棱柱、棱锥和棱台 教案-高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

1、 8/8简单多面体棱柱、棱锥和棱台【第一课时】【教学目标】1通过多面体的定义与分类学习，培养学生的数学抽象核心素养。2借助棱柱结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。【教学重难点】1了解多面体的定义及其分类。（重点）2理解棱柱的定义和结构特征。（重点）3在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。（难点）【教学过程】一、基础铺垫多面体：一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体。例如，我们初中学习过的长方体、棱锥等都是多面体。一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角

2、线。一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），称为这个几何体的一个截面，多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积（或全面积）。二、新知探究1棱柱的概念【例】下列关于棱柱的说法正确的个数是（ ）四棱柱是平行六面体；有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；底面是正多边形的棱柱是正棱柱。A1 B2 C3 D4A 四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故不正确；说法就是棱柱的定义，故正确；对比定义，显然不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故不正确。2几种常

3、见四棱柱的关系【例】 下列说法中正确的是（ ）A直四棱柱是直平行六面体B直平行六面体是长方体C六个面都是矩形的四棱柱是长方体D底面是正方形的四棱柱是直四棱柱C 直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错。【教师小结】几种常见四棱柱的关系【跟踪训练】1一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ）A底面是正方形，有两个面是矩形的四棱柱B底面是正方形，两个侧面垂直于底面的四棱柱C底面是菱形，且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱D底面是正方形，每个侧面都是全等的矩形的四棱柱D 选项A、B中，两个面为相对侧面时，四棱柱不一定

4、是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选项A、B、C，所以选D三、课堂总结1多面体（1）定义由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体。（2）相关概念（如图所示）（3）凸多面体把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体。2棱柱的结构特征定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体图示及相关概念底面：两个互相平行的面侧面：底面以外的其余各面侧棱：相邻两侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点分类按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱四、课堂检测1下列几何体中是棱柱的个数有（ ）A5个

5、B4个 C3个 D2个D 由棱柱的定义知是棱柱，选D2一个棱柱至少有_个面；面数最少的棱柱有_个顶点，有_条棱。5 6 9 面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱。【第二课时】【教学目标】借助棱锥、棱台结构特征的学习，培养直观抽象的数学核心素养。【教学重难点】1棱锥、棱台的定义和结构特征。（重点）2棱锥、棱台中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系。（难点）【教学过程】一、复习导入思考1：长方体、正方体是多面体吗？提示 是。长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义。思考2：最简单的多面体由几个面所围成？提示 四个。二、合作探究1棱锥、棱

6、台的概念【例】 下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是_。（1）用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；（2）棱台的侧面一定不会是平行四边形；（3）棱锥的侧面只能是三角形；（4）棱台的各侧棱延长后必交于一点；（5）棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥。（2）（3）（4） （1）错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；（2）正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；（3）正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；（4）正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；（5）错误，如图所示四棱锥被平

7、面PBD截成的两部分都是棱锥。【教师小结】判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征，注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”“平行”等。2几何体的计算问题探究问题（1）计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？提示 常用到的直角三角形有：由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形，由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形。（2）其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？提示 是。（3）正棱台中的计算呢？提示 根据正棱锥与正棱台的

8、关系，转化到直角梯形中求解。【例】 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2eq r(3)，求正三棱锥的高。思路探究 正三棱锥侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形勾股定理求解。解 作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作ODAB于点D，则点D为AB的中点。在RtADO中，ADeq f(3,2)，OAD30，故AOeq f(f(3,2),cosOAD)eq r(3)。在RtSAO中，SA2eq r(3)，AOeq r(3)，故SOeq r(SA2AO2)3，其高为3【母题探究】1将本例中“侧棱长为2eq r(3)”，改为“斜高为2eq r(3)”，则结论如何？解 在RtSDO中，SD2eq

9、r(3)，DOeq f(1,2)AOeq f(r(3),2)，故SOeq r(SD2DO2)eq r(12f(3,4)eq f(3r(5),2)。2将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？解 如图正四棱锥SABCD中，SO为高，连接OC则SOC是直角三角形，由题意BC3，则OCeq f(3r(2),2)，又因为SC2eq r(3)，则SOeq r(SC2OC2)eq r(12f(9,2)eq r(f(15,2)eq f(r(30),2)。故其高为eq f(r(30),2)。【教师小结】（一）正棱锥中的直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PECD于E，

10、则PE为斜高。(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中RtPEC(2)斜高、高构成直角三角形，如图中RtPOE。(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中RtPOC（二）正棱台中的直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1B1C1于E1，OEBC于E，则E1E为斜高，(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO。(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1三、课堂总结1棱锥的结构特征。定义有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体图示及相关概念底面：多边形面侧面

11、：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻两侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点分类按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥2棱台的结构特征。定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分图示及相关概念上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：除上下底面以外的面侧棱：相邻两侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台四、课堂检测1判断(正确的打“”，错误的打“”)（1）有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥。( )（2）棱台的侧棱长都相等。( )（3）棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形。( )（4）棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形。( )答案 （1） （2） （3） （