个人购房按揭贷款的还款方案探讨

1、个人购房按揭贷贷款的还款方方案探讨一、摘 要最近，关于个人人购房按揭贷贷款的还款方方式引起了社社会各界的关关注。银行目目前有等额本本息还款法和和等本不等息息递减还款法法（简称等额额本金还款法法）两种还款款方式，且一一般推荐提供供等额本息还还款法。在合理假设的前前提下，运用用等差数列求求和设计等额额本金还款法法偿还贷款本本息和每月还还款额的模型型，运用迭代代和等比数列列求和两种不不同方法从不不同角度推导导等额本息还还款法偿还贷贷款本息和每每月还款额的的模型，通过过计算讨论比比较两者偿还还贷款本息的的多少，得出出等额本金还还款法的利息息比等额本息息还款法偿还还贷款本息少少，在贷款人人具有还贷能能力

2、的条件下下比较省钱。再再在前两个静静态模型的基基础上建立考考虑未来现金金的折现的动动态模型，进进一步说明结结果，更具实实际性。从静态模型特点点得出，两者者偿还贷款本本息的多少和和本金无关，并并且相同还款款方式下，年年数越小，利利率越低，偿偿还贷款本息息越少，我们们取贷款月利利率为4.44125, (年利率率/12),贷款20万万，得到两种种方式偿还贷贷款本息关于于年数的关系系式，选取典典型年数，运运用exceel计算选取取各年数的偿偿还贷款本息息，并据此作作出折线图进进行拟和，得得出总体趋势势，各年数下下，等本不等等息递减还款款法计算得到到的偿还贷款款本息比等额额本息还款法法少，随着年年数增加

3、，两两者偿还贷款款本息都增加加，同时差额额不断增加。为提高科学性，从从三个方面进进行验证：第第一，分析其其对利率的灵灵敏度，改变变利率，其他他不变，进行行重新计算，得得到两者偿还还贷款本息增增加，但是数数据和图表的的趋势和原先先相同。第二二，取20年年的房贷，其其他条件不变变，运用maatlab作作两种方法每每月还款额的的的图，比较较其金额大小小，通过对图图形的分析得得出，虽然等等本金法在前前期每月还款款多，但是线线形下降的，最最后总偿还贷贷款本息比等等额本息还款款法少。第三三、通过计算算得出如果提提前还贷，偿偿还贷款本息息等本金法比比等额本息还还款法少。对问题二，设计计了双周还款款法，套用静

4、静态模型，通通过计算200万贷款，与与原先方式进进行比较，得得到结果是贷贷款年数在一一年内，采用用双周法偿还还贷款本息会会比较少。文章最后对模型型进行了评价价和推广，在在投资理财方方面都可以进进行运用二、 问题重述述最近，关于个人人购房按揭贷贷款的还款方方式引起了社社会各界的关关注。银行目目前有等额本本息还款法和和等本不等息息递减还款法法两种还款方方式，且一般般推荐提供等等额本息还款款法。有人认认为一笔200万元、200年的房贷，两两种还款方式式的差额有11万多元，认认为银行在隐隐瞒信息，赚赚消费者的钱钱。所谓等额额本息还款法法，即每月以以相等的额度度平均偿还贷贷款本息，直直至期满还清清；而等

5、本不不等息递减还还款法（简称称等额本金还还款法），即即每月偿还贷贷款本金相同同，而利息随随本金的减少少而逐月递减减，直至期满满还清。1请你建立数数学模型讨论论这两种房贷贷还款方式是是否有好坏之之分；2是否可以设设计一些其它它房贷还款方方式，并作讨讨论；3给报社写一一篇稿子，介介绍你的研究究成果。三、基本假设与与符号说明基本假设：1、贷款月利率率不变(查资资料得目前个个人房贷5-30年的贷贷款年利率为为4.95%)r=4.95%/12=44.125每月还息近似用用月利率按月月计算计算，不不到5年的也也近似用该利利率计算2、先不考虑现现金净现值（时时间因素）3、每月近似按按四周算4、贷款人有足足够

