曲线积分与曲面积分知识点

1、总结总结第十章曲线积分与曲面积分重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。1三、容提要曲线（面）积分的定义：（1）第一类曲线积分Jf（x,y）dsAlimEf（,n）AS（存在时）AS表示第i个小弧段的长度，（&E）是AS上的任一点小弧段的最大长度。i实际意义：ii当f（x,y）表示L的线密度时，Jf（x,y）ds表示L的质量;当f（x,y）三1时，Jds表示L的弧长，当f（x,y）表示位于L上的柱面在点（x,y）处的高时，Jf（x

2、,y）dsL表示此柱面的面积。（2）（2）第二类曲线积分JPdx+QdyAlimZP&,Q）Ax+Q&,q）Ay（存在时）L=必0iiii=1实际意义：iiih*is-设变力F=P（x,y）i+Q（x,y）j将质点从点A沿曲线L移动到辛点，则作的功为:W=JF-dS=JPdx+Qdy，其中dS=（dx,dy）事实上，JPdx，JQdy分别是F在沿X轴方向及Y轴方向所作的功。（3）（3）第一类曲面积分JJf（x,y,z）dsAlimE,Q工）AS（存在时）iiAS表示第i个小块曲面的面积，（己用工）为AS上的任一点，入是n块小曲i面的最大直径。实际意义：iiif（x,y，z）表示曲面2上点（x,

3、y,z）处的面密度时，JJf（x,y,z）ds表示曲面2的质量，当f（x,y,z）三1时，JJds表示曲面2的面积。2（4）（4）第二类曲面积分JJPdydz+Qdzdx+RdxdyAlimEp也R工）（AS）+Q&R工）（AS）+R&R工）（AS）2（存在时）其中（AS），（AS），iyzizx=心0I，iyzi=1iiiizxiiiixy（AS）分别表示将2任意分为n块小曲面后第I块ASixyi在yoz面，zox面，xoy面上的投影，dydz，dzdx，dxdy分别表示这三种投影元素；（己用工）为AS上的任一点，入是n块小曲面的最大直径。iiii实际意义：设变力V（x,y,z）=P（x，y

4、，z）i+Q（x,y,z）j+R（x,y,z）k为通过曲面2的流体（稳VdS=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy定流动且不可压缩）在，上的点（VdS=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy表示在单位时间短，的一侧流向指定的另一侧的流量。2、曲线（面）积分的性质两类积分均有与重积分类似的性质（1）被积函数中的常数因子可提到积分号的外面（2）对积分弧段（积分曲面）都具有可加性（3）代数和的积分等与积分的代数和第二类曲线（面）积分有下面的特性，即第二类曲线（面）积分与曲线（面）方向（侧）有关JPdx+Qdy=JPdx+QdyLLJJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJPdydz+Qdzdx+Rdxd

5、yT3、曲线（面）积分的计算（1）曲线积分的计算a、a、依据积分曲线L的参数方程，将被积表达式中的变量用参数表示b、b、第一（二）类曲线积分化为定积分时用参数的最小值（起点处的参数值）作为积分下限（2）曲面积分的计算方法1、第一类曲面积分的计算a将积分曲面投向使投影面积非零的坐标面b将的方程先化成为投影面上两变量的显函数，再将此显函数代替被积表达式中的另一变量。C将ds换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素2、第二类曲面积分的计算a将积分曲面投向指定的坐标面b同1c依的指定的侧决定二重积分前的“+”或“-”4、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式（1）（1）格林公式JPdx+Qdy=

6、JJ（迎）dxdyLd.xdy其中P、Q在用区域D上有一阶连续偏导数，L是D的正向边界曲线。若闭区域D为复连通闭区域，P、Q在D上有一阶连续偏导数，则JJ（丝竺）dxdy=JJ（丝竺）dxdy=dxdyZJPdx+QdyD其中L.（=1，2i（2）（2）i=1Lin）均是D的正向边界曲线。高斯公式3Q.dPdR.U：Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=（+）dxdydz3xdy&Q其中P、Q、R在闭区域Q上有一阶连续偏导数，是Q的边界曲面的外侧（3）斯托克斯公式JJ（3）斯托克斯公式JJdydzdzdxdxdy3333x3y3zPQR（3）=JPdx+Qdy+Rdzr其中P、Q、R在包含曲面在

7、的空间区域具有一阶连续偏导数，是以r为边界的分片光滑曲面，r的正向与2的侧向符合右手规则。5、平面上曲线积分与路径无关的条件设P、Q在开单连同区域G有一阶连续偏导数，A、B为G任意两点，则以下命题等价：（1）JPdx+Qdy与路径L无关LAB（2）对于G任意闭曲线L,JPdx+Qdy=0LdQdP（3）当=在G处处成立TOC o 1-5 h zc.x0y（4）在G，Pdx+Qdy为某函数U（x,y）的全微分6、通量与散度、环流量与旋度设向量I+-H-rA（x,y,z）=P（x,y，z）i+Q（x,y,z）j+R（x,y,z）k则通量（或流量）=压ands-2其中n=（cosa,cosB,cos

8、Y）为2上点（x,y,z）处的单位法向量。散度-cQ-cQcPdivA=+CxCy莅对坐标的曲面积分与与的形状无关的充要条件是散度为零。旋度rotA=旋度rotA=IcCxP-jCCyQkCCzR环流量向量场A沿有向闭曲线r的环流量为JPdx+Qdy+Rdz=JAGdsrr四、四、难点解析本章中对A在xoy面上的投影（A5）为xy（Ao）,cosy0 xy（a5）=jxy一（A（a5）=jxyxy0,cosy三0其中cosy为有向曲面A5上各点处的法向量与Z轴的夹角余弦。（Ao）为A5在xoyxy上投影区域的面积。此规定直接决定了将一个第二类曲面积分化为二重积分时正负号的选择，此规定貌似复杂，

