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文档简介
1、“填空题”高考剖析及备考指南目 录 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc100086349 填空题分析 PAGEREF _Toc100086349 h 错误!未定义书签。 HYPERLINK l _Toc100086350 一、题型分类 PAGEREF _Toc100086350 h 1 HYPERLINK l _Toc100086351 定量型填空题。 PAGEREF _Toc100086351 h 2 HYPERLINK l _Toc100086352 定性型填空题。 PAGEREF _Toc100086352 h 2 HYPERLINK l _Toc10008
2、6353 单空题 PAGEREF _Toc100086353 h 2 HYPERLINK l _Toc100086354 双空题 PAGEREF _Toc100086354 h 2 HYPERLINK l _Toc100086355 解答建议 PAGEREF _Toc100086355 h 3 HYPERLINK l _Toc100086356 三、解题策略 PAGEREF _Toc100086356 h 4 HYPERLINK l _Toc100086357 1.直接推演 PAGEREF _Toc100086357 h 4 HYPERLINK l _Toc100086358 2.特殊化法 P
3、AGEREF _Toc100086358 h 4 HYPERLINK l _Toc100086359 3.数形结合 PAGEREF _Toc100086359 h 6 HYPERLINK l _Toc100086360 4等价转化 PAGEREF _Toc100086360 h 6 HYPERLINK l _Toc100086361 三、特别提醒 PAGEREF _Toc100086361 h 8 HYPERLINK l _Toc100086362 1.从难度的角度看填空题中的考点分布 PAGEREF _Toc100086362 h 8 HYPERLINK l _Toc100086363 2.
4、从题型创新的角度看可能的情况,填空题一直是新题型的试验田 PAGEREF _Toc100086363 h 9 HYPERLINK l _Toc100086364 (1)开放探索题 PAGEREF _Toc100086364 h 9 HYPERLINK l _Toc100086365 多项填空题(类似于多项选择题) PAGEREF _Toc100086365 h 9 HYPERLINK l _Toc100086366 (3)实际应用题 PAGEREF _Toc100086366 h 10 HYPERLINK l _Toc100086367 (4)数学文化情境题 PAGEREF _Toc10008
5、6367 h 11 HYPERLINK l _Toc100086368 (5)答案不唯一型 PAGEREF _Toc100086368 h 11 HYPERLINK l _Toc100086369 信息迁移型 PAGEREF _Toc100086369 h 12 HYPERLINK l _Toc100086370 四、前瞻预测 PAGEREF _Toc100086370 h 12“填空题”高考剖析及备考指南一、题型分类1.内容上分为两类:定量型填空题。这类题目需要学生去填写数值或数集(包括用字母表示的数),如方程或不等式的解集;解析式的运算结果;函数的定义域、值域(或最值)周期;数列的通项与部
6、分和;排列组合的种数;参变量的变化范围;几何图形中的长度、角度、面积;二次曲线的几何参数等。定性型填空题。这类题目需要学生去填写具有某种性质的数学对象或数学对象的某些关系,比如,确定图形之间的全等、相似、平行、相交、垂直、相切;确定集合的子、交、并、补关系;判别命题的充要条件;确定非零向量的平行、垂直;确定数量之间的相等、不等关系;求二次曲线的轨迹方程、准线方程等。2.形式上分为两类:单空题双空题(1)并列式两空并答:利用同一解题思路与过程,一次性得出两个空的答案例:(2020年浙江)已知,则_,_解析:,答案:评析:本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式,考查基本分析求解能力,属基
7、础题。两空的解题思路一致,只需将目标式用表示即可。(2)分列式一空一答:两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题,两问之间互不干扰,不会其中一问,照样可以答出另一问。例:(2020年天津)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为_;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_解析:甲、乙两球落入盒子的概率分别为,且两球是否落入盒子互不影响,所以甲、乙都落入盒子概率为,甲、乙两球都不落入盒子的概率为,所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.答案:;.评析:本题主要考查独立事件同时发生的概率,以及利用对立事件求概率,属于基础题.两空之间没有任
8、何关联,是相互独立的。(3)递进式逐空解答:两空之间有着一定联系,一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答,只要第一空作对,第二空便可顺势解答。例:(2020年天津)如图,在四边形中,且,则实数的值为_,若是线段上的动点,且,则的最小值为_解析:,解得,以点为坐标原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,,,的坐标为,又,则,设,则(其中),所以,当时,取得最小值.答案:;.评析:本题考查平面向量数量积的计算,考查平面向量数量积的定义与坐标运算,考查计算能力,属于中等题.只有第一空回答正确,第二空才能做对。解答建议解填空题的一个基本原则是:小题不大做。由于填空题追求“简”而“准”,解
9、答填空题时,只要求结果(必须是最简结果,且要准确),故对正确性的要求比解答题更高,更严格。因此,在解答填空题时要做到:快运算要快,力戒小题大做;简答案是最简结果;全答案要全,力避残缺不齐。建议在做填空题时,多想想如下几条:能否根据概念、定理、公式、法则等数学基础知识直接得出答案;能否通过明显的几何意义迅速得出答案;能否通过挖掘隐含条件而获得解题的突破口;能否通过分类讨论而消解难点;能否通过“整体代人”“设而不求”“活用定义”“巧用公式”等而简化过程;能否化归为教材已经解决的问题;高考中,能否化归为往年的高考题;能否使用求解填空题的特殊方法与技巧;定量型的填空题一定要运算到最终结果,并保持准确值
