根据函数解析式画出图象，即可得出函数大小分界点；3根据当y=y3且对应的-1x0时，x2+4x+3=nx+3，得出n取值范围即可得出答案解答：解：1由题意可得y2=x2+4x+1+m，又点1，8在图象上，8=1+41+1+m，m=2，y2=x+22-1；2当3x时，0y-1；3不存在，理由：当y=y3且对应的-1x0时，x2+4x+3=nx+3，x1=0，x2=n-4，且-1n-40得3n4，不存在正整数n满足条件点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及图象交点求法，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形

23、结合是这局部考查的重点也是难点同学们应重点掌握9.2023宁夏，26，10分在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6动点M、N分别在两腰AB、AC上M不与A、B重合，N不与A、C重合，且MNBC将AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P1当MN为何值时，点P恰好落在BC上？2当MN=x，MNP与等腰ABC重叠局部的面积为y，试写出y与x的函数关系式当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？考点：翻折变换折叠问题；二次函数的最值；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质。分析：1首先连接AP，交MN于O，由MNBC将AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，即可得AMNABC， QUO

24、TE ，那么可求得当MN为何值时，点P恰好落在BC上；2此题需要分为当AO QUOTE AD时与当AO QUOTE AD时去分析，首先由AMNABC，求得各线段的长，然后求MNP与等腰ABC重叠局部的面积，即可得关于x的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案解答：解：1连接AP，交MN于O，将AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P，OA=OP，APMN，AN=PN，AM=PM，MNBC，AMNABC，AOMN， QUOTE ，BC=6，MN=3，当MN=3时，点P恰好落在BC上；3过点A作ADBC于D，交MN于O，MNBC，AOMN，AMNABC， QUOTE ，AB=AC=

25、5，BC=6，ADBC，ADB=90，BD= QUOTE BC=3，AD=4， QUOTE ，AO= QUOTE x，SAMN= QUOTE MNAO= QUOTE x QUOTE x= QUOTE x2，当AO QUOTE AD时，根据题意得：SPMN=SAMN，MNP与等腰ABC重叠局部的面积为SAMN，y= QUOTE x2，当AO= QUOTE AD时，即MN= QUOTE BC=3时，y最小，最小值为3；当AO QUOTE AD时，连接AP交MN于O，那么AOMN，MNBC，APBC，AMNABC，PEFPMNAMN， QUOTE ， QUOTE ，即： QUOTE ， QUOTE

26、，AO= QUOTE x， QUOTE ，EF=2x6，OD=ADAO=4 QUOTE x，y=S梯形MNFE=EF+MNOD= QUOTE 2x6+x4 QUOTE x=x42+4，当x=4时，y有最大值，最大值为4，综上所述：当x=4时，y的值最大，最大值是4点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用10. 2023山东日照，24，10分如图，抛物线y=ax2+bxa0与双曲线y= QUOTE 相交于点A，B点B的坐标为2，2，点A在第一象限内，且tanAOx=4过点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C1求双曲线和

27、抛物线的解析式；2计算ABC的面积；3在抛物线上是否存在点D，使ABD的面积等于ABC的面积假设存在，请你写出点D的坐标；假设不存在，请你说明理由考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：1根据条件可以推出A点的坐标，把A、B两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式，即可得出a、b、k的值，就可以确定双曲线和抛物线的解析式了；2根据A、B抛物线解析式，可以确定C点的坐标，即可去顶AC和AC边上的高的长度，就可以计算出ABC的面积了；3根据题意画出图形，根据A、B两点坐标出去直线AB相应的一次函数结合C点的坐标，CDAB，得出直线CD相应的一次函数，然后结合D点也在抛物线上，解方程组，求

