2019高等数学(上册)期末考试试题(含答案)V

1、2019 最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题求下列隐函数的导数： x3 y3 3axy 0； x y ln(xy)；y xeyex10； ln(x2 y2 ) 2arctan；x xy ex y解： 两边求导，得：3x2 3y2 y 3ay 3axy 0解得yay x2 y2 ax 两边求导，得：yln(xy)y1 ( y xy)xy解得 y x y.x(ln x ln y 1). 两边求导，得：ey xey y yex yex 0解得 y ey yex .xe y ex 两边求导，得：1x2 y2(2x2yy) 21y1()2yxyx y x2x y x y 两边求导，得：y xy

2、 ex y (1 y)解得 y= ex y y .x ex y求下列级数的和：(1) 1； x n 1 x n x n n1(2)n1n 22n1n；(3)1 1 1 ；55253解：(1) un1x n 1 x n x n 1 1112xn1xnxnxn1S 11111n2xx1x1x2x1x2x2x311xn1xnxnxn1 1112xx1xnxn1因此lim Sn1n 22xx1n 212xx 1n因为Unn 1 n1n从而 Sn 3224 54 2414343 32 n 2n 1 n1nn 22n 11n 22n 2nn 2n1222所以lim Sn1，即级数的和为1S 1 1 1n5

3、525n1 1n 5 1 5 1 15 11 14 1 5 从而lim Sn11，即级数的和为 44u(t)=3sin2t，求u(t)在0,2解：u(t)2 2 3sin 2tdt 6 .01 1 b f 2 (x)dx baa解：均方根公式为f (x) 222 9sin2 2tdt0181cos4t2dt02u(t)18 t118 t12sin280922半径为 R 离水面，问做功多少？21，以切点为原点建立坐标系，则圆的方程为(xR)2+y2=R2 将球从水中取出需作的功相应于将 0，2R区间上的许多薄片都上提 2R 的高度时需作功的和的极限。取深度 x 为积分变量，典型小薄片厚度为 dx

4、，将它由 A 上升到 B 时，在水中的行程为 x；在水上的行程为 2Rx。因为球的比重与水相同，所以此薄片所受的浮力与其自身的重力之和 x 为零，因而该片在水中由 A B 时，需作的功即功元素为（21）dw (2Rx)gy2(x)dx g(2Rx)R2 (x R)2 2（21） g (2R x)(2Rx x2 )dx所求的功为0w 2R g(2Rx)(2Rxx2)dx0 g2R (4R2x4Rx2 x3)dx0412 R g 2R2 x2 3 Rx3 4 x4 04R4g(KJ).3yx3(0 x1)x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积解D=21y1+y2dx0=21x301+9 x 4 d x1

5、8 2318 =(1+9 x4 )2027= (10101)276（1）求下列各曲线所围图形的面积：1y 2x2 x 2 y2 =8( )；D1D2yy解方程组1=2x2得交点 A(2，2)8x28x21x2x=+ 2x2+y2=8(1)1 023D1 +D=2+ 4,32,3D + D =8 2+ 4 =6 434（2）331y= x 与直线 y=x 及 x=2；=2 x1 d x =1x 2 ln x 2 = 3 ln2.1 1x221(2)y=exy=ex x=1；11D=0(e x ex )d x =e+ e2y=ln x，y 轴与直线y=ln a，y=ln b(ba0)；D=lnbe

6、ydy=bal n ayx2 y=x22；y=x2解：解方程2得交点(1，1)，(1，1)y=x 23D=1 (x2+2x2)dx=41x2+1dx=831504y=sin x y=cos x x =x 9 ；45解：D=24 (sinxcosx)dx4=2cosxsinx4 =424切线；y=x 2 +4 x 3 及其在(0，3)和(3，0)处的y=2x+4y4 ，y=2抛物线在点(0 3) y=4 x 3 在(3 0) y=2x +623 3) 故所求面积为2D3 4x3x2 4x3x32x6x2 4x3x2033 3 2 3 x2dx x 6x 9dx22032 9 .4xatsint)

