九年级数学圆中的计算问题华东师大版知识精讲

1、九年级数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】一本周讲课内容：圆中的计算问题【知识与技术】研究概括圆的弧长、扇形面积公式，会集适运用公式进行弧长、扇形面积的相关计算。认识圆柱、圆锥的特点，认识圆柱、圆锥的侧面张开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面积及全面积。【过程与方法】在研究概括弧长、扇形面积公式时，表现了“从特别到一般”的数学思想方法。【感情、态度、价值观】在研究公式过程中，提升推理、概括能力及应妄图思，培育与别人合作能力，进一步发展我们对峙体图形的认识，同时也加强空间立体感。【讲课过程】nr1弧长公式：l180注意：（1）在弧长公式中，n表示“1”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“n

2、”和“180”不该再写单位。（2）在计算时，若题目中没有注明精准度，可以用“”表示弧长，如弧长是3，15.2等。（3）在弧长公式中已知l、n、r中的随意两个量都可以求出第三个量。扇形：1）定义：由构成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。如图：（2）周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即l2r。3）面积：注意：公式Snr2或S1lr36022Snr中的“n”与弧长公式中“n”的意义同样，表示“1”圆心360角的倍数，参加计算时不带单位。S1lr与三角形面积公式S1ah十分相像，为了便于记忆，可以把扇形看作曲22边三角形，把弧长看作底，半径r看作底边上的高。注意二个公式的差

3、别。nr2如：已知半径r、圆心角度数求S，用S。360已知半径r、弧长l求S，用S1lr。2已知：S、l、n、r四个量中随意两个量，可以求出其他两个量。圆柱的侧面积与全面积（1）侧面张开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。（2）S柱侧2rh（r为底面半径，h为高）（3）S全S柱侧2S底注意：圆柱有无数条母线，母线长等于圆柱的高。圆锥的相关见解圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如图（1），我们把圆锥底面圆周上随意一点与圆锥极点的连线叫做圆锥的母线，连结极点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。圆锥的侧面积和全面积沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面张开，获得一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥

4、底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长。如图（2）所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为a，则它的侧面积：S侧1a2rra2S全S侧S底rar2rar注意：圆锥有无数条母线，圆锥的母线长不等于圆锥的高。圆锥的母线长为侧面张开后扇形的半径，注意与圆锥底面半径划分。暗影部分面积的求法常用的有公式法、割补法，还有等积变形法、方程法、对称法等。【典型例题】例1一圆弧的圆心角为300，它所对的弧长等于半径为6cm的周长，求该圆弧所在圆的半径。分析：已知弧长与圆周长之间的关系，考虑运用弧长公式和圆周长公式。解：设弧所在圆的半径为R300R依据题意得：26180解得：R7.2(cm)说明：弧长公式中lnR中

5、，三个量l、n、R已知此中两个量，都可以求出第三个量，此中n没有单位，l180与R的单位要一致。例2如图，正ABC内接于O，边长为4cm，求图中暗影部分的面积。分析：连结OA、OC，暗影部分面积看作是扇形键是求O的半径及AOC。本题察看组合图形面积的求法及扇形面积公式等。解：连结BO并延伸交AC于E，连结OA、OCABC是正三角形且内接于OBEACAOC与AOC的面积之差，所以关1AEAC2cm2AOC120，AOE60在RtAEO中，OAAE243cm33sin6021OA2OE3cm232R2S扇形AOCn120431636036033SAOC1ACCE1423432233S阴S扇AOCS

6、AOC1643cm293本题还可另解：S暗影1SOSABC3例3如图，A、B、C、D、E互相外离，它们的半径都是心得五边形ABCDE，求图中五扇形（暗影部分）的面积之和。1，挨次连结五个圆AEBCD分析：由已知可知图中每个扇形面积不可以独自求出，由于不知圆心角的度数。认真分析可得五个扇形的圆心角恰为五边形ABCDE的五个内角，所以，可以利用“整体代入”法来达成。解：由扇形面积公式SnR2，得暗影部分面积为：360S阴R2R2R2R2DR2ABCE360360360360360nR2BCDEA360nR22180536032说明：“整体代入”的方法是一种常用的、奇异的方法。例4如图，圆柱的高为的

7、侧面，爬到圆柱的母线50AB厘米，底面圆的周长为120cm，一只蚂蚁从的另一端B，求蚂蚁爬行的最短路线长。A点出发绕圆柱BA分析：蚂蚁爬行的路线是一条曲线，怎样求呢若将圆柱的侧面沿母线AB蚁爬行的路线即矩形上A到B的连线，由两点之间线段最短，可求得最短路线长。张开，则蚂解：将圆柱侧面沿母线AB张开，则AC120厘米，BC50厘米DBAC在RtACB中，由勾股定理得：ABAC2BC2130(cm)所以蚂蚁的最短路线长为130cm。例5在手工课上甲、乙两名同学合作，将半径为1米，圆心角为90的扇形薄铁片围成一个圆锥筒，在计算圆锥的容积时（接缝忽视不计），甲以为圆锥的高就等于扇形的圆心O到弦AB的距

