试谈琴生不等式的高维推广

1、琴生不等式式的高维维推广李世杰 吴吴光耀(衢州市教教育局教教研室 浙江 32440022 )单保良(衢州职业业技术学学院，浙浙江 32440000 ) 摘 要：将琴生生(Jeenseen)不不等式作作了高维维推广，并并由它得得到了mm维空间间的一系系列不同同类型的的函数不不等式，它它们是算算术几何平平均值不不等式、柯柯西不等等式等的的联合推推广. 关关键词：琴生不不等式，函函数不等等式，高高维推广广.Higheer DDimeensiionaal Genneraalizzatiion of Jennsenn InnequualiityLi SShijjie Wu Guaangyyao（Depa

2、artmmentt off TTeacchinng RReseearcch，QQuzhhou Eduucattionn Coommiitteee，ZZhejjianng， 32440022，Chhinaa）Dan Baooliaang（Quzhhou Colllegge oof Voccatiionaal Tecchuoologgy，Zheejiaang， 32240000，Chiina）Abstrractt：Thhe hhighher dimeensiionaal genneraalizzatiion of Jennsenn innequualiity is esttabllishhed.

3、Ass byy-prroduuctss, aa seeriees oof ddifffereent funnctiion ineequaalittiess onn m-diimennsioonall sppacee iss obbtaiinedd whhichh exxtennd tthe A-GG meean ineequaalitty aand Cauuchyys ineqquallityy. Key wwordds：Jennsenn iineqquallityy； ffuncctioon ineequaalitty；hhighher dimeensiionaal genneraalizz

4、atiion1引言1905年年，丹麦麦数学家家琴生（JJenssen ，1885919225）证证明了如如下著名名的琴生生不等式式1：设f (xx)是定定义在实实数集MM上的函函数，且且对任意意的xl、x2 M，都有 ， (1.11)则对任意的的xi M（i = 11，2，n），有 ， (1.2)在文2中，李李世杰证证明了如如下的“母”函数不不等式：设f (xx)的定定义域为为 M（M为a，b，或或（a，b），或或无穷区区间），(x)是 M上的连续函数，且存在反函数若对任意的xl、x2 M，都有 ， (1.33)则对任意的的xi M（i = 11，2，n），有 ， (1.44) 若 (1.3)

5、 中等式式成立的的条件是是x1=x2，则 (1.4) 中等式式成立的的条件是是 x1= x2 = =xn本文下面先先给出不不等式 (1.4) 的一个个高维推推广，为为方便计计，引入入下列记记号:设M = M1M2Mm（Mi为 ai，bi，或或（ai，bi），或或无穷区区间，mm1）. 特别别地， 收稿日期：作者简介介：李李世杰， (1960-)，男，浙江东阳人，汉,中学高级教师，理学士, 研究方向：解析不等式及数学教学若Mi = R+ = ，i = 11，2，m，则M记作. 对于，表示示m维向量量:其它符号意意义依次次类推.2主要结结论定理1 设设f (X)的定定义域为为 M， i (x)是定

6、定义在 Mi上的连连续函数数，且存存在反函函数，ii = 11，2，m若对X1、X2M，和常数，都有， 且 ， (22.1)等式成立的的条件是是X1=X2. 则对XXiM ( ，n2 )，都有有 (2.22)这里p是满满足的整整数，(2.22)中等等式成立立的条件件是X1=X2 = =Xn下面用反向向数学归归纳法证证明这一一不等式式.证明 首首先证明明n =22 p ( pN，p2 ) 时，结结论成立立.当n = 2时，由由 (22.1) 及其其等式成成立的条条件知结结论成立立.假设n =2 kk ( kN，k2 ) 时，结结论成立立，即对对 XiM ()，有有 ， (2.3)等式成立的的条件

7、是是X1=X2 = =. 则对XXi M ( )，有有 ， (2.44)等式成立的的条件是是 又又根据nn = 2时的的结论，在在 (22.1) 中作作置换，可得+即+， (22.5)等式成立的的条件是是，.联合(22.3)、(22.4)、(22.5)得 (2.6)等式成立的的条件是是 ，由于存在反反函数，必必一一对对应，故故由上面面方程组组可推得得不等式式 (22.6)中等式式成立的的条件是是X1=X 2 = =因此此对n =2 p ( pN，p2 )结论恒恒成立.当时，前面面已证成成立结论论: (22.7)当时，取XXn+1=Xn +2 = ，则Xn+1=Xn +2 = ，代入入（2.7）

