2021届全国卓越名校联盟新高考原创预测试卷十五数学

1、2021届全国卓越名校联盟新高考原创预测试卷（十五）数学祝考试顺利注意事项：1、考试范围：高考范围。2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不 清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当 马上报告监考老师，否则一切后果自负。4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡 上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷 类型A后的方框涂黑。5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的

2、答案标号涂 黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写 上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用 0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选 修题答题区域的答案一律无效。8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡

3、、草稿纸一并依序排列上交。一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.已知集合 U =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, A = 2, 3, 4, 5, B =2, 3, 6, 7,则A门（UB）=（）A. 1, 4B. 1, 4, 5C.4, 5D.6, 7【答案】C【解析】【分析】根据补集与交集的定义，计算即可.【详解】集合 U =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, B =2, 3, 6, 7,所以UB =1, 4, 5,又A = 2, 3, 4, 5),所以 An( U)=4, 5.故选：C.【点睛】本题考查了集

4、合的补集和交集运算，基础题.，一 a + i.若复数Z二在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（）-1A. 1B. 0C. - 1D. - 2【答案】B【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解a的范围即可.a + i (a + i)(1 + i) a -1 a +1.=V =1 - i(1-i )(1 + i)2又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，B0得-1得-1 a 0 2实数a的值可以是0.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记

5、者.已知丙的年龄比医生大；甲 的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）A.甲是律师，乙是医生，丙是记者B.甲是医生，乙是记者，丙是律师C.甲是医生，乙是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师【答案】C【解析】【分析】由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生【详解】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B和D ；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生(若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾)，从 而乙是律师，甲是医生.故选：C.【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与

6、转化思 想，是基础题.以抛物线E: x2= 4y的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为()A. G -11 + y2 = 4B, x 2+(y +11=4C. (x +1)+ y2 = 4D, x2+(y-1 = 4【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的焦点和准线得到圆心和半径，进一步到圆的方程.【详解】抛物线E: x2 = 4y的焦点为(0,1)，准线方程为y = -1,圆与E的准线相切，则r 2，故圆方程为：x2+(y-1 = 4.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的焦点和准线，圆方程，意在考查学生的计算能力和转化能力5.设函数f (x)为奇函数，且当x0时，f (x) = ex -

7、cosx,则不等式f (2x - 1) +f (x - 2)0的解集为()D. (1, +s)A. (- 1)B.D. (1, +s)【答案】D 【解析】【分析】由函数的解析式求出其导数，分析可得f(x)在0, +8)上为增函数，结合函数的奇偶性分 析可得f( x )在R上为增函数，据此可得原不等式等价于2x-12-x，解出x的取值范围， 即可得答案.【详解】由题知，当0时，f (x) = ex - cos%,此时有f f(x) = ex+sinx0,则f (x)在0,+()上为增函数，又由f(x)为奇函数，则f (x)在区间(-s, 0上也为增函数，故f(x)在R上为增函数.由f (2x -

8、1) +f (x -2)0,可得 f (2x - 1)- f (x -2),而函数f (x )为奇函数，可得到f (2x - 1)f (2-x),又f( x )在R上为增函数，有2x - 12-x，解得x 1, 即不等式的解集为(1, +s).故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属 于中档题.6.周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法， 十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，.生数皆终， 万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄(都为正整数)之和 恰好

9、为一遂，其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90至100),其余19人的年龄依次相差一 岁，则年长者的年龄为()A. 94B. 95C. 96D. 98【答案】B【解析】【分析】设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m, m90, 100,由题可得n + (n +1) + (n+2) + + (n +18) + m = 19n +171+ m =1520,解出n的取值范围，根据年龄为整数可得n的取值范围，再代入可得m的值.【详解】根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520,设年纪最小者年龄为n，年纪最大者 为 m, m 90,100,贝|有 n + (n +1) + (n+2) + + (n +18