7、ya(1cost(0t2)x 轴； t=0 时，x=0, t=2x=2a所以S 2a x 2 a1costdatsint00a2 21cost2 t03a2 .asin3a2 解：D =3 D 1 =3 2 3 sin2 3 d 03a2 1 cos6= 232d=3a201 sin6 34604=a2 4=2acos； 1解：D =2 D 1 =2 22 4 a2 cos2 d 0 1 cos2 =4a222d02=4 a2 1 +1sin2 20=4a21 22a2 1217已知f(2) , f 0,f(x1, 求x2 f (2x)dx.211x2f(2x) 10)1 112xf(2x)d

8、x解：原式=2 0 x2 fx22 00 1 f(2)11f(2x)011(2 )1f (2x)dx22 0 xfx22 0011 f(2)11 f(2x)d(2x)112 ft)dt 140124 04 0422(2)证明：22sin xdx cos xdx 2,0 sin x cosx0 sin x cosx42,xa2 xa2 x20证明：由习题 22(2)可知(a 为正常数)2sinx20 sin x cos dx 202cosxsinxcosxsinx又2dx cos xdx dx .22022故等式成立. adx0sinxcosxxa2 x22令xaxa2 x2200 sin x

9、cosx02cosxdt sintcost4利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a为正常数）(1) sin xdx;a | x |sin x解：因| x |为a, a上的奇函数，故a sinxdx0.a | x |(2)a ln(x1 x2 )dx;a解：因为ln(x1(x)2 )ln(x1 x2 )即被积函数为奇函数，所以原=0.(3)sin xtan2 x2 x); 1 23cos3xsin x tan2 x解：因为为奇函数，故3cos3x=01ln(1xln(1x)1xdx22原式2121 1 x122 1ln3ln22xln(12 3ln3ln21.112123x(4)sin2 x

10、sin4 xlndx.23 x 解：因为ln 3 x 是奇函数，故53 13 53 1= sin66 2 5 原式222 sin0642216试证明：如果函数 y ax3 bx2 cxd b2 3ac 0值.证明： y 3ax2 2bx c ，令 y 0 ，得方程3ax2 2bx c 0 ，由于 (2b)2 4(3a)c 4(b2 3ac) 0 y 0 无实数根，不满足必要条件，从y .y=4xx2.y 解：y=(x2)2+4，故抛物线顶点当x=2时， y 0,y 2y 故k (1 y2 )3/ 2 2.一点沿对数螺线r 运动，它的极径以角速度 .drdrd解：dtd dt ea a . y

11、xex ； y ln；x y y 8xx解：； y 5ln tan x ；xarcsin x6e2 x ； y xarcsin x(arctan x)2. dy (xex )dx ex (1 x)dx；1 x ln x dy (ln x ( xxx2)dx 1ln x dx ；12xx212x dy(cosx )dx(sinx)dy (5lntanx )dx (ln55lntanx 11tan xdx sinxdx ；12xsec2 x)dx12x 2ln 55ln tan x sin 2xdx ； dy (8xx 6e2 x )dx 8xx (1 ln x) 12e2 x dx ；arcsi

12、n x2arcsin xarcsin x2arcsin x1 x2 dy (arctan x)2 2arctan xdx.； 1x21(1(1)n1111 1(n1)!2n 2 2(n2)(n3)2( 1)2 n11111 ()n1()n2 (n1)!2(n1(1(1)n1111 1(n1)!2n1 2(n1)22( 1)2 1111()n11(n1)!2111 (n!(2n1)22(n 1)11从 而 Rn1()nn!(2n1)215设 f (x) ln(1 x) ，求 f (n) (x).(n 1)!解 ： (ln x)(n) (1)n1 xn(n 1)! f(n)(x)ln(1x)(n)

13、 (1)n1 .(1 x)nsin,x 求函数yx0,x 的定义域与值域.解: 由已知显然有函数的定义域为 (-,+),x 0 时, 1 ,此x时, sin 1 可以取遍-1,1上所有的值,所以函数的值域为-1,1.x已知y f(x) 的导数 f(x)2x1，且 f(1) 求y f(x) 的反函数(1 x x2 )2x y) 的导数 (1).解： y1x1,故 y) 1 (1 x x2 )2 ,f(x)2x1从而 (1) 11)1)2 2 1.2(1)1垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t h(t) 10t 物体从 t=1(s)到 t=1.2(s)的平均速度：(1.2)12 1 g 1.44

