高中数学新课程创新教学设计案例-诱导公式

1、34 诱导公式教材分析这节内容以学生在初中已经学习了锐角的三角函数值为基础，利用单位圆和三角函数的定义，导出三角函数的五组诱导公式，即有关角k360，180，180，360的公式，并通过运用这些公式，把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，从而渗透了把未知问题化归为已知问题的化归思想这节课的重点是后四组诱导公式以及这五组公式的综合运用把这五组公式用一句话归纳出来，并切实理解这句话中每一词语的含义，是切实掌握这五组公式的难点所在准确把握每一组公式的意义及其中符号语言的特征，并且把公式二、三与图形对应起来，是突破上述难点的关键教学目标1. 在教教师的引引导下，启启发学生生探索发发现诱导导公

2、式及及其证明明，培养养学生勇勇于探求求新知、善善于归纳纳总结的的能力2. 理解解并掌握握正弦、余余弦、正正切的诱诱导公式式，并能能应用这这些公式式解决一一些求值值、化简简、证明明等问题题3. 让学学生体验验探索后后的成功功喜悦，培培养学生生的自信信心4. 使学学生认识识到转化化“矛盾盾”是解解决问题题的有效效途径，进进一步树树立化归归思想任务分析诱导公式的的重要作作用之一一就是把把求任意意角的三三角函数数值转化化为求锐锐角的三三角函数数值在在五组诱诱导公式式中，关关于1880与的诱诱导公式式是最基基本的，也也是最重重要的在推导导这两组组公式时时，应放放手让学学生独立立探索，寻寻求“1180与与

3、角的的终边”及及“与角的终边边”之间间的位置置关系，从从而完成成公式的的推导此外，要要把9003360范围内内的三角角函数转转化为锐锐角的三三角函数数，除了了利用第第二、四四、五个个公式外外，还可可以利用用90，2270与与的三三角函数数值之间间的关系系应引引导学生生在掌握握前五组组诱导公公式的基基础上进进一步探探求新的的关系式式，从而而使学生生在头脑脑中形成成完整的的三角函函数的认认知结构构教学设计一、问题情情境教师提出系系列问题题1. 在初初中我们们学习了了求锐角角的三角角函数值值，现在在角的概概念已经经推广到到了任意意角，能能否把任任意角的的三角函函数值转转化为锐锐角的三三角函数数值呢？

4、2. 当3990时时，能否否求出它它的正弦弦、余弦弦和正切切值？3. 由22你能否否得出一一般性的的结论？试说明明理由二、建立模模型1. 分析析1在教师的指指导下，学学生独立立推出公公式（一一），即即2. 应用用1在公式的应应用中让让学生体体会公式式的作用用，即把把任意角角的三角角函数值值转化为为03600范围围内的角角的三角角函数值值练习：求下下列各三三角函数数值（1）coos（22）taan40053. 分析析2如果能够把把903660范范围内的的角的三三角函数数值转化化为锐角角的三角角函数值值，即可可实现“把把任意角角的三角角函数值值转化为为锐角的的三角函函数值”的的目标例如，能能否将1

5、120，2440，3300角与我我们熟悉悉的锐角角建立某某种联系系，进而而求出其其余弦值值？引导学生利利用三角角函数的的定义并并借助图图形，得得到如下下结果：cos1220coss（188060）coss60，cos2440coss（188060）coss60，cos3000coss（366060）ccos6604. 分析析3一般地，ccos（1180），ccos（1180），ccos（3360）与与coss的关关系如何何？你能能证明自自己的结结论吗？由学生生独立完完成下述述推导：设角的终终边与单单位圆交交于点PP（x，yy）由由于角1180的的终边就就是角的终边边的反向向延长线线，则角角18

6、00的终边边与单位位圆的交交点P与点PP关于原原点O对对称由此可知，点点P的的坐标是是（xx，yy）又单位圆圆的半径径r11，cossxx，siiny，ttan，ccos（1180）x，ssin（1180）y，ttan（1180）从而得到：5. 分析析4在推导公式式三时，学学生会遇遇到如下下困难，即即：若为任意意角，1180与与角的的终边的的位置关关系不容容易判断断这时时，教师师可引导导学生借借助公式式二，把把1800看成1180（），即即：先把把1800的三角角函数值值转化为为的的三角函函数值，然然后通过过寻找的三三角函数数值与的三角角函数值值之间的的关系，使使原问题题得到解解决由学生独立立