10、) + m = 19n +171+ m = 1520,则有 19n+m =1349,则 m = 1349 - 19n,所以 901349 - 19n0, b0)右焦点为凡过点F且与xa 2 b 2轴垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A (点A在第一象限)，点B在双曲线C的渐近线上，且BF/。4,若AB - OB = 0，则双曲线C的离心率为(A.竽23A.竽23D. 2【答案】A 【解析】 【分析】 设双曲线的半焦距为c，利用题设条件分别求出A、B的坐标，再利用AB - OB=0得到a与c的关系式，即可求出离心率.b【详解】如图所示，设双曲线的半焦距为c，渐近线方程为：b【详解】如图所示，

11、设双曲线的半焦距为c，渐近线方程为：) = X-, abca),设点 b(x 0bx0 IBF/OA, a,鼠=,鼠=k,F，即bbc五一bx0 cca ，解得：x0 = 5，所以B(-,OB一 - 一 c2 3b2 c2又 AB - OB = 0, += 0,即 a2=3b2.44 a 2Vc2=a2+b2,a2 = 3 （c2 - a2）,即 3c2=4a2,所以离心率e = c =史. a 3故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了求双曲线的离心率，考查了平面向量的数 量积的坐标运算，属于基础题.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四 个选

12、项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有 选错的得0分.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均 粮食产量约为950斤-比全球人均粮食产量高了约250斤.如图是中国国家统计局网站中 2010 - 2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知 在 2010 - 2019 年中（ ）超仕产址（万吨）孙晔即乜隼涮2年加白年加侔物饰20】碑201? 超仕产址（万吨）孙晔即乜隼涮2年加白年加侔物饰20】碑201? 201-四国年6Q卡6RD4庭.161 7P66.3S曲崎 m押加2fmL丹加海年加I怖涮涮

13、座即阵加胖年A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增2011年我国粮食年产量的年增长率最大2015年- 2019年我国粮食年产量相对稳定D 2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰【答案】BCD【解析】【分析】仔细观察2010 - 2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，利用条形图中的数据直接求解.【详解】由中国国家统计局网站中2010 - 2019年，我国粮食产量(千万吨)与年末总人口(千万人)的条形图，知： 对于A,我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨左右，2016年，2018年略低；而我国年末总人口均逐年递

14、增，故A错误； 对于B,由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%,故B正确;对于C,在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C正确； 对于D, 2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题.10.若a b 0则下列不等式中一定成立的是()A.a-1b-A.a-1b-1B.baC. In (b - a) 0D.(3cla 7【答案】BD【解析】【分析】 TOC o 1-5 h z 一 1对于a：构造函数y = %-,由函数在(-8,-1)上的单调性

15、进行比较； x1,-、对于b:构造函数y = x + ,由函数在(-8,-1)上 单调性进行比较； x对于C由于a 0,但不确定b - a与1的大小关系，无法判断大小； HYPERLINK l bookmark73 o Current Document a 1 n b 1的对于D :易知 1，0 - 1，由指数函数的单调性进行判断即可.ba1 z1,1【详解】由函数y = x - 在(-8,-1)上为增函数可知，当a b -1时，a- b-7，故 xa b选项a错误； HYPERLINK l bookmark79 o Current Document 111 HYPERLINK l bookm

16、ark83 o Current Document 由函数y = x +上在(-8,-1)上为增函数可知，当a b -1时，a +1 b +1 ,即 xaba - b -，故选项B正确；ba由于a 0，但不确定b - a与1大小关系，故1n(b - a)与0的大小关系不确定，故选项C错误;a由 a由 a b 1,bb八（a A c0 - 0，则-aI b ）一 （b Ac 一 1 0,故选项D正确.Ia ）故选：BD.【点睛】本题考查实数的大小比较，考查函数思想的运用，属于基础题.11.在单位圆0： %2+y2=1上任取一点P （x, y），圆O与x轴正向的交点是A,设将OA绕原 点0旋转至u

17、0P所成的角为/记X, y关于e的表达式分别为 =f（e）, y=g（e），则下列说法正确的是（）a. % =f（e）是偶函数，y=g（e）是奇函数b.% =f（ eb.% =f（ e）在一、兀兀为增函数，y = g（e）在，为减函数c.f（ e）+ g（ e）对于e e。，恒成立d.函数t =2f（e）+ g（2e）的最大值为辽d.2【答案】AC【解析】【分析】a，由题可知，x = f（e）= cose，y = g（e）= sine，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，可判 断选项a ；B，根据正弦函数和余弦函数的单调性，可判断选项B ；。，先利用辅助角公式可得f（e）+ g （e）=、;2si