28、D点坐标解答：解：1把点B2，2的坐标，代入y= QUOTE ，得：2= QUOTE ，k=4即双曲线的解析式为：y= QUOTE 2分设A点的坐标为m，nA点在双曲线上，mn=4又tanAOx=4， QUOTE =4，即m=4n又，得：n2=1，n=1A点在第一象限，n=1，m=4，A点的坐标为1，4把A、B点的坐标代入y=ax2+bx，得： QUOTE 解得a=1，b=3；抛物线的解析式为：y=x2+3x；4分2ACx轴，点C的纵坐标y=4，代入y=x2+3x，得方程x2+3x4=0，解得x1=4，x2=1舍去C点的坐标为4，4，且AC=5，6分又ABC的高为6，ABC的面积= QUOTE

29、 56=15；7分3存在D点使ABD的面积等于ABC的面积过点C作CDAB交抛物线于另一点D因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为4，4，CDAB，所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+129分解方程组 QUOTE 得 QUOTE 所以点D的坐标是3，1810分点评：此题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点根据点的坐标求抛物线解析式和双曲线解析式以及三角形的面积求法关键在于根据点的坐标和相关的知识点求抛物线解析式，曲线解析式和直线解析式11. 2023山西，26，14分如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过O、C两点，点A的坐标为8，0，点

30、B的坐标为11，4，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A B C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线OCB相交于点M，当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒t 0，MPQ的面积为S1点C的坐标为_，直线l的解析式为_；2试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围3试求题2中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值4随着P、Q两点的运动，当点M在线段BC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N试探究：当t为何值时，QMN为等腰三角形？请直接写出t的值

31、考点：二次函数，一次函数，三角形面积，最值，分类讨论专题：压轴题分析：由题意不难得出点C的坐标为(3，4)因为直线l经过O、C两点，所以设其解析式为，将点C(3，4)代入，解得，所以直线l 的解析式为求 S与t的函数关系式，关键是确定MP及点Q到MP的距离根据题意，得OPt， AQ2t， 根据动点的运动过程，需分三种情况来讨论当0t时； 如图第26题2图1，由题意可证AEQODC，得，Q点的坐标是， 当t3时； 如图第26题2图2，BQ2t5，OF11(2t5)162tQ点的坐标是162t，4PF162tt163t当3t时，如图第26题2图3，当点Q与点M相遇时，162tt，解得当3t时，如图

32、3，MQ162tt163t，MP4根据题2中S与t的函数关系，先分别求出当0t时；当t3时；当3t时， t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值最后综合上述各情况判断得出t为何值时， S的最大值当0t时，a0，抛物线开口向上，对称轴为直线x20，当0t时，S随t的增大而增大当t时，S有最大值，最大值为 当t3时， a20抛物线开口向下，当时，S有最大值，最大值为当3t时，k60，S随t的增大而减小又当t3时，S14当t时，S0，0S14综上所述，当时，S有最大值，最大值为如图第26图4，当NMMQ时，即，QMN为等腰三角形解答：13，4；2根据题意，得OP t，AQ2 t，分三种情况讨论：当0

33、t时，如图1，M点的坐标是，过点C作CDx轴于D，过点Q作QEx轴于E，可得AEQODC，AE，EQ，Q点的坐标是，PE8t8，当 t 3时，如图2，过点Q作QFx轴于F，BQ2t5，OF11(2t5)162t，Q点的坐标是162t，4，PF162t163 t 当点Q与点M相遇时，162 t t，解得t当3 t 时，如图3，MQ162t t 163t，MP4，3当0 0时，抛物线开口向上，对称轴为直线t 20，当0 t 时，S随t的增大而增大，当t时，S有最大值最大值为当 t3时，a20，抛物线开口向下，当t时，S有最大值，最大值为当3 t 时，S 6t32，k60，S随着t的增大而减小，又当

34、t3时，S14，当t时，S0，所以0S0，a为常数)，并经过点(2a，2a)，点D0，(1)求含有常数a的抛物线的解析式；(2)设点P是抛物线任意一点，过P作PHx轴，垂足是H，求证：PD = PH；(3)设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，假设DA=2DB，且SABD = 4 eq r(sdo1(),2)，求a的值.(24题图)(24题图)考点：二次函数综合题分析：1根据抛物线的图象假设出解析式为y=kx2+a，将经过点2a，2a，代入求出即可；2根据勾股定理得出PD2=DG2+PG2，进而求出PD=PH；3利用2中结论得出BE=DB，AF=DA，即可得出B是OA的中点，进