8、离OC（如图），乙说这样计算不正确，你同意谁的说法把正确的计算过程写出来。OOBCAOAA(2)(1)分析：只需比较一下圆锥高的定义，就知道甲的想法是错误的，乙的说法正确。2解：在图（1）中，OC2由于在图（2）中，O的周长等于图（1）中AB的长所以，2OA90OA，OA，11801OA4所以，OOOA2OA215242故：甲的说法不正确例6若圆柱的侧面张开图是一个矩形，如图，对角线AC8，CAB30，求圆柱的底面积。DC30AB分析：已知AC8，CAB30，可求出矩形的边长。圆柱侧面张开图是矩形，矩形一边长为母线长，另一边等于底面圆周长。解：在RtABC中，AC8，CAB30BCACsin3

9、08142ABACcos3083432设圆柱的底面半径为R（1）若AD为母线长，则AB为底面圆的周长2R43，R23SR24312（2）若AB为母线，则AD为底面圆的周长2R4，R22SR224故圆柱的底面积为12或4说明：本题主要应理解圆柱的侧面张开图为矩形，相邻两边为母线长和底面圆的周长，所以在题目中没有指明哪一边为母线（或底面周长）时，该种类必有两种状况。例7如图，已知半圆的直径AB12厘米，点C、D是这个半圆的三均分点，求弦AC、AD和CD围成的暗影部分面积。（结果用表示）CDAOB分析：连OC、OD，则可证CDAB，COD60则SCODSCADS阴S扇形COD解：连OC、ODC、D是

10、半圆的三均分点CDABAD，COD60CDABSCADSCODS阴6062S扇COD6（平方厘米）360说明：本题运用的方法叫等面积变换法，这是一个重要的方法。例8如图，在ABC中，C90，ACBC，若以AC为底面圆半径，锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（BC为高的圆）ACBAS1S2BS1S2CS1S2DS1、S2的大小关系不确立分析：分别算出S1、S2再进行比较。解：S1ACABS2BCABACBCS1S2选B说明：圆锥也可以看做是直角三角形绕一条直角边旋转一周而成的图形。例9在半径为27米的圆形广场中央点O的上空安装一个照明光源S，S射向地面的光束是

11、圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120（以以下图），求光源离地面的垂直高度SO（精确到0.1米）（21414.，31732.，52236.，以上数据供参照）SABO分析：BO27米，BSA120，则BSO60，由此不难求SO。解：在SAB中，SASB，ASB120SOABO为AB中点，且ASOBSO60在RtASO中，OA27米SOOAcotASO27cot60393156.（米）273答：光源离地面的垂直高度为15.6米。说明：本题的实质是解Rt。【模拟试题】一选择题。1在半径为3的O中，弦MN3，则MN的长为（）ABC3D2222扇形的周长为16，圆心角为360，则扇形的面积为（）A16B3

12、2C64D163假如圆柱的高为20厘米，底面半径是高的1，那么这个圆柱的侧面积是（）cm2cm24A100B200C500cm2D200cm24已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥的侧面张开图的面积是（）A12B15C30D245如图，ABCD是正方形，边长为a，以B为圆心，以BA为半径画弧，则暗影面积为（）DCABA1a2B1C4D4a244二填空题。1直径为12cm的圆，60圆周角所对的弧的弧长为_厘米。如图，在ABC中，ACB90，B15，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D点，若AC6cm，则AD的长为_厘米。BDCA3一个扇形的弧长为20厘米，面积为240cm2，则该扇形的圆心

13、角为_度。4已知圆柱母线与底面圆的直径相等，且底面积为4cm2，则圆柱的侧面积为_cm2。5若圆锥的母线长为6cm，侧面张开图是圆心角为300的扇形，则圆锥底面半径为_cm。6圆锥底面半径为4cm，母线长为24cm，则侧面张开图中扇形的圆心角为_。7若用半径为15cm，圆心角为216的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为_cm。三解答题。1已知AB的长为6厘米，所对的圆周角ACB60，求弦AB的长。COAB2如图，在ABC中，BAC105，B45，AB22，ADBC，垂足为D，以A为圆心，AD为半径画弧EF，求图中暗影部分的面积。AFEBDC3如图，RtABC中，C90，ACBC2cm，分别以A、C为圆心画弧，B使DE、DF、EF所在的圆两两外切。求：1）DE、DF、EF的长；2）暗影部分的面积。BDFCEA4如图，圆柱的高为12cm，底面直径为10cm，求图中圆锥的全面积。AO2DBO1C【试题答案】一选择题。1B2A3B4B5D二填空题。142（厘米）31504165566012解答题。由条件可求得：AOB120及O的半径过O作AB的垂线，结构直角三角形可求出ABAB93cm2S暗影SABCS扇形AEF曲线面积的求