10、(除非规定了精确度);平时训练要“小题大做”与“小题小做”相结合。三、解题策略1.直接推演就是直接从题目的条件出发,利用概念、定理、公式、法则等数学基础知识得出答案,然后按照要求将最后结果填入空位处。填空题的直接法更像做解答题,但由于填空题不需要过程,因而可以跳过一些步骤,大跨度前进。为了节省时间还可手写与心算相结合,力求快速,避免“小题大做”,从这一意义上说,填空题的直接法又像是选择题的求解对照法。例:(2020年全国高考2卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有_种.解析:4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同
11、学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,先取2名同学看作一组,选法有:现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有:根据分步乘法原理,可得不同的安排方法种答案:.评析:本题主要考查了计数原理的综合应用,解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用,考查了分析能力和计算能力,属于中档题。2.特殊化法当填空题暗示答案是一个“定值”或具“定性”特征时,可以取特殊数值、特殊图形、特殊位置或特殊结构来确定这个“定值”“定性”,以节省推理论证的过程。这些解填空题的方法统称为特殊化法。对于解答题,特例常常只是提供论证的方向,而对填空题来说,往往不需要过程,就成为答案了。当题目的条件是从一般性的角度给出时,特例法
12、尤为有效。例:(2020年北京)若函数的最大值为2,则常数的一个取值为_解析:因为,所以,解得,故可取.答案:(均可).评析:本题主要考查两角和的正弦公式,辅助角公式的应用,以及平方关系的应用,考查学生的数学运算能力,属于基础题。根据题意,只需要找出一个特殊值即可,很容易得出这个答案。例:(2021年全国甲卷)已知函数的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数x为_解析:由图可知,即,所以;由五点法可得,即;所以.因为,;所以由可得或;因为,所以,方法一:结合图形可知,最小正整数应该满足,即,解得,令,可得,可得的最小正整数为2.方法二:结合图形可知,最小正整数应该满足,又,符合题意,可得的最
13、小正整数为2.答案:2.评析:根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键,根据周期求解,根据特殊点求解.方法二中,只需代入2成立即可。3.数形结合“数缺形时少直观,形缺数时难入微。”数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息,图形的特征上也体现着数的关系。我们要将抽象、复杂的数量关系,通过形的形象、直观揭示出来,以达到“形帮数”的目的;同时我们又要运用数的规律、数值的计算,来寻找处理形的方法,来达到“数促形”的目的。对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以简捷地解决问题,得出正确的结果。例:(2019年江苏)设是定义在R上的两个周期函数,的周期为4,的周期为2,且是奇函数.当
14、时,其中k0.若在区间(0,9上,关于x的方程有8个不同的实数根,则k的取值范围是.解析:作出函数,的图象,如图:由图可知,函数的图象与的图象仅有2个交点,即在区间(0,9上,关于x的方程有2个不同的实数根,要使关于的方程有8个不同的实数根,则与的图象有2个不同的交点,由到直线的距离为1,可得,解得,两点连线的斜率,综上可知,满足在(0,9上有8个不同的实数根的k的取值范围为.评析:本题考查分段函数,函数的图象,函数的性质,函数与方程,点到直线的距离,直线的斜率等,考查知识点较多,难度较大.正确作出函数,的图象,数形结合求解是解题的关键因素.4等价转化通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”,将问题
15、等价地转化成便于解决的问题,从而得出正确的结果。常用的几种经典转化方法有配方法、因式分解法、换元法、判别式法与韦达定理、待定系数法、构造法等等。例:(2021年全国新高考2卷)已知向量,_解析:由已知可得,因此,答案:.评析:完全平方的变形相当关键。例:(2020年北京)已知正方形的边长为2,点P满足,则_;_解析:以点为坐标原点,、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则点、,则点,因此,.答案:;.评析:本题考查平面向量的模和数量积的计算,建立平面直角坐标系,求出点的坐标是解答的关键,考查计算能力,属于基础题.例:(2020年江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知,A,B是圆C:
16、上的两个动点,满足,则PAB面积的最大值是_解析:设圆心到直线距离为,则所以令(负值舍去)当时,;当时,因此当时,取最大值,即取最大值为,答案:评析:本题考查垂径定理、构造函数,利用导数求最值,考查综合分析求解能力,属中档题.例:(2020年全国新高考2卷)设复数,满足,则=_.解析:方法一:设,又,所以,.方法二:如图所示,设复数所对应的点为,由已知,平行四边形为菱形,且都是正三角形,.评析:方法一:本题考查复数模长的求解,涉及到复数相等的应用;考查学生的数学运算求解能力,特别是等价变形。是一道中档题.方法二:关键是利用复数及其运算的几何意义,转化为几何问题求解。三、特别提醒1.从难度的角度
17、看填空题中的考点分布(1)简单题:函数的定义域与值域、函数的图象、对数与指数、双曲线、期望与方差、二项式系数等;(2)中档题:分段函数、基本函数的图像与性质、三角函数基本关系与诱导公式、三角函数图象与性质、数列的性质与基本运算、基本不等式、向量坐标运算、数量积的几何意义、直线与圆、椭圆、几何体的面积与体积、排列组合等;(3)压轴题:主要考查数学学科能力,特别注意情境试题(包括数学文化)、空间的动态问题(角)、函数的性质(分段函数要特别注意)与不等式为背景的问题、围绕平面向量的模与数量积设计的综合问题、解析几何有关的动态问题等.2.从题型创新的角度看可能的情况,填空题一直是新题型的试验田(1)开