6、能力支付付每月房贷5、银行储蓄利利率比贷款率率要低6、现金折算率率近似银行储储蓄利率符号说明：a=贷款本金n=房贷年数r=贷款月利率率s=现金折现率率x=总利息（按按到期日计算算）w=总偿还贷款款本息（按到到期日计算）b=每月付款（等等额法）a(i)=第ii月归还本金金 （i=11,2,3）x(i)=第ii月偿还的利利息y(i)=第ii月欠银行的的钱w1=等本金法法总付房贷款款w2=等本息法法总付房贷款款等本金法法总付房贷款款现值等本息法法总付房贷款款现值a=W=a+x等额本金还款法法简称等本金金法等额本息还款法法简称等本息息法注：其他符号文文中出现时再再给定说明四、问题的分析析及模型建立立银

7、行目前有等额额本息还款法法和等本不等等息递减个人人购房按揭贷贷款的还款方方式，无论哪哪种还款方式式，都有一个个共同点，就就是每月的还还款额（也称称月供）中包包含两个部分分：本金还款款和利息还款款：月还款额=当月月本金还款+当月利息 式1其中本金还款是是真正偿还贷贷款的。每月月还款之后，贷贷款的剩余本本金就相应减减少：当月剩余本金=上月剩余本本金-当月本本金还款直到最后一个月月，全部本金金偿还完毕。利息还款是用来来偿还剩余本本金在本月所所产生的利息息的。每月还还款中必须将将本月本金所所产生的利息息付清：当月利息=上月月剩余本金月利率 式式2其中月利率=年年利率122。由上面利息偿还还公式中可见见

8、，月利息是是与上月剩余余本金成正比比的，由于在在贷款初期，剩剩余本金较多多，所以可见见，贷款初期期每月的利息息较多，月还还款额中偿还还利息的份额额较重。随着着还款次数的的增多，剩余余本金将逐渐渐减少，月还还款的利息也也相应减少，直直到最后一个个月，本金全全部还清，利利息付最后一一次，下个月月将既无本金金又无利息，至至此，全部贷贷款偿还完毕毕。两种贷款的偿还还原理就如上上所述。上述述两个公式是是月还款的基基本公式.其其他公式都可可由此导出。要比较两种方法法的好坏，是是在相同房贷贷年数的前提提下比较在同同一时间点上上两者所付给给银行总本金金和利息的多多少，省钱的的就比较好，这这里我们选取取比较有代

9、表表性的贷款发发生和结束时时为计算还款款的共同时间间点。(1)以还清清贷款日为计计算总偿还贷贷款本息共同同时间点，建建立静态模型型：1.等额本金还还款方式建立模型1:等额本金还款方方式,每次还还款的本金还还款数是一样样的。为还款年数数，按月归还还贷款，所以还款次数为为当月本金还款=总贷款数还款次数当月利息=上月月剩余本金月利率=总贷款数（11（还款月月数-1）还款次数）月利率所以第i月还利利息为：(=1,2,)易见是一个以以为首项的等等差数列,方方差为当月还款额=当当月本金还款款当月利息息所以,第i月还还款为：总利息所有利利息之和根据等差数列求求和:即:总利息=总总贷款数月月利率（还还款次数1

10、1）2总偿还贷款本息息本金总总利息：由于等额本金还还款每个月的的本金还款额额是固定的，而而每月的利息息是递减的，因因此，等额本本金还款每个个月的还款额额是不一样的的。开始还得得多，而后逐逐月递减。2. 等额本息息还款方式按模型1的等额额本息还款方方式的公式推推导见附录一一下面我们从另一一个角度建立立模型来求解解总偿还贷款款本息模型2:第i月欠银行的的钱数(i=0,1,22,)，为每月偿还还的贷款，刚刚开始欠银行行钱：当月欠银行钱=上月欠银行行钱当月偿偿还的钱：化简得：=(-)即=(-)最后一年欠款为为零:所以 (-)=0=五、模型化简求求解和验证显然两种方式偿偿还贷款本息息与本金无关关，因此比

