2023年高考数学考点复习-平面向量的应用（解析版）

1、高考数学考点复习平面向量的应用考法一、 平面向量与四心例1、已知的三个内角分别为，动点满足，则动点的轨迹一定经过的（ ）A重心B垂心C内心D外心答案：A解析：在中，令线段BC的中点为M，由正弦定理得：，由得：，即，而，则，于是得与同向共线，而它们有公共起点，即动点P的轨迹是射线AM(除A点外)，又重心在线段AM上，所以动点的轨迹一定经过的重心.故选：A例2、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的（ ）A外心B垂心C内心D重心答案：D解析：令为的中点，则，于是有，点共线，即点的轨迹通过三角形的重心.故选：D例3、在中，是三角形的外心，过点作于点，则=（ ）A16B8

2、C24D32答案：D解析：如图，,因为,所以，又因为是三角形的外心，所以,所以.故选：D跟踪练习1、（多选）对于，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）ABC向量与共线D过点的直线分别与、交于、两点，若，则答案：BCD解析：A：为外心，则，仅当时才有，错误；B：由，又，故，正确；C：，即与垂直，又，所以与共线，正确；D：，又三点共线，则，故，正确.故选：BCD2、（多选）在所在平面内有三点，则下列说法正确的是（ ）A满足，则点是的外心B满足，则点是的重心C满足，则点是的垂心D满足，且，则为等边三角形答案：ABCD解析：对于，因为，所以点到的三个顶点的距离相等，所以为的外心，故正确；

3、对于B，如图所示，为的中点，由得：，所以，所以是的重心，故B正确；对于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以点是的垂心，故C正确；对于D，由得：角的平分线垂直于，所以；由得：，所以，所以为等边三角形，故D正确故选：ABCD3、（多选）已知为所在平面内一点，则下列正确的是（ ）A若，则点在的中位线上B若，则为的重心C若，则为锐角三角形D若，则与的面积比为答案：ABD解析：对于A，设中点为，中点为，即，三点共线，又为的中位线，点在的中位线上，A正确；对于B，设中点为，由得：，又，在中线上，且，为的重心，B正确；对于C，与夹角为锐角，即为锐角，但此时有可能是直角或钝角，故无法说明为锐角三角形，C错误

4、；对于D，为线段上靠近的三等分点，即，D正确.故选：ABD.4、（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）A已知平面向量、满足，且，则是等边三角形B若，则点为的垂心C若，则点为的外心D若，则点为的内心答案：AC解析：选项A，平面向量、满足，且，即，的夹角为，同理、的夹角也为，是等边三角形，故A正确；选项B，向量，分别表示在边和上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当，即时，点在的平分线上，同理由，知点在的平分线上，故为的内心而不一定是垂心，故B错误；选项C，是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示对角线垂直，从而这个平行四边形是菱形，即，同理有，于

5、是为的外心，故C正确；选项D，由得，即，同理可证，即点是的垂心而不一定时内心，故D错误故选：AC5、在中，点为的外心，则_.答案：18解析：因为点为的外心，取点为的中点，则，所以.故答案为：6、在中，设，则动点的轨迹必通过的（ ）A垂心B内心C重心D外心答案：D解析：设的中点是，即，所以，所以动点在线段的中垂线上，所以动点的轨迹必通过的外心，故选：D.7、已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.ABC内一点M满足：，则M一定为ABC的（ ）A外心B重心C垂心D内心答案：D解析：由题意可设，其中，分别为，方向上的单位向量，则，=.M在BAC的角分线上，同理M在ABC与ACB的角分线上

6、.M为ABC的内心.故选：D.8、在中，若，则下列说法正确的是（ ）A是的外心B是的内心C是的重心.D是的垂心答案：D解析：，同理由，得到，点是的三条高的交点.故选：D9、已知ABC的重心为O，则向量（ ）ABCD答案：C解析：设分别是的中点，由于是三角形的重心，所以.故选：C考法二、平面向量与三角函数例1、如图，角均以为始边，终边与单位圆分别交于，则（ ）ABCD答案：C解析：根据题意角均以为始边，终边与单位圆分别交于，则，则.故选：C例2、在中，内角所对的边分别为，若则的形状是（ ）A等腰三角形B等边三角形C等腰直角三角形D钝角三角形答案：B解析：因为，所以所以，所以故为等边三角形.故选：