18、n（e+：），再结合正弦函数的值域即可得解； 4D，t = 2cos e+ sin2 e，e e 0，2兀，先对函数t求导，从而可知函数t的单调性，进而可得 当sine= ;，cose二三 时，函数t取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即 可得解.【详解】解：由题可知，% = f（e）= cose，y = g（e）= sine，即a正确；cc冗 c、冗rK K% = f（e ） = cose在一 y,0）上为增函数，在0,y上为减函数；y = g（e ） = sin e在一不，W上 为增函数，即B错误；f (0) + g(0) = cos。+ sin0 = 2 sin(0 + ),9

19、 g 0, , /. 0 + g ,4244 4八 兀 0,则-1 sin 0 1；令 t 0，则1 sin 0 1, 22八兀 5函数t在0八兀 5函数t在0，6和y,2上单调递增，在 二不 上单调递减16 6 ）cos0 =时，函数t取得极大值，为t = 2x 4 + 2xx二 =主业, 222 22又当0= 2即sin 0 = 0，coso = 1时，t = 2 x 1 + 2 x 0 x 1 = 2，所以函数t的最大值为至， 2即D错误.故选：AC .【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数的单调性和奇偶性，三角恒等变换，利用导数求函数 的单调性与最值等，考查学生灵活运用知识的能力、推理论证

20、能力和运算能力，属于中档题.12.如图，平面aQ平面B=l, A, C是a内不同的两点，B, D是万内不同的两点，且A, B,C, D直线l, M, N分别是线段AB, CD的中点.下列判断正确的是（）A.若 AB / CD，则 MN/1B.若M, N重合，则AC/1C.若AB与CD相交，且AC/1，则BD可以与l相交D.若AB与CD是异面直线，则MN不可能与平行【答案】BD【解析】【分析】由若两两相交的平面有三条交线，交线要么相交于一点，要么互相平行判定A、 b、 C；用 反证法证明D.【详解】解：若AB/CD，则A、b、C、D四点共面丫，当AB CD时，平面a、P、丫两两相交有三条交线，分

21、别为AC、BD、l，则三条交线交于一点O，则l与平面丫交于点O，MN与l不平行，故A错误；若M，N两点重合，则AC/BD，A、b、C、D四点共面丫，平面a、P、丫两两相交有三条交线，分别为AC、BD、l，由 AC / / BD，得 AC / / BD/l，故 B 正确；若AB与CD相交，确定平面Y，平面a、P、丫两两相交有三条交线，分别为AC、BD、l，由 AC / /1，得 AC / / BD/l，故 C 错误；当AB，CD是异面直线时，如图，连接BC，取BC中点G，连接MG，NG .则 MG / / AC , AC ua , MG ”，则 MG /a，假设 MN / /1 ,l ua ,

22、MN Ua , MN /a , 又MN MG = M，.二平面MNG/a ,同理可得，平面MNG/P ,则a/p ,与平面a 平 面p =fll矛盾.二假设错误，MN不可能与l平行，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思 维能力，属于中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态已知两条绳上的拉力分别是F,F，且F,F与水平夹角均为45。，|F = F = 10。水，则物体的重力大小为N.12121 12【答案】20【解析】【分析】根据力的平衡有IGI=IF+F

23、 I,两边平方后可求出IGI. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark125 o Current Document 12兀【详解】由题意知IGI=IF+FI.F,F的夹角为彳. HYPERLINK l bookmark168 o Current Document 12122兀 一所以IGI2 =I F + F I2 =I F I2 +2I FIIF Icos-+I F I2.1211 222所以 IG I2= 200+0+200=400 .一所以 IG I= 20.故答案为:20.【点睛】向量的数量积的两个应用：(1)计算长度或模长，通常用I a I= .后 ；(

