股票有无卖空限制下有效前沿的计算

1、有、无卖空限制制下有效前沿沿的计算基于股票案案例的研究 摘要在丰丰富的金融投投资理论中，投投资组合理论论占有非常重重要的地位，金金融产品本质质上市各种金金融工具的组组合。现代投投资组合理论论试图解释获获得最大投资资收益与避免免过风险之间间的基本权衡衡关系，也就就是说投资者者将不同的投投资品种按一一定的比例组组合在一起作作为投资对象象，以达到在在保证预订收收益的前提下下把风险降到到最小或者在在一定风险的的前提下使收收益率最大。在在中国股市上上运用马科维维茨模型研究究投资有限前前沿组合，探探索风险变动动规律，从而而知道各股票票投资组合在在达到最佳时时所占的比例例。关键词 马马科维茨模型型 投资组合

2、合 有效前前沿投资者很早就认认识到了分散散的将资金进进行投资可以以降低投资风风险，扩大投投资收益。但但在第一个对对此问题做出出实质性分析析的是美国经经济学家马科科维茨。19952年马科科维茨发表了了证券投资资组合选择，标标志着证券组组合理论的正正式诞生。马马科维茨根据据每一张证券券的预期收益益率、方差和和所有证券间间的协方差矩矩阵，得到证证券组合的有有效边界，再再根据投资者者的效用无差差异曲线，确确定最佳投资资组合。马科科维茨的证券券组合理论在在计算投资组组合的收益和和方差时非常常精确。本文文通过对在上交所上上市的六只股股票运用马科科维茨模型进进行分析，找找到给定风险险下的最佳投投资组合。模型

3、理论经典马科维茨均均值-方差模模型为：其中是第i种资资产的预期收收益率；是投投资组合的权权重向量；是是n中资产间间的协方差矩矩阵；分别是是投资组合的的期望回报率率和方差。马科维茨模型以以期望收益率率期望度量收收益，以收益益率方差度量量风险。在本本文中以股票票的历史收益益率的句子作作为期望收益益率，可能会会造成“追涨的效果果”，在实际中中这些收益率率可能会不一一样；在计算算组合风险值值时协方差对对结果影响较较大，在本文文中以股票的的历史收益率率的协方差度度量资产风险险与相关性，可可能会与实际际协方差矩阵阵存在一定的的偏差。1.前沿的计算算马科维茨均值-方差模型为为典型的带约约束的二次规规划问题，

4、在在给定的期望望收益时，方方差最小解唯唯一，函数如如下：给定计算相应风风险最小的组组合，即得到到有效前沿上上一点（有效效组合），给给定一系列可可以有效描绘绘出有效前沿沿。有效边界界是组合证券券资产选择的的重要基础。根根据Markkwitz创创立的现代证证券投资组合合理论, 理性的投投资者应具有有“非满足性”和“风险回避”两个特征,即一定风险险下的期望收收益率最大化化和 一定收益下下风险最小化化。在马科维维茨的均值- 方差模型型中,对于每一个个给定的收益益率水平,得到的对应应投资组合的的方差(或标准差)比在同样收收益水平的任任何组合的方方差(或标准差) 要小,称为有效前前沿。在标准准差- 均值坐

5、标标系中,则是一条双双曲线。收益益率高于最小小方差组合所所对应的收益益率的组合, 位于组合合前沿的上半半部分,被称为有效效前沿，它是是前沿投资组组合和有效投投资组合的交交集部分。前前沿 投资组合（EEnveloope Poortfollio）是指指对于任意给给定的期望收收益水平，所所具有最小方方差的投资组组合 构成的集合合，即在图-1中位于包包络线线上的的投资组合。有有效投资组合合（Effiicientt Porttfolioo）是 指对于任意意给定的方差差或标准差水水平，具有最最大收益率的的投资组合。可行投资组合：满足投资比比例之和为11，即的组合合，如上图中中的A、B、CC组合。可行集：由