35、而得出SOBD=SABD=4 ，即可得出a的值答案：24解：1设抛物线的解析式为y=kx2+a点D2a，24a2k+a = 2ak = eq f(1,4a)抛物线的解析式为y= eq f(1,4a)x2+a(24题图)(24题图) 2设抛物线上一点Px，y，过P作PHx轴，PGy轴，在RtGDP中， 由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=(y2a)2+x2 =y2 4ay+4a2+y= eq f(1,4a)x2+ax2 = 4a (ya)= 4ay4a2PD 2= y2 4ay+4a2 +4ay4a2= y2 =PD = PH 3过B点BE x轴，AFx轴. 由2的结论：BE=DBAF=DAD

36、A=2DBAF=2BEAO = 2BOB是OA的中点，C是OD的中点， 连结BCBC= eq f(DA,2) = eq f(AF,2) = BE = DB 过B作BRy轴，BRCDCR=DR，OR= a+ eq f(a,2) = eq f(3a,2) ，B点的纵坐标是 eq f(3a,2)，又点B在抛物线上， eq f(3a,2) = eq f(1,4a)x2+ax2 =2a2x0 x = eq r(sdo1(),2)aB ( eq r(sdo1(),2)a， eq f(3a,2) ) AO = 2OB， SABD=SOBD = 4 eq r(sdo1(),2) 所以， eq f(1,2)2a

37、 eq r(sdo1(),2)a= 4 eq r(sdo1(),2)a2= 4 a0 a = 2 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这局部考查的重点也是难点同学们应重点掌握.44. 2023四川雅安，25,12分如图，二次函数y=ax2+2x+ca0图象的顶点M在反比例函数 QUOTE * MERGEFORMAT 上，且与x轴交于AB两点1假设二次函数的对称轴为 QUOTE * MERGEFORMAT ，试求a，c的值；2在1的条件下求AB的长；3假设二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试

38、求二次函数的解析式考点：二次函数综合题。分析：1根据对称轴x=，求得二次函数y=ax2+2x+ca0中的a，再根据顶点在反比例函数 QUOTE * MERGEFORMAT 上，求出c即可；2求得抛物线与x轴的交点坐标，再用点B的横坐标减去点A的横坐标即可3可用含有a的式子表示点M、N的坐标，即求出a的值，再求得解析式解答：解：1二次函数的对称轴为 QUOTE * MERGEFORMAT ， QUOTE * MERGEFORMAT = QUOTE * MERGEFORMAT ，解得a=2，二次函数y=ax2+2x+ca0图象的顶点M在反比例函数 QUOTE * MERGEFORMAT 上，顶点为

39、，c， QUOTE * MERGEFORMAT c QUOTE * MERGEFORMAT =3，解得c= QUOTE * MERGEFORMAT ，二次函数的解析式为y=2x2+2x QUOTE * MERGEFORMAT ；2二次函数的解析式为y=2x2+2x QUOTE * MERGEFORMAT ；令y=0，2x2+2x=0；解得x= QUOTE * MERGEFORMAT AB= QUOTE * MERGEFORMAT =2；3根据对称轴x=，当x= QUOTE * MERGEFORMAT 时，y=3a，NO+MN= QUOTE * MERGEFORMAT +3a= QUOTE *

40、MERGEFORMAT ，要使NO+MN最小，那么3a2+1最小即可，即3a2=1时，a=，此时二次函数的解析式为y= QUOTE * MERGEFORMAT x2+2x+3点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有最值问题和两点之间的距离等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题45. 如图，抛物线与轴交于，0、，0两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根.1求抛物线的解析式；2点是线段上的一个动点，过点作，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；3点在1中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平

