解三角形常见题型归纳

1、解三角形常见题型归纳正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。题型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角（或二角一边或三边），求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线（高线、角平分线、中线）及周长等基本问题1.在AABC中，AB=3,AC=2,BC=JO，则AB-AC=()ABABDC.6sinC.6sinB+3I3丿D.6sinB+3I6丿【答案】D2.（1）在AABC中，已知A=32.00,B=81.8o,a=42.9cm,解三角形；（2）在AABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=4Oo，解三角形（

2、角度精确到10，边长精确到1cm）。3.（1）在AABC中，已知a=2桓,c=、亦+迈,B=60。，求b及A；（2）在AABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm，解三角形兀4（2005年全国高考江苏卷）AABC中，A=,BC=3,则AABC的周长为（）A.4J3sinB+3b.43sinB+A.分析：由正弦定理，求出b及c,或整体求出b+c,则周长为3+b+c而得到结果.选（D）.5（2005年全国高考湖北卷）在厶ABC中，已知AB=4；6,cosB=丫,AC边上的中36线BD=5，求sinA的值.分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC,再由正弦定理，即得s

3、inATOC o 1-5 h z12,6解：设E为BC的中点，连接DE,则DE/AB,且DE=-AB=，设BE=x在厶BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2-2BE-EDcosBED,uc8c2J6J6.75=x2+2xxx，解得x=1,x=-(舍去厂3363282i121i130故BC=2,从而AC2=AB2+BC2-2ABBCcosS=，即AC=又sinB=336221故-221故-i2-=30sinAv30-inA丿14在厶ABC中，已知a=2,b=22,C=15，求A。答案：BA,且OoA18Oo,A二3Oo题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的

4、形状1.（2005年北京春季高考题）在AABC中，已知2sinAcosB二sinC，那么AABC一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解法1：由2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosBcosAsinB=0，得sin（AB）=0,得A=B.故选（B）.sinCca2+c2一B2解法2：由题意，得cosB=，再由余弦定理，得cosB=TOC o 1-5 h z2sinA2a2acA2+C2一B2C=l，即a2=B2，得a=B，故选（B）.2Ac2A评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：（1）统一化为角，

5、再判断（如解法1）,统化为边，再判断（如解法2）2.在ABC中，若2cosBsinA=sinC，则ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB=sin（A+B）+sin（AB）又*.*2sinAcosB=sinC，sin（AB）=0，A=BA2tanA3在ABC中，若厂=，试判断厶ABC的形状。B2tanB答案：故厶ABC为等腰三角形或直角三角形。4.在ABC中，acosA=Bcos卩，判断ABC的形状。答案：AABC为等腰三角形或直角三角形。题型之三：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题1

6、.（2005年全国高考上海卷）在AABC中，若ZA二120，AB二5，BC二7，O则AABC的面积s=*2.在AABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tanA的值和AABC的面2积。积。答案：SAABC=1ACXABsinA=1X2X3X斗=扣答案：SAABC3.（07浙江理18）已知ABC的周长为：2+1，且sinA+sinB=2sinC.（I）求边AB的长；（II）若AABC的面积为!sinC，求角C的度数.6解：（I）由题意及正弦定理，得AB+BC+Ac=迈+1，BC+Ac=x2AB，两式相减，得AB=1.II)由厶ABC的面积+BCinC=6sinC，得II)由余弦定理

7、，得sC_AC2+BC2-AB2_(AC+BC)2-2AC严C-AB2得cos-2ACBC-2AC严由余弦定理，所以C_60.o题型之四：三角形中求值问题1.（2005年全国高考天津卷）在AABC中，ZA、ZB、ZC所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc_a2和_1+竹，求ZA和tanB的值.b2分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理b2+c2-a21解：由余弦定理cosA_“_G，因此，ZA_60。2bc2在厶ABC中，ZC=180ZAZB=120ZB.由已知条件，应用正弦定理2由已知条件，应用正弦定理23_b_霜sin(120。-B)sinB