7、完成如如下推导导：如图，设任任意角的终边边与单位位圆相交交于P（xx，y），角角的的终边与与单位圆圆相交于于点P这两个个角的终终边关于于轴对对称，点P的坐标标是（xx，yy）又又r1，coss（）xx，sin（）y，ttan（）从而得到：进而推出：注：在问题题的解决决过程中中，教师师要注意意让学生生充分体体验成功功的快乐乐6. 教师师归纳公式（一）、（二二）、（三三）、（四四）、（五五）都叫叫作诱导导公式，利利用它们们可以把把k3360，1180，3360的的三角函函数转化化为的的三角函函数那那么，在在转化过过程中，发发生了哪哪些变化化？这种种变化是是否存在在着某种种规律？引导学生进进行如下下

8、概括：kk3660（kkZ），1180，3360的的三角函函数值，等等于的的同名函函数值，前前面加上上一个把把看成成锐角时时原函数数值的符符号为为了便于于记忆，还还可编成成一句口口诀“函函数名不不变，符符号看象象限”三、解释应应用例题1. 求下下列各三三角函数数值通过应用，让让学生体体会诱导导公式的的作用：把任意角角的三角角函数转转化为锐锐角三角角函数，其其一般步步骤为评注：本题题中，若若代入ccoscoot3形式，就就须先求求得coos的的值由由于不能能确定角角所在在象限，解解题过程程将变得得烦锁以此提提醒学生生注意选选取合理理形式解解决问题题四、拓展延延伸教师出示问问题：前前面我们们利用三

9、三角函数数的定义义及对称称性研究究了角k3600（kkZ），1180，3360的的三角函函数与角角的三三角函数数之间的的关系，这这些角有有一个共共同点，即即：均为为1800的整整数倍加加、减但是是，在解解题过程程中，还还会遇到到另外的的情况，如如前面遇遇到的1120角，它它既可以以写成1180600，也也可以写写成900330，那那么900的三角角函数与与的三三角函数数有着怎怎样的关关系呢？学生探究：经过独独立探求求后，有有学生可可能会得得到如下下结果：设角的终终边与单单位圆交交于点PP（x，yy），角角90的的终边与与单位圆圆交于点点P（xx，yy）（如如图），则则cossxx，siiny，

10、ccos（990）x，ssin（990）y过P作PMMx轴，垂垂足为MM，过PP作PPMy轴，垂垂足为MM，则则OPMMOPPM，OMOOM，MMPMMP，即xxy，yx进而得到ccos（990）sinn，ssin（990）coss对对此结论论和方法法，教师师不宜作作任何评评论，而而应放手手让学生生展开辩辩论和交交流，最最后得到到正确结结果：由于OM与与OM，MPP与MP仅仅是长度度相等，而而当点PP在第一一象限时时，P在第二二象限，x0，y0，又x00，y0，xy，yyxx从而得到：教师进一步步引导：（1）推导导上面的的公式时时，利用用了点PP在第一一象限的的条件当点不在第第一象限限时，是是

11、否仍有有上面的的结论？（通过多媒媒体演示示角的的终边在在不同象象限的情情景，使使学生理理解公式式六中的的角可可以为任任意角）（2）推导导公式六六时，采采用了初初中的平平面几何何知识是否也也能像推推导前五五组公式式那样采采用对称称变换的的方式呢呢？学生探究：学生先先针对为锐角角时的情情况进行行探索，再再推广到到为任任意角的的情形设角的终终边与单单位圆交交点为PP（x，yy），的终终边与单单位圆的的交点为为P（xx，yy）（如如图）由于角角的终终边经过过下述变变换：22（） 2a，即可可得到的终终边这这是两次次对称变变换，即即先作PP关于直直线yx的对对称点MM（y，xx），再再作点MM关于yy轴

12、的对对称点PP（y，x），xy，yx由此，可进进一步得得到：教师归纳：公式六六、七、八八、九也也称作诱诱导公式式，利用用它们可可以把990，2270的的三角函函数转化化为的的三角函函数引导学生总总结出：90，2770的三三角函数数值等于于的余余名函数数值，前前面加上上一个把把看成成锐角时时原函数数值的符符号两套公式合合起来，可可统一概概括为对于k990（kkZ）的各各三角函函数值，当当k为偶偶数时，得得的同同名函数数值；当当k为奇奇数时，得得的余余名函数数值然然后，均均在前面面加上一一个把看成锐锐角时原原函数值值的符号号为了了便于记记忆，也也可编成成口诀：“奇变变偶不变变，符号号看象限限”点评这篇案例从从学生的的实际出出发，充充分尊重重学生的的思维特特点，通通过创设设问题情情境，引引发认知知冲突，较较好地调调动了学学生的积积极性和和主动性性，符合合新课程程理念的的精神在教学学设计中中，教师师以学生生活动为为主，注注意师生生互动，体体现学生生的自主主学习实际的的课堂教教学表明明，在教教学过程程中，教教师对每每名同学学的发言言都给以以充分地地鼓励，即即使他的的解法不不完美，甚甚至不正正确这这对保护护学生大大