6、所有有可行投资组组合构成的集集合，为上图图曲线内部以以阴影表示的的区域。前沿投资组合：对于任意给给定的期望收收益水平，所所有具有最小小方差的投资资组合构成的的集合，即为为途中包络线线上的投资组组合。以组合合D为例，在在所有期望收收益为的组合合中，组合DD具有最小方方差30.224%。有效投资组合：对于任意给给定的方差或或标准差水平平，具有最大大收益率的投投资组合。有效前沿：有所所有有效投资资组合构成的的集合。任何何一个位于该该曲线下方的的投资组合，其其期望收益都都小于对应在在有效边界上上的组合，为为标准差却相相等。2. 条件下计计算有效前沿沿记列向量如果向向量z为线性性方程组的解解（S是方差差

7、协方差矩阵阵），则为前前沿投资组合合，其中，即即是的规范化，满满足；反之，任任何前沿投资资组合都满足足以上条件。任何两个前沿投投资组合的线线性组合仍为为前沿投资组组合；反之，所所有前沿投资资组合均可由由任意两个不不同的前沿组组合产生。限制下的有效前前沿计算在卖空限制下求求解投资组合合类似于求大大化问题，只只是对投资组组合增加了一一个投资比例例非负性约束束条件：其中中在有卖空限制下下，前沿投资资组合的求解解可用规划问问题表示：二、有效前沿的的计算基于六六只股票从大智慧证券分分析软件提取取工商银行、三三一重工、中中国石化、上上海汽车、上上海机场、中中国移动六只只股票的收盘盘价（向前除除权后提取月月

8、K线数据）22010年55月31日至至2011年年5月31日日收盘价数据据如下：日期收盘价三一重工上海机场中国石化工商银行中国移动上海汽车2010-5-315.6213.328.434.2173.714.462010-6-305.7211.847.744.0178.212.752010-7-307.2113.238.824.2578.5512.272010-8-318.6413.268.154.0379.1515.332010-9-309.2112.58.23.9979.4516.412010-100-2914.0714.18.914.378.9516.852010-111-3014.3912

9、.168.134.277.4520.022010-122-3114.3812.398.064.2477.217.122011-1-3114.8414.0494.2576.614.682011-2-2816.7614.558.524.2673.0517.382011-3-3118.5713.568.534.4771.6518.452011-4-2918.3414.198.644.5671.418.222011-5-3116.813.368.064.5671.0516.55收益率的计算本文中提取的股股票收盘价为为除权以后的的数据，故不不需考虑股利利分红等因素素。股票A在在第t月的收收益率为在第第t

10、月末与第第（t-1）月月月末价格之之比的自然对对数，计算公公式为：六只股票的月收收益率日期收益率三一重工上海机场中国石化工商银行中国移动上海汽车2010-5-312010-6-301.76%-11.78%-8.54%-4.87%5.93%-12.59%2010-7-3023.15%11.10%13.06%5.81%0.45%-3.84%2010-8-3118.09%0.23%-7.90%-5.32%0.76%22.27%2010-9-306.39%-5.90%0.61%-1.00%0.38%6.81%2010-100-2942.38%12.04%8.30%7.48%-0.63%2.65%201

11、0-111-302.25%-14.80%-9.16%-2.35%-1.92%17.24%2010-122-31-0.07%1.87%-0.86%0.95%-0.32%-15.65%2011-1-313.15%12.50%11.03%0.24%-0.78%-15.38%2011-2-2812.17%3.57%-5.48%0.24%-4.75%16.88%2011-3-3110.26%-7.05%0.12%4.81%-1.94%5.97%2011-4-29-1.25%4.54%1.28%1.99%-0.35%-1.25%2011-5-31-8.77%-6.03%-6.95%0.00%-0.49%-