8、sin120。cossin120。cosBcos120。sinBsinBTcotB+2解得cotB_2,从而tanB2.AABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA+2cos取得最大值,并求出这个最大值。解析：由A+B+C=n，得Bl一A，所以有cosBIC=siny。2)2+2cosA+2cosB；C=cosA+2sin2=12sin2；2+2)2+2当sin2=2，即A=3时,cosA+2cos取得最大值为扌。2，(1)求3.在锐角厶ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sin，(1)求tan2答C+sin2专的值；若a-2,S-迈，求b的值。22ABC解析：(1

9、)因为锐角厶ABC中，A+B+C=兀，sinA二半，所以cosA=tan2叱tan2叱+sin2一22B+Csin22+sln2一2B+Ccos221+cosA17+-=-1cosA331cos(B+C1+cosA17+-=-1cosA331+cos(B+C)2(2)因为s=j2,(2)因为s=j2,又sABCABC1彳将a=2,cosA=3，c21彳将a=2,cosA=3，c3代入余弦定理：a2=b2+c22bccosA中,b得b46b2+9=0解得b=吒3。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时,灵活逆用公式求得结果即可。兀4.在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，

10、c，已知c=2,C3.(1)若厶ABC的面积等于J3,求a,b；(II)若sinC+sin(B-A)2sin2A，求ABC的面积.本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力.满分12分.解：(I)由余弦定理及已知条件得，a2+b2-ab4,TOC o 1-5 h z又因为AABC的面积等于乜3,所以*absinC-乜，得ab4.4分a2+b2-ab4,联立方程组7久解得a2,b2.6分ab4,(II)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)4sinAcosA,即sinBcosA2sinAcosA,8分.M4兀兀4J3了2羽当cosA0H寸，A,

11、B,a,b2633当cosA丰0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a,解得a2朋74畧3,b解得a2朋74畧3,b33联立方程组b2a,12J312分所以ABC的面积S-absinC12分题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物c,测得ZCAB=30,ZCBA=75。，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、ZCAB、ZCBA,

12、这个三角形可确定。解析：由正弦定理得ACAB,：AC=AB=120m,sinZCBAsinZACB解得CD=60m。又S-AB-ACsinZCAB-AB解得CD=60m。ABC22点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题2某舰艇测得灯塔在它的东15北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析:如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30北的方向上。在ABC中，可知AB=30 x0.5=15,ZABS=

13、150,ZASB=15,由正弦定理得BS=AB=15,过点S作SC丄直线AB,垂足为C,则SC=15sin30=7.5。这表明航线离灯塔的距离为7.5海里,礁的危险。点评：有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图,并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。（三.）追击问题3如图3,甲船在A处,乙船在A处的南偏东45图3方向，距A有9nmile并以20nmile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28nmile/h的速度航行，应沿什么方

14、向，用多少h能尽快追上乙船？解析：设用th,甲船能追上乙船，且在C处相遇。在厶ABC中，AC=28t,BC=20t,AB=9,设ZABC=a,ZBAC=B。.a=18O-45-15=120o根据余弦定理AC2二AB2+BC2-2AB-BCcosa,(28t2=81+(20t匕2x9x20tx(),128t260t27=0,(4t3)(32t+9)=0,解239得=4，=3(舍)33AC=28x=21nmile,BC=20 x=15nmile。44TOC o 1-5 h z15Jl尸BCsina15x丁5、3根据正弦定理，得sin卩=，又Va=120,Ap为锐角，AC21145長5語7血近5筋兀

15、P=arcsin，又V-，:arcsinV1414142144、兀5羽3甲船沿南偏东arcsin的方向用丁h可以追上乙船。4144点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的ZABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。4如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30。,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1。)？解析：连接BC,由余弦定理得BC2=202+1022x20 x10C0S120=700.sinACBsin120.3于是,BC=10：7。=,sinZACB=y,2010J77.ZACBv90,ZACB=41。乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援。十五分钟后，一款既清香甘美又消暑解渴的莲子羹就做成了。这样的汤水，在炎热的夏季里，只要喝过一次都不会忘记。十五分钟后，一款既清香甘美又消暑解渴的莲子羹就做成了。这样的汤水，在炎热的夏季里，只要喝过一次都不会忘记。大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥瞅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。光是莲藕的吃法就有很多：熬汤炖肉八宝酿、清炒生吃蜜饯糖，还