8、式式化简后后即可得得到（22.2）式式.综上，我们们就证明明了不等等式（22.2）结结论对nn2恒成成立. 定理2 设f (X)的定定义域为为 M， i (x)是定义义在 MMi上的连连续函数数，且存存在反函函数，ii = 11，2，m若对X1、X2M和常数，都有，且 ， (22.8)等式成立的的条件是是X1=X2. 则对XXiM ( ，n2 )，有 (2.9)这里p是满满足的整整数，(2.99)中等等式成立立的条件件是X1=X2 = =Xn证明 与与定理11相似，首首先证明明n =22 p ( pN，p2 ) 时结结论成立立，再如如对(22.7)式取特特值，即即可获证证，过程程略去.定理3

9、设f (X)的定定义域为为 M， i (x)是定定义在 Mi上的连连续函数数，且存存在反函函数，ii = 11，2，m若对X1、X2M，和常数，都有，且 ， 等式成立的的条件是是X1X2. 则对任任意的XXiM ( ，n2 )，有 这里p是满满足的整整数，等等式成立立的条件件是X1=X2 =Xn证明 与与定理11相似，略略.3应用定理4 设设f (X)的定定义域为为 M， i (x)是定定义在 Mi上的连连续函数数，且存存在反函函数，ii = 11，2，m若对X1、X2M，都有 ， （33.1）等式成立的的条件是是X1=X2. 则则对XiM ( ，n2 )，都有有 (3.22)等式成立的的条件

10、是是X1=X2 = =Xn证明 在在定理11中，取取，由于i (x)是定定义在 Mi上的连连续函数数，必有有故由定理11即可得得定理44中结论论.定理5 设f (X)的定定义域为为 M， i (x)是定定义在 Mi上的连连续函数数，且存存在反函函数，ii = 11，2，m若对X1、X2M，都有 ， (33.3)等式成立的的条件是是X1=X2. 则对XXiM ( ，n2 )，有 (3.44)这里p是满满足的整整数，(3.44)中等等式成立立的条件件是X1=X2 = =Xn证明 同同定理44证明过过程，在在定理22中取即即可得证证.取i (xx)= xx，定理理5就变变成琴生生（ JJenssen

11、）不不等式（11.2）.定理6 （均值值型函数数不等式式）设f (X)的定义义域为，若对任任意的XX1、X2，都有有， （3.5）等式成立的的条件是是X1X2. 则对于于Xi ( ，n2 )，有， (33.6)等式成立的的条件是是X1X2 = Xn. 证证明 在定理55中令，, 则代入定理55中(33.3)(3.4)式式即可得得(3.5)(3.66).注 在定定理6中中若令，由于对对正数，由由于不等等式恒成成立，定定理6就就变为算算术几何平平均值不不等式：，同理，若再再令，由著名名的柯西西（Caauchhy）不不等式可得其推广广形式取，得文3中中证明的的新的函函数不等等式.定理1和定定理2中中

12、的函数数不等式式是m维空间间某些函函数不等等式的一一个共同同来源，我我们可把把它们称称为高维维的“母”函数不不等式.由它们们我们还还可得到到乘积型型、方幂幂型函数数不等式式等，限限于篇幅幅，这些些结果就就不再一一一列出出了. 参考文献1匡继继昌.常常用不等等式（第第三版）.山东科科学技术术出版社社，20004年年1月.P3448-3380.2李世世杰.一一个重要要的“母”函数不不等式 J.抚州州师专学学报，119999（3）：3740.3黄仁仁寿.一一个新的的函数不不等式J.数学通通讯，119933（6）：23.4COONSTTANTTIN P, Connvexxityy Acccorrdinng to thee geeomeetriic mmeannJ.Maatheematticaal IIneqquallitiies Apppliicattionns ,20000,(2):1555-1667.5李世世杰.凸凸函数JJenssen不不等式的的一个推推广及应应用JJ.江江西:抚抚州师专专学报（自自然科学学版）,19888,(3):3037.作者简介：李世杰杰， 119600年12月生生，男，浙浙江省东东阳人，中中学高级级教师，理理学士，119833年毕