材料力学十一章

1、第十一章压杆的稳定性第12章压杆的稳定性11.1压杆稳定的概念PP一细长压杆受压时的各种现象1稳定状态2不稳定状态3临界状态PP临界力Pcr二细长压杆稳定的物理实质一对对立因素PP外力矩m=Pe使杆弯曲内力矩M EI 使杆复直eM EI e主动因素Pm=Pe被动因素1eM1PPcr即mM稳定状态PPcr即mM不稳定状态P=Pcr即m=M临界状压杆的稳定与不稳定的实质是:PcrPP受扰微弯时出现的使杆弯曲的外力矩和要使杆复直的内力矩何者处于优势的问题.优胜的一方决定压杆的状态.11.2两端铰支细长压杆的临界压力l两端铰支细长压杆的临界压力Pl状态临界M(x)=m=-Pyyy借用挠曲线近似微分方程

2、yyd 2 y M (x) PyM EIdx2EIEIm=Py令k2 P EIPcr则y“+k2y=0通解为y=Asinkx+Bcoskxx=0时,y=0B=0y=Asinkxx=l时,y=0Asinkl=0Pyylyyl MPn=1A0sinkl=0m=Py Akl (n=0123)knl与k 2 P EIPcrP解出P n22 l22 EIn=1临界压力l2线形讨论y=Asinkxnx将k n 代入lPy Asin()ln=1当sin(l时max AA令y yAlcos() 0lcos() 0lPnx l ,22,2, 72x0 l, 2n2n5l , 2n7l2nx0 l, 2n2n5l

3、 , 2n7l2nP在l 范围内n=1n=2x02llln=1Ax0 4 , 4n=3n=2n=3x0l, 3l66, 5lP6在x0处ymax=An为正弦半波个数l11.3其它支承条件下细长压杆的临界压力l1.两端固定细长压杆PPPPnmin 2Pcr 222EIl22EI(0.5l)2在0.5l上有一个正弦半波.2.自由细长压杆nmin 0.53.一端固定,另一端铰支细长压杆0.522EI2EI22nmin 1.51.52 2EI 2EIl(2l) l(0.7l)2在2l上有一个正弦半波.在0.7l上有一个正弦半波.二欧拉公式及长度系数写成统一的形式 2EIPcr称为欧拉公式 (l)21为

4、长度系数。与支承情况有关。l 为相当长度长度系数长度系数两端铰支两端固定一端固定， 另一端自由一端固定， 另一端铰支10.520.7三构件约束形式的简化柱形铰约束xy平面简化两端铰支1xz平面简化两端固定0.51xPxPl1l2yzl1l2螺母和丝杆连接l0d0l03d0简化为固定铰d0d0l01.5l0d简化为非完全铰00.7PP千斤顶PP2P工作台1弹簧刚度：C02C0.7 C0P PP 0.711.4欧拉公式适用范围经验公式一 细长压杆临界应力P 2 EI细长压杆临界应力 cr crA其中 A为未削弱的横截面面积。(l )2 A把 i 代入上式IAIA 2 Ecr( l )2i令 l i

5、称为柔度或者长细比。柔度集中反应了压杆的长度，约束条件，截面形状和尺寸等因素。 是压杆计算中的重要参量。细长压杆临界应力计算公式也称为欧拉公式.为 2 Ecr2二欧拉公式的适用范围cr22在座标下，其图象为欧拉双曲线。cr 2E2 p2E2Ep 2E 2Epp1p欧拉公式的适用范围为crp0如A3钢=200MPa11 p 2 2 206 109200 10 6三中、小柔度杆临界应力及适用范围1中柔度杆临界应力及适用范围中柔度杆：发生弹塑性失稳的压杆。crcr=scr= a -bcr 2 E 2 a bs式中a、b为材料的有关实验常数。pcrs即cr = a - bss 对应的柔度为 a s2b

6、中柔度杆临界应力公式的适用范围0crs21212小柔度杆临界应力及适用范围临界应力总图P crAS2已知：A3钢压杆，l =1m,A=80mm2,s =240 MPa,E=210GPa,b=8mm,h=10mm.求：Ps和Pcr，并比较Pl解：（1）用强度观点计算PslPs=s A = 19.2kNh用稳定观点计算PcrhImin 12 1010 m4IminAi 2.31103IminAl=1b2 EIi 433 l2(3)比较Ps : Pcr = 19.2 :0.885=21.7:1结论:压杆为低应力破坏已知：求：（1）压杆的临界应力；（2）若采用面积相同的实心杆两者临界应力之比。解：（1

7、）空心压杆的临界应力PlID 2 d2li1 11 A43.05 mml 2 E i1 1cr 12157MPad1Dd1D1D 2 d 211D2(D2 dD 2 d 21111D D44D 7.14 mmi D4 1.78mm li 1 2 E cr253MPa(3)比较cr1 ：cr157：532.96：1结论:空心杆抗失稳能力强11.5压杆的稳定校核一稳定的许用应力和稳定条件稳定的许用应力 crnstnst稳定条件 PAst或者n n P nst式中n工作稳定安全系数nst 规定的稳定安全系数注：安全系数大，原因是：（1）压杆的不可避免的影响因素。（2）失稳的突然性，造成灾害的严重性。

8、对有局部削弱的压杆（1）进行稳定计算不考虑削弱面。（整体）对削弱面进行进行强度计算。（局部）二稳定校核步骤l i确定最大柔度max 。由max.确定压杆计算公式，求cr或Pcr。n nPst例3约束不同不一定在最大刚度平面内失稳。已知：连杆材料为35钢,P=60kN,nst=4,l1=800mm,l2=770mm.b=20mm,h=45mm.zyhyl1zyhyl10 xy平面=1yzhbzyzhbzl2 Iz Abh312bhxPxPiz l12.99mm23b23 z 1 iz61 .60 xz平面=0.5I yAhbI yAhb312bh23iy l266 .7 5.77mm=66.7i

9、ymaxyiy2计算临界应力查表35钢1100 ，2601 y2为中柔度杆xPxPyzhbzl2查表a=461yzhbzl2cr=ab=290MPa3稳定校核压杆工作应力 Pzyhzyhybl1 66.7MPan cr 2904.35 n 4压杆稳定66.7st例带削弱截面的压杆已知：两端铰支压杆，l =2.4m,由两根12512512 等边角钢组成,铆钉孔直径d =30mm,P=50kN,材料为A3 钢，=160MPa,nst=2.5。xPy求：校核压杆是否安全xPyIy2Iy1yzd d lI1y一根角钢的惯性矩ylI1A128.9104m2一根角钢的面积I yAi I yA 2 Iy12Iy1查表i2 Iy12Iy1 li 62 .7查表a=304,