24、2)计算夹角，cos = 4b .特别地，两非零向量a,b垂直的充要条件时a b=0 . I a I - I b I( 兀、 sin ( 兀、 sin a- -14.已知aw 0,二一一 I 2【答案】3【解析】【分析】冗冗冗兀由题可知a-e(-,-)，所以cos(a-) 0，利用同角三角函数的平方关系可求得其值， 44 44 - 再采用拼凑角的方法，sina= sin(a-) + -，并结合正弦的两角和公式求出其值，再一次 44利用平方关系，求出cos a的值，最后利用商数关系即可得解.【详解】解：Sin（a一标卷，且ae（0,!，。一？（-4cos(a ?) = ,1 sin 2(a -4

25、) = 2y5sin a = sin(a上)+ 工=gsin(a马 + cos(a)=立 x := 442442510a g (0, ) , /. cos a = v sin2a = , 210.tan a = sin。= 3. cos a故答案为：3.【点睛】本题考查三角恒等变换的混合运算，观察角之间的联系，使用拼、凑角是解题的关 键，考查学生的运算能力，属于基础题.15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块 上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、 F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种

26、树苗至少种植一棵，且关于抛物 线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是 （用数字作答）.【答案】36 【解析】【分析】先选四个位置上的重复树苗有C1种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问 3题.【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种A , B , C , D四个位置，有且仅有一种树苗重A 4复，有C1种选法；在四个位置上种植有下=12种方法，3A 22则由乘法原理得C1 X12 = 36种方法.3故答案为：36.【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算.属 于中档题.I lnx, x 116.已知函数/x 3 -

27、3 x 2+1, x(1则x曰一1,，时,f(x)的最小值为一；设g(x)=f (x) 2-f (x) + a若函数g (x)有6个零点，则实数a的取值范围是.1【答案】(1). -4(2). (0, 4 )【解析】【分析】根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值或者下确界，即可求出x e -1, e时，f (x)的最小值； 令t = f (x)，根据题意再结合函数f (x)的图象，以及y = 12 -1的图象即可求出实数a的取值范围.【详解】解：当xe1, e时，f (x) = Inx，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为 f (1) = ln1 = 0 ,当 x e -1, 1)时

28、，f (x) = 2x3 - 3x2 +1,则 f(x) = 6x2 -6x = 0 时，x = 1 (舍)或 0,且有f (x)在(-1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，因f (-1)=-2 - 3 +1 = -4 f (1),故函数f (x)在-1 , e上的最小值为-4 ；令 t = f (x) , g (x) = 0 即 12 -1 = - a ,作出函数y = f (x)的图象，如图所示：直线y = t与函数y = f(x)的图象最多只有三个交点，所以0 t 1,即说明方程12 -1 = - a有两个(0,1)内的不等根，亦即函数y = t2 -1在(0,1)内的图象与直线y

29、 = -a有两个交点， TOC o 1-5 h z ,1、11 HYPERLINK l bookmark139 o Current Document 因为y = 12 T = (t - -)2-，根据y = 12-1的图象可知，一五 a 0 , 乙IIc1即实数a的取值范围为0 a 4.1故答案为：4 ； (0,4).3廿【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，以及根据函数的零点个数求参数范围，考查学 生的转化能力和数形结合能力，属于较难题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.17.在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b,和已知a =

30、23, A =,兀(1)若 B =，求 b ；4(2)求 ABC面积的最大值.【答案(1) 2 ,/ ； (2) 3 3【解析】【分析】(1)根据题意利用正弦定理可求b的值；(2)由余弦定理和基本不等式可求bc的最大值，进而可求ABC面积的最大值.兀【详解】解：(1) B = 兀【详解】解：(1) B = 4a = 243, A =一, 3可得b =a sin Bsin A(2)a = 2二AABC 面积的最大值为 Lbc sin A = x 12 x = 3V3 .222【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式与三角形面积的计算 问题，属于基础题.18.已知数列“为正项