11、较较w大小主要要和年数n和和利率r有关关。我们不妨妨设a=2000000元元，先假设月月利率为4.1255，将模型型化简。得到到两种方式偿偿还贷款本息息关于年数的的关系式。(1) 研究ww和n 关系系，即不同年年限两种方法法的还款额各各为多少，通通过exceel制得图表表总还贷额额（元）房贷年数n等本金法w1等本息法w20.25201,6500.00201,6522.260.5202,8877.50202,8977.411205,3622.50205,4022.972210,3122.50210,4755.203215,2622.50215,6288.864220,2122.50220,863

12、3.855225,1622.50226,1800.026230,1122.50231,5777.207235,0622.50237,0555.178240,0122.50242,6133.689244,9622.50248,2522.4310249,9122.50253,9711.0915274,6622.50283,7488.9320299,4122.50315,4544.4530348,9122.50384,3144.4050447,9122.50540,7422.80图表根据这些数据绘绘制的图表22如下：注：系列1代表表w2,系列2代表w1图表2说明：由于人年年满18周岁岁才可申请房房贷

13、，一般还还贷最后期限限不会超过退退休年龄，所所以n取到550年，当nn超过一年时时,年限一般般取整,这符符合普通大众众实际情况。从数据可以看出出在年限相同同时w1总比比w2要小，因因此虽然年数数没有用穷举举法，但已经经揭示了其规规律，不影响响科学性，并并且通过图表表更形象看出出其趋势。刚刚开始两者差差距不大，但但是从n=110时开始差差距逐渐拉大大.。当n=20时 w1=299,412.550w2=315,454.445w2-w1=116041.95所以两种还款方方式的差额有有1万多元,等额本金法法较省钱。验证一：当r变化时w的的变化趋势，假假设r=4.3,其他他假设不变，通通过exceel制

14、得图表表2总还贷额（元）rr=0.0004125总还贷额（元）rr=0.00043房贷年数等本金法等本息法等本金法等本息法0.25201,6500.00201,6522.26201720.00201722.460.5202,8877.50202,8977.41203010.00203020.761205,3622.50205,4022.97205590.00205633.972210,3122.50210,4755.20210750.00210926.783215,2622.50215,6288.86215910.00216308.064220,2122.50220,8633.85221070

15、.00221777.695225,1622.50226,1800.02226230.00227335.496230,1122.50231,5777.20231390.00232981.277235,0622.50237,0555.17236550.00238714.778240,0122.50242,6133.68241710.00244535.699244,9622.50248,2522.43246870.00250443.6710249,9122.50253,9711.09252030.00256438.3415274,6622.50283,7488.93277830.00287695.2

16、220299,4122.50315,4544.45303630.00321036.6830348,9122.50384,3144.40355230.00393582.6050447,9122.50540,7422.80458430.00558559.00图表3根据这些数据绘绘制的图表如下：图表显然在年限相同同时w1总比比w2要小当n=20时w13036630w2=3210036.688w2-w1=117406.68验证二：a=2000000元4.125等本金法b当n=20时，每每月还款额图图表5如下:等本息法b图表5由图分析可知，两两种方法在前前几个月每月月还款等本金金法比等本息息法要多，在在

17、后期等本金金法每月还款款下降很快，从从图的面积可可看出，总额额等本金法较较少。验证三：以贷款20万元元、期限200年、月利率率4.2来来计算，可算算出，依旧是是本金还款法法利息少。假假如5年后，市市民提前一次次性还清贷款款，根据本息息还款法计算算，5年中，已已还本金499457元，已已还利息699733元，需需一次性付清清所剩的本金金2505443元；根据据本金还款法法计算，5年年中，已还本本金750000元，已还还利息663308元，再再一次还款22250000元就行了。两两种还款方法法比较之下，本本金还款法所所支付利息比比本息还款法法少34255元。(2) 以贷款款日为计算总总偿还贷款本本

