16章二次根式知识点例题

1、第十六章二次根式知识点一、二次根式1.定义：一般地，我们把形如a(a0)的式子叫做二次根式，称为二次根号，二次根号下的a叫做被开方数注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必定含有二次根号“”(2)二次根式的被开方数能够是一个数字，也能够是一个代数式，但必定满足被开方数大于等于0(3)根指数是2，这里的2能够省略不写(4)形如ba(a0)的式子也是二次根式，它表示b与a的乘积例题：1.以下各式中，必然是二次根式的是(1)327(2)9(3)3a2(4)x21(5)a22a1(6)2x1x1(7)a28a1622.以下各式中，必然是二次根式的是（）A.7B.x21（x为任意实数）C.m（m

2、为任意实数）D.33练习：1.以下各式中，必然是二次根式的是(1)33(2)4(3)x21(4)xy(x0,y0)(5)3a28(6)x26x122.以下各式中，必然是二次根式的是（）A.9B.x21（x为任意实数）C.m2（m为任意实数）D.35知识点二、二次根式有意义的条件1.从整体上描述：在二次根式a中，当a0时，a有意义，当a0时，a没心义2.从详尽的情况总结，以下：(1)单个二次根式如A有意义的条件：A0；A0(2)多个二次根式相加A+BN有意义的条件：B0；N0(3)二次根式作为分式的分母如B有意义的条件：A0；A(4)AA0二次根式作为分式的分子如有意义的条件：BB0第1页例题：

3、1.当x是怎样的实数时，以下各式在实数范围内有意义(1)3x1(2)1xx11(5)x21(6)x22x3(3)2(4)2x1xx12.函数yx1自变量的取值范围是（）A.x1B.x1C.x0D.x03.若1有意义，则x的取值范围是_x2练习：1.若式子x3在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x3B.x3C.x3D.x32.以下四个式子中，x的取值范围为x2的是（）A.2xB.x2C.1x2x2D.2x3.x2有意义的x的取值范围是_x1知识点三、二次根式的性质（重点，难点）性质1：式子a(a0)拥有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a的算式平方根，详尽描述为：(1)a是非负数

4、，a的最小值是0；(2)a的被开方数a是非负数注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必定同时为0例题：1.(2015.外国语期末卷)若x2y10，则xy=_2.若x2(y1)20，则xy=_3.若x3z2(y1)20，则(xyz)2015=_y4.若y2xx25，求x的值_5.若xy32xy60，求x，y的值第2页练习：1.(2015.铜盘中学期末卷)若x，y为实数，且y2x20,则(x)2015的值为_y2.若x3y22y10，则(xy)2=_3.已知a,b为实数，且a52102ab4，求a，b的值4.若a23a1b22b10，求a21b的值a2性质2：(a)2a(a0)，即一个非负数的算

5、术平方根的平方等于它自己注意：不能够忽略a02这一限制条件，以致近似44的错误性质3：a2aa(a0)，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它自己，记为a2a(a0)；a(a0)当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为2a(a0)a注意：不要认为a必然是非负数，从而出现如(2)22的错误a2与(a)2的差异与联系：表达式(a)2aa2a意义不相同(a)2表示非负数a的算式平方根的平方a2表示实数a2的算术平方根取值范围不相同a0a为任意实数差异(a)2a(a0)a2a(a0)运算结果不相同a0)a(a运算序次不相同(a)2表示非负数a先开平方再作平方a2表示对实数

6、a先平方再开平方运算联系a2与(a)2均为非负数，且当a0时，a2(a)2例题：第3页1.计算：3)2(2)(102)22)2114)2(1)(3)(3(4)(5322.计算：(1)(3)2(2)(3)2(3)(6)2(4)(3.14)2553.当m3时，(m3)2_4.设三角形的三边长为a，b，c，试化简：(abc)2(abc)2(bac)2(cba)2练习：1.计算：(1)(3.4)2(2)(3.4)2(3)(3)2(4)(4)22.若2a3，则(2a)2(a3)2等于（）A.52aB.12aC.2a5D.2a13.已知实数a、b在数轴上的地址以下列图，化简：a2+b2(ab)24.已知a

7、为实数，求代数式a224aa2的值知识点四、二次根式的乘除第4页1.二次根式的乘法法规：agbab(a0,b0)提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；a,b能够是数，也能够是代数式，但必定是非负的实行：agbgcgdabcda0,b0,c0,d02.agbab的逆运用：abagb（a0,b0）例题：1.计算：(1)26(2)627(23)(3)(121)(196)(4)(13)(33)(5)3xyg8y3(6)7x3yg8y2.化简：(1)9125224(2)33.(1)比较35与43的大小_，(2)比较55与63的大小_练习：1.计算：(1)(121)(196)(

