为随机变量分布函数

1、关于为随机变量的分布函数第1页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四2.3 连续型随机变量 定义 设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)，对任意实数x有则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数或密度.二、性质下页几何意义： f(x)下方x轴上方所围面积为1一、定义第2页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四(4) 在f(x)的连续点处有(5) 连续型随机变量取任何实数值 a 的概率等于0 .即 PX=a=0由性质(5)可得下页f(x)第3页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四 例

2、1.设随机变量X的密度函数为求 (1)常数a;(2)分布函数F(x). 解: (1)由解得 A=1/2.下页三、分布函数求法从而得第4页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四求(2)分布函数F(x).当0 x2时，当x2时,由定义有下页当x0时, 例1.设随机变量X的密度函数为第5页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四下页从而得分布函数为另：第6页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四例2.设连续型随机变量的分布函数为 求常数A.解：下页因为F(x)为连续型随机变量的分布函数，所以F(x)为连续函数，由连续函数的性质可得即 A=1 .第7

3、页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四 如果随机变量X的概率密度为分布函数为则称X在区间a,b上服从均匀分布, 记为XUa,b.得X 落在a,b内任一小区间c,d内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关四、常见连续型随机变量的分布下页1.均匀分布第8页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四 例3. 设随机变量X在2, 8上服从均匀分布，求二次方程 y2+2Xy+9=0 有实根的概率.解：由于X在2, 8上服从均匀分布，故X的概率密度为 从而，Py2+2Xy+9=0 有实根=PX3+PX - 3=1-PX0为常数.分布函数为 指数分布常用来作各

4、种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布若随机变量X的密度函数为下页第10页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四 例4. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X (单位:分钟)服从参数l=1/5的指数分布. 等待服务时间若超过10分钟，顾客就会离去. 若该顾客一个月到银行5次, 以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求PY1.该顾客未得到服务事件为X10，其概率为所以Y的分布律为 下页解：X的分布函数第11页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四若X的概率密度为分布函数F(x)x

5、其中m , s(s 0)为常数，则称X服从参数为m ,s 2的正态分布或高斯(Gauss) 分布, 记作 XN(m , s 2) .f(x)0 x下页3.正态分布 正态分布定义第12页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四 曲线关于x =m对称. 当 x =m时，函数f(x)达到最大值，最大值为下页f(x)mm +hm -h 概率密度的特点 拐点 (m s ，f(m s);水平渐近线为 ox 轴.第13页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四 固定s ，改变m值，曲线 f(x)形状不变，仅沿 x 轴平移. 可见m确定曲线 f(x)的位置. 固定m，改变s值，

6、则s愈小时，f(x)图形的形状愈陡峭，X 落在m附近的概率越大.m1m2f(x)xf(x)xs =2s =0.5s =1下页第14页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四当m = 0, s = 1时，称为标准正态分布. 记作 XN(0 , 1) .下页 标准正态分布标准正态分布的密度函数标准正态分布的分布函数第15页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四 标准正态分布的特点下页第16页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四 例5. 设XN(0,1), 计算： PX2.35 ； P-1.64 X0 .82 ； P|X| 1.54 .解： PX

7、2.35 = (2.35) = 0.9906 . P-1.64 X0 .82 = (0.82)-(-1.64) = (0.82) -1- (1.64) = 0.7434 . P|X| 1.54= (1.54) (-1.54) =2(1.54) 1 = 0.8764 .下页 标准正态分布查表计算查 页表第17页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四即下页 一般正态分布查表计算方法：转换为标准正态分布情形后，再查表.转换：于是有显然，第18页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四解： PX-2 = 1 - PX-2 = 1-F(-2) =1(-1.5)= (1.

8、5)=0.9932 .=0.9938 - 0.9332= 0.0606 .=1 (1.5) - (- 2.5) = (2.5) - (1.5) P|X|4 = 1-P |X|4 = 1 - P - 4X4=0.97720.6915=0.2857 .下页 例6. 设X N (1,4)，求： PX-2； P2X5； P|X|4.第19页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四 例7 （“三”原则）设X N (,2)， 求P|X|，P|X|2， P|X|3解 P|X|= PX+ = =第20页，共22页，2022年，5月20日，17点22分，星期四 例9.公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定? 解: 设车门高度为h (cm), 则碰头事件可表示为X h，依题意有 PX h0.01 .因为XN(170,62),所以PX