18、息共同时间间点，考虑时时间价值,对对模型1，22进行改进，以以月利率s=/12=22.775(3.333%为当前年年银行存款利利率),将两两种还款方式式下每月还本本付息折现到到贷款发放日日，建立动态态模型:改进模型1 =+a/122n，根据现值计算公公式化为:改进模型2：同同理可得说明：显然两种种方式好坏与与本金无关，因因此比较w大大小主要和年年数n和利率率r有关。我我们不妨设aa=2000000元，假假设月利率为为4.1255， n=20,a=2000000,用maatlab求求解ww1,ww2,程程序源代码见见附录二说明：差额并没没有原先模型型那样大，但但等本金法仍仍比等额法还还款少。(3

19、) 其他模模型的建立（不不考虑折现）:由于本金是一定定要还的,各各种方法的本本金都是一样样的,因此我我们研究其他他还款方式因因着重考虑利利息,根据ww1,w2公公式和图表22看出 ,相相同还款方式式利率越低,年限越少,还款总额越越少,因此已经贷款的的可以考虑提提前还贷，每每种还款方式式都是根据借借款人剩余本本金的多少计计算利息的。不不同的是，有有的还款方式式归还本金的的速度比较快快，有的则较较慢，由此导导致不同还款款方式总利息息的不同。根根据贷款偿还还原理根和图图表1可知，还还款年数少，前前期还本金多多比较核算。假设现在按双周周还款 R=r/2=00.0041125/2=0.0022，www1

20、1,www22分别为等本本金法和等本本息法的总还还款额，改进进模型1和模模型2，得到到模型3：n=20， aa=2000000，R=0.0022,用exccel得到：房贷年数等本金法w1等本金法wwww1等本息法w2等本息法wwww20.25201,6500.00201,4855.71201,6522.26201,4888.400.5202,8877.50202,7711.43202,8977.41202,7822.371205,3622.50205,3422.86205,4022.97205,3866.832210,3122.50210,4855.71210,4755.20210,6611.

21、773215,2622.50215,6288.57215,6288.86216,0244.694220,2122.50220,7711.43220,8633.85221,4755.475225,1622.50225,9144.29226,1800.02227,0133.956230,1122.50231,0577.14231,5777.20232,6399.937235,0622.50236,2000.00237,0555.17238,3533.148240,0122.50241,3422.86242,6133.68244,1533.299244,9622.50246,4855.71248,2

22、522.43250,0400.0510249,9122.50251,6288.57253,9711.09256,0133.0115274,6622.50277,3422.86283,7488.93287,1544.5420299,4122.50303,0577.14315,4544.45320,3699.7330348,9122.50354,4855.71384,3144.40392,6344.0150447,9122.50457,3422.86540,7422.80556,9611.68图表6由表可得出在一一年内，双周周法比较合算算。银行推出不同的的房贷方式，只只是为了满足足收入情况不不同的

23、各种借借款人的需要要。虽然理论论上总还款额额比较少的比比较核算，实实际生活中要要看是否适合合自己的经济济状况。选择择还款方式的的关键是要与与自己的收入入趋势相匹配配，尽量使收收入曲线和供供款相一致。在在有还贷能力力情况下尽量量选择总还款款额比较少。等额本金还款:适合目前收收入较高的人人群。借款人人在开始还贷贷时，每月负负担比等额本本息要重。随随着时间推移移，还款负担担便会逐渐减减轻。这种还还款方式相对对同样期限的的等额本息法法，总的利息息支出较低。等额本息还款法法的特点是每每个月归还一一样的本息和和，容易作出出预算。还款款初期利息占占每月供款的的大部分，随随本金逐渐返返还供款中本本金比重增加加

24、。等额本息息还款法更适适用于现期收收入少，预期期收入将稳定定或增加的借借款人，或预预算清晰的人人士和收入稳稳定的人士，固定利率:进入入加息周期较较合算目前国国内借款人与与银行已签订订的房贷合同同都是浮动利利率的，央行行每一次加息息，借款人的的月供就要有有相应地增加加。在贷款合合同签订时，即即设定好固定定的利率，不不论贷款期内内利率如何变变动，借款人人都按照固定定的利率支付付利息，但风风险较大。按期付息还本:适合房产投投资客，借款款人通过和银银行协商，为为贷款本金和和利息归还制制订不同还款款时间单位。即即自主决定按按月、季度或或年等时间间间隔还款。实实际上，就是是借款人按照照不同财务状状况，把每

