小波变换与多分辨分析课件

1、第七章 小波变换与多分辨分析 背景知识 子带编码 多分辨展开 小波变换 小波包1小波分析发展历史1807年 Fourier 提出傅里叶分析 ， 1822年发表 “热传导解析理论”论文1910年 Haar 提出最简单的小波1980年 Morlet 首先提出平移伸缩的小波公式，用于地质勘探。1985年 Meyer 和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。 1988年 Mallat 提出的多分辨率分析理论（MRA），统一了语音识别中的镜向滤波，子带编码，图象处理中的金字塔法等几个不相关的领域。 2问 题1. 为什么要研究小波变换？优点？2. 图像如何进行多分辨处理与

2、小波表示？3正弦波和小波（a） 正弦波曲线； (b) 小波曲线 45 与傅里叶变换相比，小波变换的优点： 小波变换同时提供了信号的时间-频率信息，而DFT只是提供了频率信息。小波分析是利用多种 “小波基函数” 对 “原始信号” 进行分解，而傅里叶变换的基函数为三角函数。 小波变换为原始信号提供了多分辨表达能力，在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。6图像变换每一种变换都有自己的正交函数集，引入不同的变换 傅里叶变换 余弦变换 正弦变换 图像变换 哈达玛变换 沃尔什变换 K-L变换 小波变换77.1 背景知识7.1.1 图像金字塔 金字塔算法 一幅图像的金字塔是一系列以金

3、字塔形状排列的分辨率 逐步降低的图像集合 一个金字塔图像结构 金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。8建立金字塔的方框图9高斯和拉普拉斯金字塔编码 首先对图像用高斯脉冲响应作低通滤波，滤波后的结果从原图像中减去，图像中的高频细节则保留在差值图像里；然后，对低通滤波后的图像进行间隔采样，细节并不会因此而丢失 。10 双通道子带编码和重建 7.1.2 子带编码子带：一幅图像被分解成一系列带限分量的集合，称为子带，它们可以重组在一起无失真地重建原始图像。11子带图像编码的二维4频段滤波器组 二维子带编码和解码12哈尔基函数是最古老也

4、是最简单的正交小波。哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达： T=HFHT其中，F是一个NN图像矩阵，H是NN变换矩阵，T是NN变换的结果 7.1.3 哈尔(Haar)变换134x4 Haar变换矩阵1488的Haar变换矩阵为：15哈尔变换哈尔基函数对图像的多分辨率分解 167.2 多分辨率展开 函数的伸缩和平移 给定一个基本函数 ,则 的伸缩和平移公式可记为：17函数的伸缩和平移 18 序列展开 信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合。其中，k是有限或无限和的整数下标，ak是具有实数值的展开系数， 是具有实数值的展开函数 19尺度函数20 小波函数 给

5、定尺度函数，则小波函数 所在的空间跨越了相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异。 定义小波集合 ，21 令相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异子空间为Wj，则下图表明了Wj与Vj和Vj+1间的关系。尺度及小波函数空间的关系 22第一讲核心知识点1小波变换与DFT变换相比优点是什么？为什么引入图象变换？2金字塔分解与子带编码的关系如何？ 3多分辨展开为什么引入尺度函数，尺度函数存在什么特点？小波函数与尺度函数的关系是什么？237.3 一维小波变换 一维离散小波变换（DWT）24257.4 快速小波变换算法Mallat离散小波变换算法 26Mallat离散小波逆变换 277.5 二维离散小波变换对于MN的离散函数f(x,y)的离散小波变换对为：28二维离散小波变换的一次分解 29图像的二维离散小波变换307.6 小波包分解31 思考：高频成分Wj-1以及Wj-2可以继续分解吗？32小波包分解分析树33小波包分解的频谱分离特征34思考问题1？How to realize image denoising35思考问题2？如何去除文字信息得到比较清晰的企鹅图片？36HOW To DO Inpainting?371 小波变换中为什么引入下采样？正变换以及逆变换的物理含义是什