41、行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点的坐标，假设不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题yyxOBMNCA28题图分析：1根据一元二次方程解法得出A，B两点的坐标，再利用交点式求出二次函数解析式；2首先判定MNAABC得出，进而得出函数的最值；3分别根据当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE与当AF为平行四边形的对角线时，分析得出符合要求的答案解答：解：1，. ，.又抛物线过点、，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，求得。抛物线的解析式为.2设点的坐标为，0，过点作轴于点如图1。点的坐标为，0，点的坐标为6，0，.MNBC，AMNABC.，. .。当时，有最大值4。此时，点的坐标为

42、2，0.3点4，在抛物线上，当时，点的坐标是4，。如图2，当为平行四边形的边时，4，.， .如图3，当为平行四边形的对角线时，设，那么平行四边形的对称中心为，0.的坐标为，4。把，4代入，得.解得 .，.yxyxOBEA图2DyxOBMNCA图1HyyxOBEA图3D点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这局部考查的重点也是难点同学们应重点掌握46.2023四川眉山，26，11分如图，在直角坐标系中，点A0，1，B4，4，将点B绕点A顺时针方向90得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B1求抛物线的解析式和点C的坐标；2抛物线上一动

43、点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1；3在2的条件下，请探究当点P位于何处时，PAC的周长有最小值，并求出PAC的周长的最小值考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：1设抛物线的解析式：y=ax2，把B4，4代入即可得到a的值；过点B作BEy轴于E，过点C作CDy轴于D，易证RtBAERtACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OEOA=41=3，即可得到C点坐标3，5；2设P点坐标为a，b，过P作PFy轴于F，PHx轴于H，那么有d1= QUOTE a2，又AF=OFOA=PHOA=d11= QUOTE a21，PF=a，在RtPAF中，利用勾股定理

44、得到PA=d2= QUOTE a2+1，即有结论d2=d1+1；3PAC的周长=PC+PA+5，由2得到PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，那么C、P、H三点共线，P点坐标为3， QUOTE ，此时PC+PH=5，得到PAC的周长的最小值=5+6=11解答：解：1设抛物线的解析式：y=ax2，拋物线经过点B4，4，4=a42，解得a= QUOTE ，所以抛物线的解析式为：y= QUOTE x2；过点B作BEy轴于E，过点C作CDy轴于D，如图，点B绕点A顺时针方向90得到点C，RtBAERtACD，AD=BE=4，CD=AE=OEOA=41=3，OD=AD+OA=5，C点坐标为3

45、，5；2设P点坐标为a，b，过P作PFy轴于F，PHx轴于H，如图，点P在抛物线y= QUOTE x2上，b= QUOTE a2，d1= QUOTE a2，AF=OFOA=PHOA=d11= QUOTE a21，PF=a，在RtPAF中，PA=d2= QUOTE a2+1，d2=d1+1；3由1得AC=5，PAC的周长=PC+PA+5=PC+PH+6，要使PC+PH最小，那么C、P、H三点共线，此时P点的横坐标为3，把x=3代入y= QUOTE x2，得到y= QUOTE ，即P点坐标为3， QUOTE ，此时PC+PH=5，PAC的周长的最小值=5+6=11点评：此题考查了点在抛物线上，点的

46、横纵坐标满足二次函数的解析式和顶点在原点的二次函数的解析式为：y=ax2；也考查了旋转的性质、勾股定理以及两点之间线段最短.47. 2023乐山顶点为A1，5的抛物线y=ax2+bx+c经过点B5，11求抛物线的解析式；2如图1，设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD的周长；3在2中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD设点Px，yx0是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图2所示构造等腰直角三角形PRQ当PBR与直线CD有公共点时，求x的取值范围；在的条件下，记PQR与COD的公共局部的面积为S求S关于x的函数关系式，并求S的最大值考点：二次函数综合题。