25、个个月要还的钱钱凑成几个月月一起还。还可以有递增法法，气球贷等等等，核心都都是根据贷款款人经济实力力制定不同时时期的本金和和利息的还款款额，理论上上占用时间越越少越省钱。六、模型的优缺缺点与改进方方向1、模型的优点点：（1）采用的数数学模型有成成熟的理论基基础，可信度度较高。（2）本文建立立离的模型有有相应的软件件支持，推光光容易。（3）本文建立立的模型与实实际紧密联系系，考虑现实实情况的多样样性，从而使使模型更贴近近实际，更实实用。（4）本文用数数学工具，严严密对模型求求解，具有科科学性。（5）为了更贴贴近实际，在在静态模型的的的基础上，考考虑未来现金金折现对模型型进行改进，加加以验证。（6

26、）借助图表表，比较形象象直观，从多多方面对结果果进行验证。2、模型缺点：（1）模型复杂杂因素较多，不不能对其进行行全面考虑。（2）利率的精精确度不同可可能造成一定定误差（3）经济社会会中随机因素素较多，使模模型不能将其其准确反应出出来3、模型的改进进（1）考虑通货货膨胀等市场场经济中的因因素（2）考虑国家家政策、重大大事件比如加加息对人们还还贷行为的影影响（3）对利率有有更准确的计计算方法（4）考虑不同同人群的消费费观念和收入入水平4、模型的推广广可以用文中所用用到模型计算算各期应还贷贷款，可以用用于计算公司司的投资收益益，净现金流流。证券和房房地产投资方方面也可以很很好的进行评评估。六、参考

27、文献1 吴建国国.数学建模模案里例精编编.北京：中中国水利水电电出版社, p289-p309,20062 冯伟，黄黄力伟，王勤勤，尹成义.数学建模原原理与案例：科学出版社社，p2044-p2333,200773 周开利利，邓春晖.MATLAAB基础及其其应用教程：北京大学出出版社，p1185-1994,200074 Marrk M.MMeerscchaertt.Mathhematiical MModeliing(Seecond Editiion)：机机械工业出版版社，p433-p50,2005七、附录附录一 等额本本息还款方式式的公式推导导设：总贷款额 a还款次数=n还款月利率rr月还款额bb

28、当月本金还款y(i)（ii还款月数数）第一个月，当月月本金为全部部贷款额aa，因此：第一个月的利息息ar第一个月的本金金还款额Y(1)b第一个月的的利息bar第一个月剩余本本金总贷款款额第一个个月本金还款款额a（baar）a（rr）b第二个月，当月月利息还款额额上月剩余余本金月利利率第二个月的利息息（a（r）bb）r第二个月的本金金还款额Y(i)b第二个月的的利息b（a（r）bb）r第二个月剩余本本金第一个个月剩余本金金第二个月月本金还款额额a（rr）b（bb（a（r）aa）r）a（rr）bbb（a（r）bb）ra（rr）2a（r）b(1+r)22表示(1+r)的2次次方第三个月的利息息第二个

29、月月剩余本金月利率第三个月的利息息（a（r）22a（r）bb）r第三个月的本金金还款额Y(3)b第三个月的的利息b（a（r）22b（r）bb）r第三个月剩余本本金第二个个月剩余本金金第三个月月的本金还款款额a（rr）2b（r）b（a（a（r）2b（r）b）rr）a（rr）2b（r）b（b（a（r）2rb（r）b）r）a（rr）2（r）（bb（r）b（r）a（rr）3b（r）bb（rr）2bb上式可以分成两两个部分第一部分：a（r）3第二部分：bb（rr）b（r）22bb（r）（r）22通过对前三个月月的剩余本金金公式进行总总结，我们可可以看到其中中的规律：剩余本金中的第第一部分总总贷款额（月利

