课标版高考文科数学总复习专题9.4 双曲线及其性质（讲解练）教学讲练

1、专题九平面解析几何9.4双曲线及其性质高考文数考点一双曲线的定义及标准方程考点清单考向基础1.双曲线的定义(1)双曲线的定义用符号表示为|MF1|-|MF2|=2a,其中2a|F1F2|时,动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程双曲线的标准方程是根据双曲线的定义,通过建立恰当的坐标系求出的.若已知所求曲线是双曲线,则可利用待定系数法求方程.参数b=是由于进一步化简方程的需要而引入的,但它同样具有明确的几何意义:b表示双曲线虚半轴的长.由双曲线的标准方程可确定双曲线实半轴长a和虚半轴长b,再结合c2=a2+b2,就可得到双曲线的顶点、焦点坐标,实轴长,虚轴长,焦距,离心率,渐近线等性质.求双曲线的

2、标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑.“定形”是指对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,焦点在哪条坐标轴上;“定式”是根据“形”设双曲线方程的具体形式;“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.若双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线方程为-=1(a0,b0);若双曲线的焦点在y轴上,可设双曲线方程为-=1(a0,b0);若焦点位置无法确定,可设双曲线方程为+=1(mn0)或Ax2+By2=1(AB0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.-=1

3、B.-=1C.-=1D.-=1解析双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,e2=1+=4,=3,即b2=3a2,c2=a2+b2=4a2,不妨设点A(2a,3a),B(2a,-3a),=3,渐近线方程为y=x,则点A与点B到直线x-y=0的距离分别为d1=a,d2=a,又d1+d2=6,a+a=6,解得a=,b2=9.双曲线的方程为-=1,故选A.答案A考向基础考点二双曲线的几何性质标准方程-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)一般方程mx2+ny2=1(mn1)渐近线方程y=xy=x【知识拓展】1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.P为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点

4、,且F1PF2=,则F1PF2的面积为.3.焦点到渐近线的距离为b.4.(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.(2)双曲线为等轴双曲线双曲线离心率e=两条渐近线互相垂直.5.双曲线-=1(a0,b0)的共轭双曲线为-=1(a0,b0),它们有共同的渐近线y=x,离心率满足的关系式为+=1.6.设P,A,B是双曲线上的三个不同的点,其中A,B关于原点对称,则直线PA与PB的斜率之积为.考向一求双曲线的离心率考向突破例3(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是.解析双曲线的一条

5、渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为=c,b=c,b2=c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=2.答案2考向二求双曲线的渐近线方程例4(2019四川成都二诊,2)已知双曲线C:x2-=1(b0)的焦距为4,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=xB.y=2xC.y=3x D.y=x解析双曲线C:x2-=1(b0)的焦距为4,则2c=4,即c=2,1+b2=c2=4,b0,b=,双曲线C的渐近线方程为y=x,故选D.答案D考点三直线与双曲线的位置关系考向基础1.直线与双曲线的位置关系:(1)无交点;(2)有一个交点,可能相切,也可能相交;(3)有两个交点,在一支上或

6、在两支上.2.研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的方程,当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点;当二次项系数不等于0时,用判别式来判定.考向一由直线与双曲线的位置关系求参数的取值范围考向突破例5双曲线E:-y2=1(a0)的离心率为,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点,则实数k的取值范围为.解析由得双曲线E的方程为x2-y2=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1-k2)x2+2kx-2=0,直线与双曲线的右支交于A,B两点,即解得1k0,b0,b0,b0)共渐近线的双曲线方程可设为-=(0);(2)若双曲线的渐

7、近线方程为y=x,则双曲线方程可设为-=(0);(3)若双曲线过两个已方法技巧知点,则双曲线方程可设为+=1(mn0),也可设为Ax2+By2=1(AB0,b0),根据双曲线的定义知2a=|-|=4,故a=2.又b2=32-a2=5,故所求双曲线的标准方程为-=1.解法二:椭圆+=1的焦点坐标是(0,3).设双曲线方程为-=1(a0,b0),则a2+b2=9,又点(,4)在双曲线上,所以-=1,联立,解得a2=4,b2=5.故所求双曲线的标准方程为-=1.解法三:设双曲线的方程为+=1(270,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点,直线PO,PF2分别交

8、双曲线C的左,右支于M,N,若|PF1|=3|PF2|,且MF2N=120,则双曲线的离心率为()A.B.3C.2D.解析由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,由|PF1|=3|PF2|,可得|PF2|=a,|PF1|=3a,又|PO|=|MO|,|F1O|=|F2O|,所以四边形PF1MF2为平行四边形,所以|PF1|=|MF2|=3a,|PF2|=|MF1|=a,因为MF2N=120,所以F1MF2=120,在F1MF2中,由余弦定理,得|MF1|2+|MF2|2-|F1F2|2=2|MF1|MF2|cosF1MF2,即a2+9a2-4c2=-3a2,即13a2=4c2,所以e2=,即e=.答案D例3(2020届河南南阳一中10月月考,10)已知点O为双曲线C的对称中心,直线l1,l2交于O且相互垂直,l1与C交于点A1,B1,l2与C交于点A2,B2,若使得|A1B1|=|A2B2|成立的直线l1,l2有且只有一对,则双曲线C的离心率的取值范围是()A.(1,2B.(1,C.,2D.(,+)解析不妨设双曲线的方程是-=1(a0,b0),由|A1B1|=|A