8、2)(13)(33)(3)4x2y3g9y2(4)5x3yg9xy2.化简：(1)16121(2)29633.比较65与46的大小_，(2)比较83与38的大小_3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。第5页有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘，若是它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理化因式。有理化因式确定方法以下：单项二次根式有理化因式两项二次根式有理化因式aaababababababababmanbmanb分母有理化的方法与步骤：1）现将分子、分母化成最简二次根式；2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；3）最后结果必定化成最简二次根

9、式或有理式。例题：11.化简为（）abA.abB.abababC.bD.baa2.以下各式中正确的选项是（）12112C.1000105D.220A.B.50540602133.已知a=56，b=1，则a与b的大小关系式是ab.55.将以下各式分母有理化.(1)1(2)11(3)312a3b25285c2（4）32mn（mn）（5）（6）m31523n练习：第6页1.已知a=31，则a与b的关系是（）2，b=32A.a=bB.ab=1C.a=-bD.ab=-12.满足不等式44的整数共有（）个3x523A.4B.5C.6D.73.25的倒数是.4.设a7,b23,c1，则a、b、c从小到大的序

10、次是.325.将以下各式分母有理化.（1）2y2（2）2a0.224xyab（3）（4）0.5xy4.二次根式的除法法规aa：(a0,b0)bb提示：乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式例题：1.计算：(1)486(2)417(3)3a3b4ab2510练习：1.计算：(1)588(2)24(3)8a3b24a3b25154.最简二次根式：(1)被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；(2)被开方数中不含分母，小数；(3)分母中不含根式第7页例题：1.以下二次根式中，是最简二次根式的是（）A.0.2B.a2b2C.1D

11、.4ax2.(2014.华伦单元卷)把a1）根号外的因式搬动到根号内的结果是（aA.aB.aC.aD.a3.24n是整数，则正整数n的最小值是（）A.4B.5C.6D.7练习：1.以下根式中不是最简二次根式的是（）A.2B.6C.8D.102.以下各式中，属于最简二次根式的是（）A.x21B.xyC.12D.11x2a1）3.化简二次根式aa2的结果是（A.a1B.a1C.a1D.a14.已知a0B.x0C.x0D.x02.(x2)22x，则x的取值范围是（）A.x2B.x0C.xx2D.x25.整体化简：先判断根号有意义的取值范围，再看整体正负值不变1.(2010?祁门县校级模拟)使式子aa

12、）5成立的条件是（aa5A.a5B.a5C.0a5D.0a52.把(a1)中根号外的（a1）.1移入根号内得（a1A.a1B.1aC.a1D.1ax2y2axbyc0：配方成平方和为0的形式1.已知x2y22x4y50，求xy的值第14页2.已知a2a1b24b40，求a22abb2的值7.乘法公式的灵便运用1.若xab,yab，则xy的值为（）A.2aB.2bC.abD.ab2.若是yx32，那么yx的值等于（）xy2xyA.3B.57922C.D.223.(2010?祁门县校级模拟)计算(23)2008(23)2009(2)0=12，求a2114.已知aa2的值.，求a的值aa5.已知x2

13、3x10，求x212的值x26.已知a1，b1，求a3bab3的值1212第15页8.整数和小数1.星期天，张明的妈妈和张明做了一个小游戏，张明的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若x表示10的整数部分，y表示它的小数部分，我这个纸包里的钱是(10 x)y元，你猜一猜这纸包里的钱是多少？若猜对了，这纸包里的钱全给你”请问他妈妈包里的钱是2.x、y分别为811的整数部分和小数部分，则2xyy23.(2011?凉山州)已知a、b为有理数，m、n分别表示57的整数部分和小数部分，且amnbn21，则2a+b=9.其他1.(2014.英才单元卷)当a=时，代数式2a11取值最小，最小值为2.(2015?

14、永州模拟)设m51，那么m1的整数部分是m3.(2014.十九中期末卷)模拟式子322的化简方法：322122212，则式子526化简的结果是4.若abab5，ab4，则ba5.若x2xx2x2320，求：21的值x2x36.观察以下分母有理化的计算：121,132,1，从计算结果中23243143找出规律，并利用这一规律计算：(11ggg1g2006+1）=132200622005第16页7.(2013?黔西南州)阅读资料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子能够写成另一个式子的平方，如322(12)2。善于思虑的小明进行了以下研究：设ab2(mn2)2（其中a、b、m、n均为整数），则有ab2m22n22mn2。am22n2，b2mn。这样小明就找到了一种把近似ab2的式子化为平方式的方法请你模拟小明的方法研究并解决以下问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若ab3(mn3)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=；b=（2）利用所研究的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+