14、10 1 (1.2)hh221 gt 2 (m), 求：2解：v 1.210.2 速度函数 v(t)；解： v(t) h(t) 10 gt . 物体何时到达最高.解：令h(t)10gt 0,得t 10(s),g10 0.78 (ms1 )即物体到达最高点的时刻为t s.g(3，8)y x2.解：曲线上任意一点 ( x, y) 处的切线斜率为 k 2x .因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程 y 8 2x(x 3)为： y 8 2x(x 3) ，且与曲线的交点可由方程组解得 y x2为(2，4)，(4，16)即为切点.故切线方程为：y44(x2),y168(x4).sinf (x) x,x 0

15、, 求 f ( x) .x 0,解：当 x 0 时， f (x) cos x,当 x 0 时， f (x) 1,x 0 f (0) sin x 01,f (0) x 0 1,故 f (0) 1.x0 x 0 x0 x 0综上所述知 f (x) cos x,1,x 0, x 0.s 1gt2，求2.dsdtdsdt解： ds gt ，故dtdsdttdsdt 2g .22f (x) 在0,2 a上连续，且 f (0) f (2a),f x f x a在0，a内至少有一根.F(x f (x f (x a,f (x在0,2 aF(x在0,a上连续，且F (0) f (0) f (a),F(a) f

16、(a) f (2a) f (a) f (0)f (0) f (a) f (2ax 0, x a f (x) f (x a的根，f (0) f (aF (0)F(a 0 ，由零点定理知，至少 (0, a,F 0 ,f ( f a，即 f (x f (x a的根， f (x f (x a在0,a.x02xx2 x2 x3 相比，哪个是高阶无穷小量？解 ： limx2 x3 lim x x2 0 x0 2xx2x0 2 x当 x 0 时， x2 x3 是比2x x2 高阶的无穷小量.求下列极限：(1)lim x2 3;(2)limx2 x;x3 x2 1x1 x4 3x21(3)limx2 1;(4

17、)limx3 x;x 2x2 x1x x4 3x21(5)x2 1;(6)lim(n1)(n2)(n3);x 2x1n5n32(7)若lim x2 1 ax b 1 a b.2x 2x1x2 3limx2 3933解：(1)lim x3 .x3 x2 1x3x2 1915(2)limx2 xlim(x2 x)x1 12.x1 x4 3x2 1lim(x4 3x2 1) 312 1x1limx2 1 lim1 1x2 1 .x 2x2 x1x 2 1 12xx21 1lim 1 1 limx3 x limxx3x xx3 0.x x4 3x2 1x 1 3 1x2x4lim1 3 xx21 x4

18、 2 1lim 2 1 2x12xx2limlim xxx 0 x x2 11 1lim1 1 x2xx2 由无穷大与无穷小的关系知， limx2 1 .x 2x 1(6)lim(n1)(n2)(n3) 1lim1 11 21 3n5n35nnnn 1 lim1 1 lim1 2 lim1 3 1 .5 n n n n5年销售量为 106 件每批生产需要准备费 103 元,而每件的年库存费为0.05 元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).解: 设年销售批数为 x, 则准备费为 103x;106又每批有产品106件,库存数

19、为106件,库存费为 0.05 元.x2x2x106 0.05设总费用,则y103x.2x: 1x;(2)y ln(x2)1; 1x(3)y 2x5;(4)y 1cos3 x,x0,.解: (1)y1 x 1 x1 y解得x,1yy1x1的反函数为y(x 1)1x11x1x(2)y ln(x 2) 1x ey 2 ,所以函数yln(x2)1的反函数为yex1 2(xR).1y32x5x(log2y 5)1所以y32x5 y(log2x5)(x 0).3 y1由y1cos3 x得cosx,又x0,故xarccos3 y3 y1又由 cos x 1得0 1 cos3 x 2 ,0 y2,0,2,所以,y1y arccos 3 x 1(0 x xx 0,的反函数为x13227: f (x 2x3 1x132互为反函数.3y12证:由y2x3 1解得x3y12fx2x3 1y x1 2(xR,g(x) 3x3x123x12f (x 2x3 13x12互为反函数.28f (x 2x g(x x ln x,f (g(x), gf (x), f f (xg(g(x) .解:f(g(x)2g(x 2x ln x ,g( f (x) f (x)ln f (x) 2x ln 2x (xln 2) 2x ,f ( f (