高中数学新课程创新教学设计案例-函数的表示方法

1、7 函数的表示方法教材分析函数的表示方法是对函数概念的深化与延伸解析法、图像法和列表法从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系这三种表示方法既可以独立的表示函数，又可以相互转化；既各有侧重和优势，又各有劣势和不足；既相互补充，又使函数随自变量的变化而变化的规律直观和具体这节内容，是初中有关内容的深化、延伸与提高教材在复习初中三种表示方法定义的基础上，分三个层次对三种表示方法进行了比较第一个层次：回顾与比较；第二个层次：选择与比较；第三个层次：转化与比较教学重点：画简单单函数的的图像；教学难难点：分分段函数数的解析析式求法法及其图图像的作作法教学目标1. 在实实际情景景中，会会根据不不同的

2、需需要选择择恰当的的方法（如如图像法法，列表表法，解解析法）表表示函数数2. 通过过具体实实例，了了解简单单的分段段函数，并并解简单单应用3. 能根根据简单单的实际际问题，建建立函数数关系式式，画出出它们的的图像，进进一步理理解、体体会函数数的意义义任务分析学生在初中中已经对对这节内内容有了了初步的的认识这节的的教学任任务是在在学生原原认知水水平的基基础上，用用对应的的观点认认识函数数，会根根据不同同需要选选择恰当当的方法法表示函函数，明明确三种种表示方方法各有有优劣，在在一定条条件下可可以相互互转化为突出出根据简简单的实实际问题题建立函函数关系系式，画画出它们们的图像像这个重重点，除除学习教

3、教材中的的实际问问题外，又又增加了了练习为突破破分段函函数这个个难点增增加了高高斯函数数作为练练习教学设计一、问题情情景1. 复习习引入（1）复习习初中三三种函数数的表示示方法（2）学生生回答函函数三种种表示方方法的定定义2. 方法法探究（1）复习习与比较较例：某种笔笔记本的的单价是是5元，买买x（xx1，22，3，44，5）个笔笔记本需需要y元元试用用三种表表示方法法表示函函数yf（xx）（2）引导导学生分分析讨论论三种表示示方法的的各自的的特点是是什么？所有的的函数都都能用解解析法表表示吗？函数图像像上的点点满足什什么条件件？满足足函数关关系式yyf（xx）的点点（x，yy）在什什么地方方

4、？二、建立模模型1. 教师师明晰函数图像既既可以是是连续的的曲线，也也可以是是直线、折折线、离离散的点点等采用解析法法的条件件：变量量间的对对应法则则明确；采用图像法法的条件件：函数数的变化化规律清清晰；采用列表法法的条件件：函数数值的对对应清楚楚函数图像上上的点满满足函数数关系式式yff（x），满满足函数数关系式式yff（x）的的点（xx，y）在在函数图图像上，故故函数图图像即为为点集pp（xx，y）yff（x），xxA2. 比较较与分析析例：下表是是某校高高一（11）班三三名同学学在高一一学年度度几次数数学测试试的成绩绩及班级级平均分分：表7-1第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98

5、8791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分分88.278.385.480.375.782.6请你对这三三名同学学在高一一学年度度的数学学学习情情况进行行分析学生分析讨讨论：本本例是用用何种方方法表示示函数的的？要分分析“成成绩”与与“测试试次数”之之间的变变化规律律，用何何种方法法表示函函数？注意：在这这里选择择何种表表示方法法，要根根据问题题的具体体情况和和三种表表示方法法的长处处来确定定3. 教师师进一步步明晰将“成绩”与与“测试试次数”之之间的函函数关系系用函数数图像表表示出来来，就能能比较直直观地看看到成绩绩的变化化情况4. 转化化与比较较例

6、：画出函函数yx的图像像5. 教师师归纳、整整理初中作函数数图像的的基本方方法是列列表、描描点和连连线，但但这个方方法比较较烦琐我们可可以把初初中学过过的一次次函数、反反比例函函数、二二次函数数的图像像作为基基本图像像，把要要作的函函数的图图像转化化为基本本函数的的图像来来解决yx，若不不含“”号号，则是是我们初初中学过过的yx，现现在含绝绝对值号号，故去去绝对值值号，得得分段函函数而分分段函数数的图像像只要分分段作出出即可三、解释应应用练习一1. 作出出yx11的图图像，与与函数yyxx的图图像比较较，并说说出你发发现了什什么2. 作出出yxx22x1的图图像3. 若xx22x1mm，当mm

