球的表面积和体积 教案-高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

1、 4/4球的表面积和体积【教学目标】【核心素养】1了解球的表面积和体积公式2会用球的表面积和体积公式解决实际问题.1通过学习球的体积、表面积公式培养直观想象素养.2通过求球的表面积和体积提升数学运算素养.【教学重难点】1了解球的表面积和体积公式2会用球的表面积和体积公式解决实际问题.【教学过程】一、基础铺垫1与球相关的概念：（1）球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.（2）与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点.（3）过球外一点所有切线的切线长都相等.2球的表面积球的半径为R，那么它的表面积S球4R2思

2、考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形3球的体积球的半径为R，那么它的体积V球eq f(4,3)R3二、合作探究1球的体积与表面积【例1】 （1）球的体积是eq f(32,3)，则此球的表面积是( )A12 B16Ceq f(16,3) Deq f(64,3)（2）若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是_（1）B （2）eq f(r(5),2) （1）eq f(4,3)R3eq f(32,3)，故R2，球的表面积为4R216.（2）设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，则由题意得eq blcr

3、c (avs4alco1(f(1,3)r2hf(4,3)R3，,r2R，)eq f(1,3)(2R)2heq f(4,3)R3，Rh，r2h，leq r(r2h2)eq r(5)h，S圆锥侧rl2heq r(5)h2eq r(5)h2，S球4R24h2，eq f(S圆锥侧,S球)eq f(2r(5)h2,4h2)eq f(r(5),2).【规律方法】求球的体积与表面积的方法1要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.2半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.2球的表面积及体积的应用【例2】

4、一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？思路探究 设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决解 设PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PCh，球取出后水面高PHx，如图所示ACeq r(3)r，PC3r，以AB为底面直径的圆锥的容积为V圆锥eq f(1,3)AC2PCeq f(1,3)(eq r(3)r)23r3r3，V球eq f(4,3)r3球取出后水面下降到EF，水的体积为V水eq f(1,3)EH2PHeq f

5、(1,3)(PHtan 30)2PHeq f(1,9)x3而V水V圆锥V球，即eq f(1,9)x33r3eq f(4,3)r3，xeq r(3,15)r.故球取出后水面的高为eq r(3,15)r.【规律方法】1画出截面图是解答本题的关键2球的表面积和体积有着非常重要的应用在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算三、课堂总结1球的表面积和体积公式设球的半径为R（1）表面积公式：S4R2（2）体积公式：Veq f(4,3)R32用一个平面截球所得截面的特征（1）用一个平面去截球，截面是圆面（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面（3）球心到截面的距离d与球的半

6、径R以及截面的半径r，有下面的关系req r(R2d2).四、课堂练习1思考辨析（1）球的表面积等于它的大圆面积的2倍( )（2）两个球的半径之比为12，则其体积之比为14( )（3）球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面( )答案 （1） （2） （3）2若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )Aeq f(1,2) B1 C2 D3D 由题设球半径为r，则4r2eq f(4,3)r3，可得r3，故选D3表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64的球相切，则这个多面体的体积为( )Aeq f(1,3)Q BQCeq f(4,3)Q D2QC 4R264R4，Veq f(1,3)QReq f(4,3)Q，故选C4某几何体的三视图如图所示(单位：m)：（1）求该几何体的表面积(结果保留)；（2）求该几何体的体积(结果保留)解 由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合