7、B.例3、在中，角，的对边分别为，若，则边上的中线长的取值范围是_答案：解析：设是中点，则，又，所以，当且仅当时等号成立所以，故答案为：跟踪练习1、在中，为的垂心，且满足，则_.答案：解析：如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，由此可得.故答案为：.2、已知中，边上的高为2，H为上一动点，满足，则的最小值是_答案：8解析：因为，H为上一动点，即B，H，C三点共线，由共点的三个向量，终点共线的充要条件得，中，边上的高AD=2，如图：令AB=c，AC=b，则，则，所以，当且仅当时取“=”，所以当时，取最小值8故答案为：83、已知向量，则的值是（ ）ABCD答案：A解析：因为向量，即故选：A

8、4、在中，内角，所对的边分别为，且，设是的中点，若，则面积的最大值是（ ）ABCD答案：A解析：所以，由余弦定理可知：，因此有，因为是的中点，所以有，平方得：，因为，所以，故选：A.5、（多选）已知点为平面直角坐标系原点，角的终边分别与以为圆心的单位圆交于两点，若为第四象限角，且，则（ ）AB当时，C最大值为D当时，答案：CD解析：易知，故A错误；当时，故B错误；由于，故过原点时，最大且最大值为，故C正确；因为，且为第四象限角，所以.，即，故D正确.故选：.6、已知（1）若，求的值；（2）设，将函数的图像向右平移个单位长度得到曲线，保持上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的倍得到的图像，且

9、关于的方程在上有解，求的取值范围答案：（1）；（2）.解析：(1)因，且，则有，即，于是得，所以的值是；(2)依题意，因，则，有，于是得，因方程在上有解，即在上有解，则，所以的取值范围是.7、己知，.（1）将函数的图象向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的单调递减区间；（2）若函数，关于的方程在上有解，求m的取值范围.答案：（1），；（2）.解析：（1）将函数的图象向左平移个单位长度可得再将各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得由，得：，的单调递减区间为，；（2）依题意，不等式在有解，设，令，则，则，当时，取得最小值，故实数的取值范围为.

10、8、已知向量，.（1）若，且，求的值；（2）若函数，且，求的值.答案：（1）或；（2）.解析：（1）由，得，即，所以或. 当时，则；当时，得，则.综上，x的值为或.（2） . 由，得， 所以 .考法三、平面向量与数列例1、已知等差数列的前项和为，设，为坐标平面上三点，为坐标原点，若向量与在向量方向上的投影相同，则为（ ）ABC2017D0答案：D解析：，向量与在向量方向上的投影相同，即，故选：D例2、设数列的各项都为正数且，内的点均满足与的面积比为，若，则的值为_答案：31解析：延长，交于，因为与的面积比为，故到的距离为到的距离的两倍，故，故即，因为且共线，为三角形内部的点，故存在非零常数，使

11、得，所以 ，故，故，即，又，故，所以，即是以2为首项，以2为公比的等比数列，故，故，故答案为：31跟踪练习1、在中，是上一点，且，点列在线段上，且满足，若，则数列的通项_答案：解析：由题可知，即，又，故点在线段的延长线上且为的中点，故，故，又点列在线段上，故共线，而，所以，故数列为等比数列，所以通项，故答案为：2、已知为数列的前项和，平面内三个不共线的向量，满足，若，在同一直线上，则_.答案：解析：设，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以是周期为的周期数列，因为，所以，所以，所以，故答案为：.3、设，是一组向量，若，且，且，则_答案：解析：设，则，由，且， 累

12、加可得，故答案为：4、如图，已知点为的边上一点，为边的一列点，满足，其中实数列中，则的通项公式为（ ）ABCD答案：D解析：， ，为边的一列点，化为：，即，数列是等比数列，首项为2，公比为3，即，故选：D5、已知等差数列的前项和为，若，且、三点共线（该直线不过点，则等于（ ）A1006B2012CD答案：A解析：，且、三点共线（该直线不过点，；数列是等差数列，；故选：A6、已知直线上有三点，为外一点，又等差数列的前项和为，若，则（ ）AB3CD答案：A解析：点、是直线上不同的三点，存在非零实数，使；若，；数列是等差数列，；故选：A考法四、平面向量与其他知识例1、双曲线C: ，O是坐标原点，F是