31、等比数列，ai =1 ；数列bj满足b = 3,a b + a b + a b + a b = 3 +（2n - 3）2n.（1）求a ；n（2）求-的前n项和T .I bb Inn n n+1 J一一 n【答案】（1） a2n 1 ；（2）T =-nn 2 n +1【解析】【分析】=（1）首先令n = 1和n = 2求出a = 2，从而得到公比夕=区=2，再求通项公式即可. 2a1（2）首先根据已知求出b = 2 n -1，再利用裂项求和即可得到答案. n【详解】（1）令n = 1,得a1b = 3 +（2-3）2 = 1，所以b= 1,令 n = 2，得 a1 b1 + a2b2 = 3

32、+ (4 - 3) x 22 = 7 , 所以 a 2 b2= 6,又 b2 = 3，所以 a 2 = 2 ,设数列a 的公比为q , n则 q = a2 = 2，所以 a 2n 1 ； an1(2(2)当 n 2 时，a1 % +_a2b2 + a b = 3 + 2(n -1) - 32n-1 n-1 n-1又 ab + a b + a b + a b = 3 + (2 n - 3)2 n， ab = 3 + (2 n - 3)2 n-1_3 + (2 n - 5)2 n-1 J = (2 n -1)2n-1,因为an 2n1，所以bn = 2n-1, n = 1时也成立，所以bn = 2

33、n-1. TOC o 1-5 h z -11z 11 、=(-)bb(2n - 1)(2n +1) 2 2n -1 2n +1，n n+1所以 T = _(1-) + ( ) + + (-)n 233 52n -1 2 n +1_1/i 11 、/ 11=2(1+ 3 + + 冏)- (3 + 5 + + 市!力=1(1-，) = 42 n +1)2 n +1. 【点睛】本题第一问考查等比数列的通项公式，第二问考查由前n项和求通项，同时考查了裂 项求和，属于中档题.19.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.兀兀AB BC,FC与平面ABCD所成的角为:，/ABC =-.63

34、如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是菱形，PA，平面ABCD，且PA = AB=2, PD 的中点为F.(1)在线段AB上是否存在一点G,使得AF/平面PCG?若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；(2)若，求二面角F - AC - D的余弦值.【答案(1)存在，G是线段AB的中点，证明见解析；(2)详见解析【解析】【分析】(1)设PC的中点为H，连结FH，由题意得AGHF为平行四边形，则AF/GH，由此能证明 在线段AB上存在中点G,使得AF平面PCG.(2)选择ABBC推导出AB, AD, AP彼此两两垂直，以AB, AD, AP分别为l, z 轴，建立

35、空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F - AC - D的余弦值.选择FC与平五 一面ABCD所成的角为-，取BC中点E,连结AE,取AD的中点M,连结FM, CM,则FMPA,6-且FM =1, FM，平面ABCD, FC与平面ABCD所成角为/FCM, /FCM =,推导出AE, 6AD, AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为1, y, z轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出二面角F - AC - D的余弦值.选择NABC =-3 ,推导出PABC,取BC中点E, 连结AE,推导出AE, AD, AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为1, y, z轴，建立空 间直角坐标系

36、，利用向量法能求出二面角F - AC-D的余弦值.【详解】(1)在线段AB上存在中点G,使得AF平面PCG. 证明如下：如图所示：甘*-设PC的中点为H，连结FH,11因为 FH / /CD , FH =1 CD , AG/CD , AG = - CD , 22所以 FH/AG, FH = AG所以四边形AGHF为平行四边形，则 AF GH,又GH 平面PGC, AF平面PGC,AF 平面PGC.(2)选择AB BC ：PA，平面 ABCD ,A PA BC,由题意知AB, AD, AP彼此两两垂直，以AB, AD, AP分别为1, y, z轴，建立空间直角坐标系， PA = AB=2,则 A

37、 (0,0, 0), B (2, 0, 0), C (2,2,0),D (0, 2, 0), F (0,1, 1), P (0, 0,2), AF =(0, 1, 1), CF = (-2,-1,1),设平面FAC的一个法向量为n= (x, y, z),一同 AF = y + z = 0N - CF = -2 x - y + z =忆取 y = 1，得 N = (-1, 1,-1),平面tACDi的一个法向量为V = (0, 0, 1),设二面角F -AC - D的平面角为仇 则 cos6.c二面角F- AC - D的余弦值为一.3兀选择FC与平面ABCD所成的角为-：6, PA，平面ABCD