30、率）的的次方，（其其中还款款月数）剩余本金中的第第二部分是一一个等比数列列，以（月利率）为为比例系数，月月还款额为常常数系数，项项数为还款月月数。推广到任意月份份：第月的剩余本本金a（r）bss()（ss(n)为（r）的等等比数列的前前项和）根据等比数列的的前项和公公式：zz22z3zz（z）（z）可以得出bs(n)b（r）（rr）b（r）r所以，第月的的剩余本金a（r）b（r）rr由于最后一个月月本金将全部部还完，所以以当等于还还款次数时，剩剩余本金为零零。剩余本金a（r）nb（r）nn）rr0从而得出月还款款额bar（r）nn（r）n）总贷款额月月利率（月利率）还款次数（月月利率）还还款次

31、数附录二“等额本金金还款法” 的还款总额额的计算源代代码：M-file:functioon ss = summ11( n )%SUMM1 Summaary off thiss funcction goes here% Detaiiled eexplannationn goess herees = 0;a = 2000000;r = 0.00042;d = 0.00025;for i = 1:ndb = (aa ./ nn + (aa - (i - 11) .* a) ./ n) .* r) ./ (1 + dd) . i);s = s + db;endinput: summm1(2400)ou

32、tput:ans =2.3582ee+005“等额本息还款款法” 的还还款总额的计计算源代码：M-file:functioon ss = summ22( n )%SUMM2 Summaary off thiss funcction goes here% Detaiiled eexplannationn goess herees = 0;a = 2000000;r = 0.00042;d = 0.00025;for i = 1:ndb = (a .* (r .* (1 + r) . n) / (1 + rr) . n - 11) / (1 + d) . i);s = s + db;endinpu

33、t: summm(240)output:ans =2.3879ee+00附录三给报社写写一篇稿子，介介绍研究成果果唯有适合的才是是最好的如何选择住住房贷款还款款方式亲爱的读者朋友友:你们好!最近，关于个人人购房按揭贷贷款的还款方方式引起了社社会各界的关关注。银行目目前有等额本本息还款法和和等本不等息息递减还款法法两种还款方方式，且一般般推荐提供等等额本息还款款法。有人认认为一笔200万元、200年的房贷，两两种还款方式式的差额有11万多元，认认为银行在隐隐瞒信息，赚赚消费者的钱钱。所谓等额本息还还款法，即每每月以相等的的额度平均偿偿还贷款本息息，直至期满满还清；而等等本不等息递递减还款法（简简

34、称等额本金金还款法），即即每月偿还贷贷款本金相同同，而利息随随本金的减少少而逐月递减减，直至期满满还清。尽管等额本金还还款法被炒得得沸沸扬扬，但但是很多市民民还是不太清清楚自己究竟竟适合哪种还还款方式。从从测算的结果果来看，等额额本金还款方方式肯定要比比等额本息方方式支付的利利息少。借款款人可根据自自己的经济状状况和还款意意愿自主选择择还贷方式。一、等额本息还还款法与等额额本金还款法法的比较分析析假定借款人从银银行获得一笔笔20万元的的个人住房贷贷款，贷款期期限20年，贷贷款月利率44.125，每月还本本付息。不考虑时间因素素，将每月还还本付息额简简单累加，在在整个还款期期内，等额本本金还款法

35、下下借款人共付付本息2999,412.50元，而而等额本息法法共付利息3315,4554.45元元，两者相比比，等额本金金还款法少付付174066.68元。考虑时间因素，以以折现率2.275计计算,等额本本金还款法下下借款人共付付本息元，而而等额本息法法共付利息元，两者相相比，等额本本金还款法少少付36500元。二、提前还贷：还是“本金金法”省钱有些市民在买房房后，可能会会提前还贷，那那么，在这种种情况下，哪哪种还款法省省钱呢？仍以以贷款20万万元、期限220年、月利利率4.2来计算，可可算出，依旧旧是本金还款款法利息少。假如5年后，市市民提前一次次性还清贷款款，根据本息息还款法计算算，5年中，已已还本金499457元，已已还利息699733元，需需一次性付清清所剩的本金金2505443元；根据据本金还款法法计算，5年年中，