12、9.61%月期望收益9.13%0.02%-0.37%0.67%-0.31%1.12%年期望收益109.50%0.30%-4.49%7.99%-3.66%13.50%方差（月）1.71%0.78%0.55%0.14%0.06%1.58%标准差（月）13.07%8.85%7.42%3.78%2.35%12.58%方差（年）20.50%9.40%6.60%1.71%0.66%19.00%标准差（年）45.28%30.66%25.69%13.08%8.15%43.59%运用超额收益矩矩阵计算方差差-协方差矩矩阵六只股票的超额额收益计算日期超额收益率三一重工上海机场中国石化工商银行中国移动上海汽车201

13、0-5-312010-6-30-7.36%-11.80%-8.17%-5.53%6.23%-13.71%2010-7-3014.02%11.08%13.44%5.15%0.75%-4.96%2010-8-318.97%0.20%-7.53%-5.98%1.07%21.14%2010-9-30-2.74%-5.93%0.99%-1.66%0.68%5.68%2010-100-2933.25%12.02%8.68%6.82%-0.33%1.52%2010-111-30-6.88%-14.83%-8.79%-3.02%-1.61%16.11%2010-122-31-9.19%1.85%-0.49%0

14、.28%-0.02%-16.77%2011-1-31-5.98%12.48%11.41%-0.43%-0.48%-16.50%2011-2-283.04%3.54%-5.11%-0.43%-4.44%15.76%2011-3-311.13%-7.07%0.49%4.15%-1.63%4.85%2011-4-29-10.37%4.52%1.66%1.33%-0.04%-2.38%2011-5-31-17.90%-6.05%-6.57%-0.67%-0.19%-10.74%以上六只股票的的差额收益矩矩阵A计算公公式为：计算方差-协方方差矩阵协方差定义为：根据协方差公式式计算六只股股票的方差协协方差

15、矩阵为为：根据上证指数求求得rf上证指数日期收盘2010-6-302398.3772010-7-302637.52010-8-312638.82010-9-302655.6662010-100-292978.8442010-111-302820.1882010-122-312808.0882011-1-312790.6992011-2-282905.0552011-3-312928.1112011-4-292911.5112011-5-312743.477rf0.1438889 一 无卖卖空限制下有有效前沿的计计算计算前沿组合。根根据无卖空限限制计算有效效前沿性质一一，需要假设设两个不同的的常

16、数 c,通过R-c=Sz 求解 z,然后根根据性质二就就可以求得前前沿组合。两个前沿组合的的计算两个相关指标的的计算期望收益（x）-0.01333445966期望收益（M）-0.007332115方差（x）9.432833E-05方差（M）4.976822E-05标准差（x）0.0097112277协方差（M）0.0070554655协方差5.175077E-05计算有效前沿。根根据无卖空限限制有效前沿沿计算的性质质二，通过上上一步计算得得到的两个前前沿组合 xx 和 y 的线性性组合，可以以求出整个可可行域的包络络线，当然有有效边界也包包含在内。假假设对组合 x 的投资资比例为 aa,对组合

17、 y 的比例为（11-a）的组组合为 p,通过下面的的公式，可以以得到组合 p 的期望望收益和标准准差：E(Rp)=aaE(x+(1-aa)E(R)2pa22+(1a22+2a(11-aCovx,)令a=033,可得到组合p 的期望收益益和标准差。此此外，使用 Excell 的拟运算表功能，计算算对组 合x 和y 同投资比例例下的期望收收益和标准差差即可得无卖空限制制下有效前沿沿曲线组合x的投资比比例30%组合p的期望收收益-0.91288%组合p的标准差差5.657333E-05不同组合比例下下组合的期望望收益和标准准差组合x的投资比比例a标准差期望收益0.0057%-0.91288%-40

18、.00000%0.0012%-0.49122%-30.00000%0.0024%-0.55144%-20.00000%0.0035%-0.61166%-10.00000%0.0043%-0.67199%0.0000%0.0050%-0.73211%10.00000%0.0054%-0.79233%20.00000%0.0056%-0.85266%30.00000%0.0057%-0.91288%40.00000%0.0055%-0.97311%50.00000%0.0051%-1.03333%60.00000%0.0045%-1.09355%70.00000%0.0037%-1.15388%8