9、但其最基本的思想却非常简单：即基于用正负数来表示具有相反意义的量。比如，当温度高于零度时用正数表示，当温度低于零度使用负数表示。从引进第二类曲线积分的例子看是为了求稳定流动的不可压缩的流体流向指定侧的流量。如果我们用正数来表示流体流向指定侧的流量，很自然，当流体流向指定侧的反向时用负数表示就显得合情合理了。因此上面的规定就显得非常自然合理了。五、五、五、五、典型例题例1、计算I=Jx2dsx+y2+z2=R2j：圆周x+y+z=0解：由轮换对成性，得II=Ix2dsJy2dsI=TOC o 1-5 h zIz2ds=11x2+y2+z2ds=Lr2Ids=KR3r3r3r3iryriy3一x3

10、一例2、设L：x2+y2=a2为成平面区域D,计算J-dx+-dyl33解：I-1dx+-号dy=(格林公式)II(x2+y2)dxdy=41：doIar2rdr=a4L33002例3、求IIz2dxdy，其中2为曲面x2+y2+z2=a2的外侧。Ei解法一、将E分为上半球面E1：z=A加2-x2-y2和下半球面E2：z=-*I1a2-x2-y2II=II+II=IIa2-x2-y2dxdy-IIa2-x2-y2dxdy=0EE1E2x2+y2a2解法二、利用高斯公式用z2dxdy=JJJ(0+0+2z)dxdydz=0(对称性)例4、求曲线y=x2,y2=2x及y2=x所围成的图形的面积。解

11、：求曲线的交点B(1，1)，C(V2,3；4)法一、定积分法则所求面积为A=I1(y2-?)dy+I?4(v:y-0)dy=1+1=1TOC o 1-5 h z0202663法二、二重积分法设所给曲线围成的闭区域为D.则A=IIdo=I11y2dx+j4dyIydx=I1(y2)dy+I34Qy)dy=-0y20y202023法三、曲线积分法设所给曲线围成的图形的边界曲线为L,则Ixdy=11y2dy+13Ixdy=11y2dy+134%ydy+10_二dyCo01342.LOBBC1221=+()=3333从点A(-R,0)到点B(R,0)的上半圆周x2+y2=从点A(-R,0)到点B(R,

12、0)的上半圆周x2+y2=R2。L解：法一用曲线积分与路径无关一，3Q.dP_,一、dQ5P一因为k=1=在xoy面上恒成立，且丁及丁在xoy面上连续，所以曲线积分dxdydxoy1ydx+xdy与路径无关。于是Iydx+xdy=Iydx+xdy=IR0dx=0AB法二、用曲线积分与路径无关，则Iydx+xdy=0(其中C(0,R)ACBA法三、用曲线积分与路径无关，则d(xy)=xy(R,0)=0(-R,0)(-Rd(xy)=xy(R,0)=0(-R,0)(-R,0)(-R,0)法四、用格林公式idQdPdQdP_因为J=且个及丁在闭曲线ACBA上围成的闭区域D上连续。故由格林公式dxdyd

13、xdyJdQdP、77cydx+xdy=-(-)dxdy=0acAdxdyBA于是Jydx+xdy=0-Jydx+xdy=0BA法五、用定积分计算，则L的参数方程为x=Rco9.八，L的起点A对应与9=兀，综点对应于9=0，于是y=Rsi由R2J0cos29d9冗Jydx+xdy=J，Rsin9(一Rsin9)+RcosR2J0cos29d9冗L冗R2sin290=02冗例六、计算对坐标的曲面积分JJ(yz)dydz+(zx)dzdx+(xy)dxdy其中2是z2=x2+y2(0z0)2、L为xoy面直线x=a上的一段，则JP(xy)dx=L*I+，lr*I3、设A=(x2+yz)i+(y2+

14、xz)j+(z2一xy)k，则divA=4、JJ(x+y+2z)dydz+(3y+z)dzdx+(z-3)dxdy=其中士：平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=2,z=3所围成的立体的表面外侧。1、选择题(4x51、1、设A=P(x,y)i+Q(x,y)j，(x,y)eD,且P、Q在区域D具有一阶连续偏导数，z%又L：AB是D任一曲线，则以下4个命题中，错误的是若JPdx+Qdy与路径无关，则在若JPdx+Qdy与路径无关，则在D必有若JAds与路径无关L则在D必有单值函数u(x,y)，使得du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dyC若在D则必有JAds与路径无关DA若对D有一必曲

15、线C，恒有DA若对D有一必曲线C，恒有JPdx+Qdy=0，2、-13、已知(x+g)dx+ydy为某函数的全微分(x+y)2则JPdx+Qdy与路径无关L则a等于;B0;C1;D设曲线积分Jxy2dx+y隼(x)dy与路径无关2;其中(x)具有连续得到数，且LJ(1,1)xy2dx+y隼(x)dy叭x)=0，则(0,0)等于A3;B-;C3;D1;8244、设空间区域Q由曲面z=a2-x2-y2平面z=0围成，其中a为正常数，记Q的表面外侧为S,Q的体积为V，则&x2yz2dydz-xy2z2dzdx+z(1+xyz)dxdy=D3V;xD3V;x2+y2+z2=Rx+y+z=0A0;BV;C2V;三