北航概率统计08课件

1、 第三章 二维随机变量及其分布在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述. 例如用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究钢的成分. 要研究这些随机变量之间的联系, 就需考虑若干个随机变量, 即多维随机变量及其取值规律多维分布.13.1 二维随机变量及其分布定义 设为随机试验的样本空间，则称二维向量( X , Y )为二维随机变量或二维随机向量二维随机变量及其分布函数讨论： 二维随机变量作为一个整体的概率特性 其中每一个随机变量的概率特性与整体的 概率特性之间的关系 2二维随机变量的联合分布函数定义 设( X , Y ) 为二维随机变量，对于任

2、何 一对实数( x , y ), 事件定义了一个二元实函数 F ( x , y )，称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数，即(记为 )的概率3分布函数的几何意义如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量(X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y )的取值落入下图所示的角形区域的概率xy(x, y)4联合分布函数的性质xy(x, y)xy5固定 x , 对任意的 y1 y2 , F (x,y1) F (x,y2)固定 y , 对任意的 x1 x2 , F (x1,y) F (x2,y) F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0)F (x0 , y0)

3、 = F (x0, y0 + 0 )F (b,d) F (b,c) F (a,d) + F (a,c) 0事实上 F (b,d) F (b,c) F (a,d) + F (a,c) = P (a X b , c Y d)abcd 对每个变量单调不减 对每个变量右连续 对于任意的a b , c d7例1设讨论F (x, y)能否成为二维随机变量的分布函数？解xyx+ y = 1(0,0)(2,0)(2,2)(0,2)故 F (x, y)不能作为二维随机变量的分布函数8定义 若二维随机变量(X ,Y )的所有可能的 取值为有限多个或无穷可列多个, 则 称(X ,Y ) 为二维离散型随机变量.要描述

4、二维离散型随机变量的概率特性及其与每个随机变量之间的关系常用其联合概率分布和边缘概率分布二维离散型随机变量及其概率特性10联合概率分布设( X ,Y )的所有可能的取值为则称为二维随机变量( X ,Y ) 的联合概率分布或联合分布律，也简称概率分布或分布律显然，11二维离散型随机变量的联合分布函数已知联合分布律可以求出其联合分布函数反之，已知分布函数也可以求出其联合分布律12(1) 本例中，其联合分布如下表所示14XY pij0 1 2 3012300000015例4 把3 个红球和3 个白球等可能地放入编号为 1，2，3 的三个盒子中, 每盒容纳的球数无 限, 记 X 为落入1号盒的白球数,

5、 Y 为落入 1 号盒的红球数. 求( X ,Y )的联合分布律.解见下表17XY pij0 1 2 3012318二维连续型随机变量及其联合概率特性定义 设二维随机变量( X ,Y )的分布函数为 F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) , 使得对于任意实数 x,y 有则称( X ,Y ) 为二维连续型随机变量， f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合密度函数 简称为联合密度或概率密度19联合密度与联合分布函数的性质除了分布函数的一般性质外还有下述性质f (x,y) 反映了( X ,Y ) 在(x,y) 附近单位面积的区域内取值的概率对每个变元连续，在联合密度的连续点处20

6、P( X = a ,- Y + ) = 0P(- X + , Y= a ) = 0若G 是平面上的区域，则P( X = a ,Y = b ) = 021例6 设二维连续型随机变量( X ,Y ) 的联合密度为其中k 为常数. 求常数 k ; P ( X + Y 1) , P ( X 0.5); 联合分布函数 F (x,y);22x+y=1y = x10 xy(2) 0.5x+y=1y = x10 xyy = x10 xy0.524当 0 x 1, 0 y x时(下半三角形)，1(3)当 x 0 或 y 0 时，F (x,y) = 0当 0 x 1, x y 1 时(上半三角形) ，v=u10u

7、v25当 x 1 0 y 1 时，v=u10uv1当 x 1 y 1 时，27F (x,y) =0, x 0 或 y 0y4 , 0 x 1, 0 y x ，2x2y2y4, 0 x 1, x y 1 ，2x2x4 , 0 x 1, y 1 ，y4 , x 1, 0 y 0)若二维随机变量( X ,Y ) 的联合密度为则称( X ,Y ) 服从区域G上的均匀分布区域G 上的均匀分布，记作U ( G )29 G1 G, 设G1的面积为A1,若( X ,Y )服从区域G上的均匀分布, 则边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的边缘分布仍为均匀分布30若二维随机变量( X ,Y ) 的联合密度为则称( X ,Y ) 服从参数为1,12,2,22, 的正态分布, 记作( X ,Y ) N(1,1