7、为何值值时，关关于x的的方程有有四个解解？三个个解？两两个解？无解？例题某市空调公公共汽车车的票价价按下列列规则制制定：（1）乘坐坐汽车不不超过55km，票票价2元元（2）超过过5kmm，每增增加5kkm，票票价增加加1元（不足足5kmm的按5kkm计算算）已知两个相相邻的公公共汽车车站间相相距约为为1kmm，如果果沿途（包包括起点点站和终终点站）有有21个个汽车站站，请根根据题意意写出票票价与路路程之间间的函数数解析式式，并画画出函数数的图像像学生分析讨讨论：函函数定义义域是什什么？值值域是什什么？图图像如何何作？教师引导学学生写出出如下解解答过程程解：设票价价为y元元，路程程为xkkm如果

8、某空调调汽车运运行路线线中设221个汽汽车站，那那么汽车车行驶的的路程约约为200km，故故自变量量x的取取值范围围是x（0，220，且且xN，函数数y的取取值范围围是y2，33，4，55由空调汽车车票价的的规定，可可得到以以下函数数解析式式：根据这个函函数解析析式，可可画出函函数的图图像函数图像共共有200个点构构成像例3、例例4这样样的函数数称为分分段函数数，分段段函数的的图像应应分段作作练习二1. 下图图都是函函数的图图像吗？为什么么？（D）目的：进一一步深化化对函数数概念和和函数图图像的理理解2. 某人人从甲镇镇去乙村村，一开开始沿公公路乘车车，后来来沿小路路步行，图图中横轴轴表示运运

9、动的时时间，纵纵轴表示示此人与与乙村的的距离，则则较符合合该人走走法的图图像是（）（D）3. 小明明从甲地地去乙地地，先以以每小时时5kmm的速度度行进11h，然然后休息息10mmin，最最后以每每小时44km的的速度行行进了330miin到达达乙地（1）试写写出速度度v（kkmhh）关于于出发时时间t（hh）的函函数关系系式，并并画出图图像（2）试写写出小明明离开甲甲地s（kkm）关关于出发发时间tt（h）的的函数关关系，并并画出图图像四、拓展延延伸1. 设xx是任意意的一个个函数，yy是不超超过x的的最大整整数，记记作：yyxx，问问：x与与y之间间是否存存在函数数关系？如果存存在，写写出

10、这个个函数的的解析式式，并画画出这个个函数的的图像答案：存在在函数关关系，是是著名的的高斯函函数现现只写出出 x11，1的函数数关系：y图图像略2. 某家家庭20004年年1月份份、2月月份和33月份煤煤气用量量和支付付费用如如下表所所示：表7-2月份用气量煤气费1月份4m24元2月份25m214元3月份35m219元该市煤气的的收费方方法是：煤气费费基本本费超超额费保险费费若每月量不不超过最最低限度度Am33，则只只付基本本费3元元和每月月每户的的定额保保险C元元；若用用气量超超过Amm3，超过过部分每每立方米米付B元元，又知知保险费费C不超超过5元元根据据上面的的表格，求求A，BB，C分析：可设设每月用用气量xxm3，支付付费用yy元，建建立函数数解析式式解之解：设每月月用气xxm3，支付付费用yy元，则则由0C5，得得3CC8由第2和33月份的的费用都都大于88，得两式相减，得得B00.5，A2C3再分析1月月份的用用气量是是否超过过最低限限度不妨令A4，将将x44代入33B（xxA）C，得得300.54（332CC）C44，由此推出33.54，矛矛盾，A4，11月份付付款方式式为3C3C4C1A5A5，BB0.5，CC1点评这篇案例分分三个层层次对三三种表示示方法进进行了比比较：第一层次：用一个个简单的的例子对对函数的的三种表表示方法法进行了了复习和和比较；第二层次