13、双曲线C的右焦点，离心率是e，已知A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，则的值为（ ）A0BeC2D答案：A解析：据题意渐近线方程是，则点的坐标是，点的坐标是，则，故选：A例2、设椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与交于，两点（点在轴上方），且满足，则直线的斜率为_.答案：解析：方法1：设，由题意可设直线的方程为.由，得，则有.由消去，得.则，；.由得，代入得即，则的斜率为.方法2：设，则，.由，得，即，由，得，即.由得，则，则直线倾斜角为60.方法3：如图，设直线的倾斜角为，为椭圆的右准线，过点作交于点，过点作垂直于轴，且交轴于点，过点作交于点，过点作垂直于轴，且交轴于点，则有，即；，即

14、.而，则，即，解得，则直线的斜率为.故答案为：例3、设椭圆的左，右焦点分别为，过作倾斜角为45的直线与交于，两点（点在轴上方），且，则_.答案：解析：设， 由题意知直线的方程为.由，得，则有.由消去，得.所以，代入得.故答案为：跟踪练习1、已知椭圆的左焦点为F，过点F且倾斜角为45的直线l与椭圆交于A，B两点（点B在x轴上方），且，则椭圆的离心率为_.答案：解析：设，由题意知，的斜率为，则直线方程为，设，联立直线和椭圆的方程得 ，整理得，则，且，可得 ，则， ，所以，可得，所以故答案为：2、已知双曲线的左、右焦点分別为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，

15、B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为_答案：解析：由题意，双曲线C的渐近线为，若过作直线l垂直于B，交于A，.且，在、之间，如上图示，令，则， 即，故，得，又，.故答案为：3、过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是( )A2.BCD答案：D解析：设双曲线的半焦距为，由得到，由得到，而，即点A是线段FB的中点，所以，所以.故选：D4、已知双曲线：的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）ABCD答案：A解析：依题意，所以，设直线的倾斜角为，则为钝角，结合解得，

16、设，则，将点坐标代入双曲线方程得，而，所以，化简得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A5、半径为的圆上有三点、满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）ABCD答案：A解析：如图， 与交于点，由得： ，所以四边形是菱形，且，则，由图知，而，同理，而，点是圆内一点，则，故选：A.6、在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（ ）ABCD答案：B解析：如图，设AD交BC于E，且，由B,E,C三点共线可得： ，.设，则，.又，.故选：B.考法五、最值（范围）例1、若均为单位向量，且，则的值可能为（ ）AB3CD2答案：A解析：因为均为单位向量，且，所以，所以，而 ，所以选项不正确，故选：A例2、已知是等

17、腰直角三角形，是平面内一点，则的最小值为（ ）AB4C6D答案：A解析：如图建立坐标系，则，设 ,最小值为-4，故选：A.例3、在直角梯形中，为边上一点，为直线上一点，则的最大值为（ ）ABCD答案：C解析：以为原点，、所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以，设，则，因为，所以，解得，所以直线所在的直线方程为，设，所以，因为为直线上一点，所以当时有最大值，为，故选：C.跟踪练习1、已知A，是圆上的两个动点，且满足，点，则的最小值为（ ）ABCD答案：C解析：设AB中点为M，则，且，所以M在以O为圆心，1为半径的圆上，所以，又M的轨迹方程为：，所以P到M轨迹的圆心的距离，所以的最小

18、值为d-r=3-1=2，所以的最小值为.故选：C2、如图，是圆的一条直径且，是圆的一条弦，且，点在线段上，则的最小值是（ ）ABCD答案：B解析：由题意可得，为使最小，只需，根据圆的性质可得，此时为中点时；又，因此，所以的最小值为.故选：B.3、已知向量，若对任意单位向量，均有，则的最大值是_答案：解析：由向量三角不等式的关系，又对任意单位向量，当且仅当与共线 时等号成立又则的最大值是故答案为：4、在平面内，若有，则的最大值为_答案：解析：根据条件，；，如图，作，则，连接，取的中点，连接，则；由得，；作，连接，则；点在以为直径的圆上；当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，即最大；又,又,且,所以,所以在上的最大投影为，所以,故答案为：5、已知单位向量、满足，则的最小值为（ ）ABCD答案：C解析：因