高考数学直线方程训练2

1、直线方程一. 教学内容： 直线方程知识点直线方程两点式：l P x 求直线l 的方程？k y2 y1 1122212x x解：21y y k x 121 y y y2 y1 x x 1x x121 y y1y y21x x1x x211）x1 或1 不能用两点式表示，即与x 轴平行或与x 轴垂直的直线不能用两点式表示，故平面上的直线与两点式方程不是一一对应。2）（y x x ）（y y （x ）121211此方程与平面上的直线一一对应。直线方程的截距式：公式推导：已知直线与x 轴交于A，）与y 轴交于B（，0，其中，0）求l 的方程。y 0 x a y a xb00 aba x y 1 （截距

2、式）ab1）特殊情况：当0 或b0 时不能用上式，即过原点或与x 轴平行或与y 行的直线不能用截距式。（2）截距式是两点式的特殊情况。直线方程的一般式：方程形式：Ax By C 0，A、B不同时为零。适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可由一般式表示出来。关于直线方程形式间的互化方法。【典型例题】例1.已知直线过点P（-，且与两坐标轴围成三角形面积为5，求直线l 的方程。设直线的截距式方程为：x y 1解：5 ab4 1则有ab12 ab 5 a 5，b 2或a 5 ，b 4 2 直线方程为 8x 5y 20 0或2x 5y 10 0例2.如图，已知直线l经过点P，且与x轴、y轴的正半轴

3、分别交于点A。求三角形AOBl 的方程。l在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程。yyBNP（3，2）OMAx1法一：设（，Bb，0（，b）则直线方程为 x y 1ab以P（3，2）代入得： 3 2 1 b ab2a a 的面积S 1ab a2a 6a 3 92a3a 3 9a 1296a 3 6当a39，即a 6，b 4a 3AOB值最小。x y 164由1 法二：ab 243 2 26 得： 2ab6ababab6故S ab 12121当 3 2 1 ，即a 6，b 4时，S 12 .ab2a2min法三： S ，a2 Sa 0a 3a 为实数，0 S 2 12S 0 S 12代入

4、上式得：a 6，b 4.过P 分别作x轴、y轴的垂线PMP（N为垂足，并设PABPNS S S SOMPNPAMPBN 6 1 2 2 cot 1 3 3tan22 62cot 9 6 29 129 tan 2当2 cot 9 tan，即tan 2 1223min 3 2 1法一： ab a b 3 2 b 33b 2a 2abab 3b 2a 55 5 22a2aabab6a2a ，即a 36，b 26时，(a 6a6 5 26a b MA NBmin法二： 3 2 cot 3tan 5 2 cot 3tan2 cot32 cot3tan6 5 26 当2 cot 3 tan，即tan ，即

5、a 36，b 26时，66366bmin 5 23. 已知直线mxny120 在x y -3 4，求m，n 的值。（1）将直线方程化成截距式后（或直接）求出直线在两轴上的截距、解关于，n2）由已知条件，直线经过点（-0，由此得n 的方程组，解之即可。1：由截距意义知，直线经过A（-3，0）和B（0，4）两点，因此有m 3 n 0 12 0m 0 n 4 12 0解之得：m 4，n 3解法 2：将方程mxny120 化为截距式，得：x 12y1 12mn因此有12m 312 4n解之得：m 4，n 3例4.两条直线：a x b111y 3 和 l ：a2x b2y 3 相交于点P（1，2），求经

6、过点Aa ，b11和，b2的直线AB的方程。11，l P（1，2），得：2a11 3，a2 32即点Aa ，b112x 2y 3l：x 2y 3 0例5.在直线3x y 1 0上求一P，使到两点1），（2，0）的距离相等。（）设P（，则有3x，故点P 的坐标为x，3，由距离公式得x的方程，解得x0。2）设P（x，求出两点-（）的中垂线方程为10，再解方程组得P0。解法：设Px，则有31故点P 的坐标为（x，3x1）x x 2 3x 22x 22 3x 2解之得：x0所求的点为P（0，1）解法：设Px，两点-（0）所连线段的中垂线方程为：x y 1 0又3x y 1 1 2 解由、组成的方程组得

7、：P（0，1）例6.已知直线l：kx y12k 0(k R)l过定点；l x 轴负半轴于y 轴正半轴于 的面积为S 的最小值，l 的方程；若直线不经过第四象限，求k （）证直线系过定点，可用分离参数法。求AOB S 的最小值，应先求出目标函数Sf(k)选择最小值的求法。直线不经过第四象限的充要条件是：直线在x -2，在y 1。或由直线经过定点知斜率大于或等于零。1）直线l 的方程是：k 2 y 0 x 2 0 x 2令y0得：y 1无论k 取何值，直线总经过定点（-2，1）l的方程，得： 12kk，B 012k 1 2k 0依题意得：k12k 012解得：k12 S OA OB 112k1 2

8、1 2kk 12k) 1 4k1 42k2k 1 2 442 ”成立的条件是k 0且4k 1 ，即k 1k2S 4minl：x 2y 4 0由（2）知：直线在x12kk在y轴上的截距为1 2k 1 2k 2要使直线不经过第四象限，则必须k12k 1解之得：k0小结：本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法方法。2x 3y 6 0 对称的直线方程。例 7.分析：利用所求直线上任意一点P 关于点A P解：设为所求直线上任一点，则： P（x ，y ）在已知直线2x 3y 6 0上002x3y 6 000线段 PP的中点为 A（1，-1）1 x x y y， 1022x 2 2 y00 x y 6