47、专题：综合题。分析：1可设顶点式，将顶点为A1，5，点B5，1代入求出抛物线的解析式；2线段AB的长是确定的，由于点C，D是两个动点，所以BC，CD，DA的长是不确定的，只能用4 QUOTE +BC+CD+DA表示四边形的周长；3作B关于x轴对称点B，A关于y轴对称点A，连接AB，与x轴，y轴交于C、D点，此时四边形ABCD周长最小，求出CD的解析式，求出CD与直线y=x的交点坐标，得到PQR与直线y=x有公共点时x的取值范围，以及公共局部的面积S与x之间的函数关系式解答：解：1抛物线的顶点为A1，5，设抛物线的解析式为y=ax12+5，将点B5，1代入，得a512+5=1，解得a= QUOT

48、E ，y= QUOTE x2+ QUOTE x+ QUOTE ；2四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+DA，其中AB=4 QUOTE ，因为C，D是x轴与y轴上的动点，所以BC，CD，DA的长不是确定的，故四边形ABCD的周长表示为：4 QUOTE +BC+CD+DA3点B关于x轴的对称点B5，1，点A关于y轴的对称点A1，5，连接AB，与x轴，y轴交于C，D点，CD的解析式为：y=x+4，联立 QUOTE ，得： QUOTE ，点P在y=x上，点Q是OP的中点，要使等腰直角三角形与直线CD有公共点，那么2x4故x的取值范围是：2x4如图：点E2，2，当EP=EQ时，x2=2 QUOTE

49、x，得：x= QUOTE ，当2x QUOTE 时，S= QUOTE PRRQ QUOTE EP2= QUOTE x QUOTE xx QUOTE x QUOTE QUOTE x2 QUOTE x2，S= QUOTE x2+4x4，当x= QUOTE 时，S最大= QUOTE 当 QUOTE x4时，S= QUOTE EQ2= QUOTE QUOTE QUOTE 2 QUOTE x QUOTE 2 QUOTE x，S= QUOTE x42，当x= QUOTE 时，S最大= QUOTE 故S的最大值为：点评：此题考查的是二次函数的综合题，1利用顶点式求出二次函数的解析式，2确定四边形的周长，3根

50、据对称性求出CD的解析式，然后求出x的取值范围和S与x的函数关系48. 2023福建福州，22，14分，如图，二次函数y=ax2+2ax3aa0图象的顶点为H，与x轴交于AB两点B在A点右侧，点HB关于直线l： QUOTE 对称1求AB两点坐标，并证明点A在直线l上；2求二次函数解析式；3过点B作直线BKAH交直线l于K点，MN分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根；勾股定理分析：1求出方程ax2+2ax3a=0a0，即可得到A点坐

51、标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A2根据点HB关于过A点的直线l： QUOTE 对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HCAB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；3解方程组 QUOTE ，即可求出K的坐标，根据点HB关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案解答：解：1依题意，得ax2+2ax3a=0a解得x1=3，x2=1，B点在A点右侧，A点坐标为3，0，

52、B点坐标为1，0，答：AB两点坐标分别是3，0，1，0证明：直线l： QUOTE ，当x=3时， QUOTE ，点A在直线l上2解：点HB关于过A点的直线l： QUOTE 对称，AH=AB=4，过顶点H作HCAB交AB于C点，那么 QUOTE ACAB2，HC，顶点 QUOTE H，代入二次函数解析式，解得 QUOTE .二次函数解析式为 QUOTE ，答：二次函数解析式为 QUOTE 3解：直线AH的解析式为 QUOTE ，直线BK的解析式为 QUOTE ，由 QUOTE ，解得 QUOTE ，即 QUOTE ，那么BK=4.点HB关于直线AK对称，HN+MN的最小值是MB，KDKE QUO

53、TE ，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，那么QM=MK，QEEK QUOTE ，AEQK，BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，BKAH，BKQ=HEQ=90，由勾股定理得QB=8，HN+NM+MK的最小值为8，答HN+NM+MK和的最小值是8点评：此题主要考查对勾股定理，解二元一次方程组，二次函数与一元二次方程，二次函数与X轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比拟强的题目，有一定的难度49. 2023福建龙岩，24，13分如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，其对称