18、放探索题例:(2019年北京)已知l,m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:;以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:_.解析:将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:(1)如果l,m,则lm,正确;(2)如果l,lm,则m,不正确,有可能m在平面内;(3)如果lm,m,则l,不正确,有可能l与斜交、l.答案:如果l,m,则lm.评析:本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断,分别作为条件、结论加以分析即可.多项填空题(类似于多项选择题)例:(2021年北京)已知函数,给出下列四个结论:若,恰有2个零点;存在负数
19、,使得恰有个1零点;存在负数,使得恰有个3零点;存在正数,使得恰有个3零点其中所有正确结论的序号是_解析:对于,当时,由,可得或,正确;对于,考查直线与曲线相切于点,对函数求导得,由题意可得,解得,所以,存在,使得只有一个零点,正确;对于,当直线过点时,解得,所以,当时,直线与曲线有两个交点,若函数有三个零点,则直线与曲线有两个交点,直线与曲线有一个交点,所以,此不等式无解,因此,不存在,使得函数有三个零点,错误;对于,考查直线与曲线相切于点,对函数求导得,由题意可得,解得,所以,当时,函数有三个零点,正确.答案:.(3)实际应用题例:(2020年北京)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求
20、相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为,用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论:在这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;在时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;甲企业在这三段时间中,在的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_解析:表示区间端点连线斜率的负数,在这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强;正确;甲企业在这三段时间中,甲企业在这段时间内,甲的斜率最
21、小,其相反数最大,即在的污水治理能力最强错误;在时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强;正确;在时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下,所以都已达标;正确;故答案为:(4)数学文化情境题例:(2019年全国2卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1则该半
22、正多面体共有_个面,其棱长为_(本题第一空2分,第二空3分)解析:由图可知第一层(包括上底面)与第三层(包括下底面)各有9个面,计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有个面如图,设该半正多面体的棱长为,则,延长与的延长线交于点,延长交正方体的棱于,由半正多面体对称性可知,为等腰直角三角形,即该半正多面体的棱长为评析:本题立意新颖,空间想象能力要求高,物体位置还原是关键,遇到新题别慌乱,题目其实很简单,稳中求胜是关键立体几何平面化,无论多难都不怕,强大空间想象能力,快速还原图形(5)答案不唯一型例:(2021年北京)若点关于轴对称点为,写出的一个取值为_解析:与关于轴对称,即关于轴对称
23、,则,当时,可取的一个值为.答案:(满足即可).例:(2005年福建)把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题:若函数的图象与的图象关于对称,则函数=。(注:填上你认为可以成为真命题的一件情形即可,不必考虑所有可能的情形).解析:可以考虑填写:轴,;轴,;原点,;直线,;直线,。评析:前后两个空存在逻辑关系,必须保持匹配,组成真命题,可有若干个答案。信息迁移型例:(2007年福建)中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”、“平行关系”等等如果集合中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件:(1)自反性:对于任意,都有;(2)对称性:对于,若,则有;(3)传递性:对于,若,则有则称“”是集合的
24、一个等价关系例如:“数的相等”是等价关系,而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)请你再列出三个等价关系:_解析:本题有教材中“相等关系”等抽象的高等数学背景,答案有开放探索的特征。图形全等,图形相似,集合相等,非零向量的共线,命题的充要条件等都是答案。这些答案之间是并列关系。四、前瞻预测1.已知函数,则_.答案:简析:方法一:因为,所以为偶函数,其图象关于轴对称,知.方法二:当时,当时,分别求导代入求解.评析:函数性质的灵活应用;导数的运算.2.已知函数满足任意实数,都有,设,若,则_答案:简析:对抽象函数表达式赋值得,令,则,所以,评析:(1)灵活运用赋值法转化抽象函数关系式;(2)观察式子结构特征,整体处理.3已知不等式有且只有两个整数解,则实数的取值范围是_答案:简析:因为,在=2时有最大值,所以解得评析:(1)借助导数判断函数单调性;(2)以形助数列出不等式组求整数解.4.若函数在上单调递减,则的取值范围是_.答案:简析:问题转化为令转化为含参的二次函数问题,分离参数既可解决问题。评析:(1)函数单调性问题的等价转化;(2)将三角换元转化为含参的二次函数问题.5.在中,为的中点,若,则答案:简析:方法一:倍长中线设,则,由,求得,所以方法二:建系转化为坐标计算评析:注意解三角形中的中线常见
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