9、 02x 3y 8 0故所求直线的方程为 2x 3y 8 0注意：本题是一个关于点对称的直线的求法问题，要注意利用点对称的特点求解。例 8. 一根弹簧挂 6 公斤的物体时，长11 cm，挂 9 公斤的物体时，长 17 cm。已知弹簧长度 l（cm）和所挂物体的重量 w（公斤）的关系可以用直线方程来表示。用两点式表示这个方程， 并根据这个方程，求弹簧长为 13 cm 时所挂物体的重量。解：以 Ow 为横坐标轴，以Ol 为纵坐标轴建立直角坐标系（如图所示）由题意知直线过点（6，11）和点（9，17） 由直线的两点式方程得所求直线的方程为：l 11 w 617119 6l 1313 11 w 6w7

10、17119 6即弹簧长为 13 cm 时所挂物体的重量为 7 公斤。l w 6 公11 c；弹簧挂9 17 c（1和917。l、w 关系，得解。例9.求直线axbyc 0的倾斜 。当b 0时，斜率不存在，倾斜角 解：2当b 0时，方程ax by c 0可化为y a x cbb直线的斜率k a ，即tan abba 0，则tan a 0， arctan abbb若 a 0，则tan a 0bb arctan a arctanabb小结：由直线方程的一般式求直线的倾斜角时，须先求其斜率，这时通常把直线方程化成斜（若直线没有斜率即y 的系数为9然 k0 时，直线的倾斜角为。例 10.11在直线 By

11、 C 0B 0)的上方。求证：Ax By C 011证明：如图所示，过P（x1，y1）作直线垂直于x l 于M设M 点的坐标为x ，y ，则：12Ax By C 012y A x C2B1BP 在M 的上方y y12y1 A x CB1B两端同乘以B，得：By1 Ax C1即 Ax By C 011小结：如果Px ，y1在直线的下方，则y1 y y2 A x CB1B两端同乘以B，得：By1 Ax C1 Ax By C 011点 P 纵坐标。【模拟试题】直线axby1(ab0)与两坐标轴围成的三角形的面积是（）1ab2ab 1212112ab22ab过点A（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直

12、线的方程是（）x y 5x y 5x y 5x 4y 0 x y 5x 4y 0已知直线AxByC0的横截距大于纵截距，则A、C应满足的条件是（）B. C C 0C C 0C.ABD.AB直线：ax y b 0，l121：bx y a 0(ab 的图象只可能是下图中的（）直线2x y 7 0在x 轴上的截距为a，在y 轴上的截距为b，则、b 的值是（）A.a 7，b a 7，b 7277a ，b 72a ，b 7727 arctan 1l2l 的倾斜角为且过点，的方程为。由已知条件求下列直线的斜截式方程。P 2，1、P 0，3直线经过点 12；直线在x2，在y轴上的截距为l m2 2m 3 x

13、 2m2 m 1 y 6 2m 0，根据下列条件分别确定实数m 的值。l x轴上的截距是；。过点P（2，1）l x 轴、y 轴的正半轴于B PAPB 取最小值时， l 的方程。已知直线与坐标轴围成的三角形面积为3，且在x y 5，求这样的直线的条数。已知点P（-，1Q2，直线y kx1与线段PQ 相交，求实数k的范围。【试题答案】D解析：在方程ax by 1中y 1令x 0得b ；x x 令y 0得a。直线ax by 1 (ab 0) 与两坐标轴围成的三角形面积是：1 1 12 a1 1 12 a b2abCy k y k xk 解析：设过点A（4，1）的直线的方程为令 x 0 ，得 y 1

14、4k ；y0 x 4 1k 。由已知得：1 4k 4 1kk 1 k 1或4所求直线的方程为 x y 5x 4 y 0 （论。解析：Ax by C 0中，y Cx 0y0B ；x CA C CC C 0由BAB得：AB解析：由：axyb0l1得11得 ax b由l ：bx y a0l bx 由22下面用排除法，在A 选项中，由的图象知a0，b0，判断知l2的图象不符合。21B 选项中，由1的图象知a0，b0，判断知l的图象符合，所以应选B。12D12解析：在方程2x y 7 0 中分别令 x 0，y 0 ，得：7b 7，a 26.x2y1 0解析：的倾斜角为 arctan 12直线 l的斜率1

15、k 2，由点斜式得直线l的方程为：y 0 1 2x2y1 07. 分析：）直线的两点式方程为：y 2 x 2310 2化为斜截式方程为 y 2x 3x y 1（2）直线截距式方程为23y 化为斜截式方程为32 x 38. ）m2 2m 3 x 2m2 m 1 y 6 2m 0中，x 2m x 令 y 0 ，得m2 2m 32m6 3 2m 3解得：m ，m 535（舍去）为所求。m2 2m 3 1（2）12m2 m 1m 解得：43 为所求（m 1舍去）y k xy k xk 解：l 的方程为分别令 x 0，y 0 得：1 k 2 1 k 2 8 k212 2 2k 012 1 2，0kPAPB k222 2k2 4k0，当且仅当k 1时， xy3PAPB取得最小值4x