54、轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=11填空：b= QUOTE c= QUOTE ，点B的坐标为，：2假设线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F求FC的长；3探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使P与x轴、直线BC都相切？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；线段垂直平分线的性质；勾股定理.分析：1根据对称轴和OA=1求出A、B的坐标，代入解析式求出b、c即可；2求出C2，4求得E的坐标为3.5，2和直线BC的表达式为 QUOTE ，设直线EF的表达式为y=kx+b，根

55、据EF为BC的中垂线求出 QUOTE 和 QUOTE 推出直线EF的表达式为 QUOTE ，令y=0，得 QUOTE 即可求出答案；3作OBC的平分线交DC于点P，设P2，a，那么P到x轴的距离等于P到直线BC的距离用到点到直线的距离公式求出a即可解答：1解：抛物线 QUOTE 与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1，A1，0，B5，0，代入解析式得： QUOTE ，解得：b= QUOTE ，c= QUOTE ，故答案为 QUOTE ， QUOTE ，5，02解：由1求得 QUOTE ，C2，4E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为3.5，2，直线BC的

56、表达式为 QUOTE ，整理得4x+3y20=0设直线EF的表达式为y=kx+b，EF为BC的中垂线，EFBC， QUOTE ，把E3.5，2代入求得，直线EF的表达式为 QUOTE ，在 QUOTE 中，令y=0，得 QUOTE ，F QUOTE ，0，FC=FB= QUOTE ，答：FC的长是 QUOTE 3解：存在，作OBC的平分线交DC于点P，那么P满足条件，设P2，a，那么P到x轴的距离等于P到直线BC的距离用到点到直线的距离公式， QUOTE ，5|a|=|3a12|，5a=3a12或5a=3a+12，解得a=6或a= QUOTE ，P2，6或P2， QUOTE ，答：在抛物线的对

57、称轴上存在点P，使P与x轴、直线BC都相切，点P的坐标是2，6，2， QUOTE 点评：此题主要考查对解二元一次方程组，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，线段的垂直平分线定理等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键50.2023福建泉州，26，14分如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B0，1且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点1当点A的坐标为 QUOTE ，p时，填空：p=1，m= QUOTE ，AOE=60如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，

58、当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；2在图1中，连接EQ并延长交Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？假设不变，求出a的值；假设变化请说明理由考点二次函数综合题；一次函数综合题；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；等腰梯形的判定；切线的性质；解直角三角形。分析1由点A QUOTE QUOTE ，p在直线l上，得到p=1；点A在直线y=mx上，得到m= QUOTE QUOTE ；在RtOBA中，OB=1，AB= QUOTE ，OA= QUOTE ，得到AOE=60；2连接TM，ME，EN，ON，

59、根据切线的性质得到QEx轴，QTOT，由QEMN，得到MF=NF，而r=2，EF=1，那么四边形QNEM为平行四边形，即QNME；同时有QEN为等边三角形，那么NQE=60，QNF=30；在四边形OEQT中，QTO=QEO=90，TOE=60，可求出TQE=120，于是有TQE+NQE=120+60=180，即T、Q、N三点共线，得到TN为直径；得到TMN=90，得到TNME，所以MTN=60=TNE，得到以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；3连DM，ME，根据垂径定理和圆周定理的推论得到DME=90，DM垂直平分MN，所以RtMFDRtEFM，得到MF2=EFFD，设Dh，k，h0，k

60、=2r，那么过M、D、N三点的抛物线的解析式为：y=axh2+k，令y=1，得到x1=h QUOTE ，x2=h+ QUOTE ，那么MF= QUOTE MN= QUOTE ，得到 QUOTE 2=1k1，解得a=1解答解：1点A的坐标为 QUOTE ，p，点A在直线l上，p=1，即点A坐标为 QUOTE ，1；而点A在直线y=mx上，1= QUOTE m，解得m= QUOTE ；在RtOBA中，OB=1，AB= QUOTE ，OA= QUOTE ，AOB=30，AOE=60故答案为1， QUOTE ，60；2连接TM，ME，EN，ON，如图，OE和OP是Q的切线，QEx轴，QTOT，即QTA