19、0.00000%0.0027%-1.21400%90.00000%0.0014%-1.27422%100.00000%0.0000%-1.33455%110.00000%-0.00066%-1.39477%120.00000%-0.00155%-1.45499%130.00000%-0.00255%-1.51522%140.00000%-0.00388%-1.57544%150.00000%-0.00533%-1.63566%160.00000%-0.00699%-1.69599%无卖空限制的有有效前沿曲线线有效前沿曲线呈呈现出这样的的趋势主要是是因为六只股股票的收益率率都低于大盘盘的平均收益

20、益率。有卖空限制下有有效前沿计算算在实际构建投资资组合时要考考虑到合规、合合法或者分先先管理等限制制条件，这样样会给组合构构建带来约束束，例如基金金“双百分之十十规则”；基金投资资于某一证券券的市值不能能超过基金资资产的10%，投资于某某一上市公司司的股票不能能超过该公司司市值的100%。如要求六只股票票的最大配置置分别为：三三一重工最大大配置50%，上海机场场最大配置660%，中国国石化最大配配置80%，工工商银行最大大配置55%，中国移动动最大配置779%，上海海汽车最大配配置30%；三一重工、上上海机场、中中国石化组成成资产集合AA；工商银行、中中国移动、上上海汽车组成成资产计划集集合B

21、；其中集合AA的最大配置置为50%，集集合B的最大大配置为800%，集合AA的配置不能能超过集合BB的配置的11.5备，并并且有卖空限限制的条件下下如何配置？六只股票的收益益率均值、收收益率标准差差及超额收益益率协方差矩矩阵收益率均值收益率标准差（超额收益）方方差协方差矩矩阵三一重工0.0913 0.1307 0.0186 0.0067 0.0050 0.0028 -0.00033 0.0061 上海机场0.0002 0.0885 0.0067 0.0085 0.0058 0.0021 -0.00055 -0.00288 中国石化-0.00377 0.0742 0.0050 0.0058 0.

22、0060 0.0023 -0.00022 -0.00399 工商银行0.0067 0.0378 0.0028 0.0021 0.0023 0.0016 -0.00044 -0.00099 中国移动-0.00311 0.0235 -0.00033 -0.00055 -0.00022 -0.00044 0.0006 -0.00144 上海汽车0.0112 0.1258 0.0061 -0.00288 -0.00399 -0.00099 -0.00144 0.0173 应用二次规划问问题求解得到到：有效前沿组合组合风险组合期望收益六只股票投资比比例三一重工上海机场中国石化工商银行中国移动上海汽车1.

23、24%0.08%0.00%1.04%0.00%28.27%63.06%7.63%1.42%0.29%1.85%0.00%0.00%31.89%58.63%7.64%1.65%0.49%4.31%0.00%0.00%30.07%58.58%7.03%1.89%0.70%6.78%0.00%0.00%28.26%58.53%6.43%2.14%0.91%9.25%0.00%0.00%26.45%58.48%5.83%2.40%1.11%11.71%0.00%0.00%24.64%58.43%5.22%2.66%1.32%14.18%0.00%0.00%22.83%58.37%4.62%2.93%1

24、.52%16.65%0.00%0.00%21.01%58.32%4.01%3.20%1.73%19.11%0.00%0.00%19.20%58.27%3.41%3.47%1.94%21.58%0.00%0.00%17.39%58.22%2.81%3.74%2.14%24.05%0.00%0.00%15.58%58.17%2.20%4.02%2.35%26.51%0.00%0.00%13.77%58.12%1.60%4.29%2.56%28.98%0.00%0.00%11.96%58.07%1.00%4.57%2.76%31.45%0.00%0.00%10.14%58.02%0.39%4.85%2.97%33.89%0.00%0.00%8.30%57.81%0.00%5.13%3.18%36.27%0.00%0.00%6.41%57.32%0.00%5.41%3.38%38.65%0.00%0.00%4.52%56.83%0.00%5.69%3.59%41.04%0.00%0.00%2.62%56.34%0.00%5.97%3.8