38、，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M,连结FM, CM, 则 FM / PA，且 FM =1,FM，平面ABCD,兀FC与平面ABCD所成角为NFCM,(FCM -,6在 Rt FCM 中，CM = 3 , 又 CM=AE，.二AE.2+BE2= AB2,BCAE,AE, AD, AP彼此两两垂直，以AE, AD、AP分别为x, y, z轴，建立空间直角坐标系，A ( 0, 0, 0), B ( v3 , PA = AB=2, -1, 0), C ( 则1,m CF-出x + z - 0 一取x 3得m ( y3 ,-3, 3),平面NCD的一个法向量为：n - (0, 0, 1),设二面

39、角F - AC - D的平面角为仇m n e.X 2【答案(1)详见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】(1)对f (x)求导后，再对a分类讨论即可得出函数的单调性.一 elnxelnx(2) a =1 时，将所证不等式转化为 ex - ex +1 ,令 F (x) = ex - ex +1, G (x)=,xx分别根据导数求出F(x)的最小值和G(x)的最大值即可证明不等式成立.【详解】(1) f (x) = + alnx, (x(0, +). x,/、1 a ax - 1f1 (x) =- - + =.x2 xx2当a0时，f,(x) 0 时，由 f1 (x) e. x21 exee e

40、lnx即要证：一十 lnx - e0 ex - ex +1 . x(0, +).x xx 2x令 F (x) = ex - ex +1, F (x) = ex - e,当x(0,1)时，F,(x)0,此时函数F (x)单调递增.可得x =1时，函数F (x)取得最小值，F (1)=1.elnxe (1-lnx)令 G (x) =, G (x)=,xx 2当0 x 0，此时G(x)为增函数，当x e时。G-(x) G (x)，即 ex - ex +1 . x(0, +).故原不等式成立.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、分类讨论方法、等价转化方法，考 查了利用导数证明不等式，属于

41、中档题.21.区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为 构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期 间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关 数据，如表注：参考数据2L y = 74.691注：参考数据2L y = 74.691，2L xyi=1i =1=312.761，Z z= 10.980，Z xz. = 40.457i =1i =1（其中z=年份2015201620172c编号1234企业总数量y （单位：千个）2.1563.7278.30524Iny).附：样本（x

42、i, y.） （i =1, 2,，n）的最小二乘法估计公式为八a = y - bx八 Zn (x - x )(y - y ) b=八a = y - bxi=11（1）根据表中数据判断，y=a+bx与y=cx （其中e=2.71828，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y关于x的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；每场比赛获胜的公司与未参加此

43、场比赛的公司进行下一场的比赛；在比赛中，若有一个 公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的优胜公司”，已知在 131 每场比赛中，甲胜乙的概率为金，甲胜丙的概率为三，乙胜丙的概率为不，请通过计算说明， JJ乙哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？【答案】（1）选y=cedx； （2） y = e0.752 x-0.060 ；（3）甲与丙两公司进行首场比赛时,甲公司获得“优胜公司”的概率大【解析】【分析】(1)直接由表中数据可得选择回归方程y=cedx，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量;(2)对y = cedx两边取自然对数，得lny = lnc+

44、dx，转化为线性回归方程求解；(3)对于首场比赛的选择有以下三种情况：A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先 赛，由已知结合互斥事件与相互独立事件的概率计算公式分别求得甲公司获得，优胜公司”的 概率得结论.【详解】(1)选择回归方程y = cedx，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；(2)对y = cedx两边取自然对数，得lny = lnc+dx,令 z=lny, a = lnc, b=d，得 z=a+bx.由于 x =15 , x = 1 x= 3 , z z =2.196 , j5 j5 ii =1i=1i=1x 0.752,40.457 - 5 x 3 x x 0.752,5

45、5 - 5 x 32i=1 ia = z-bx = 2.196-0.752x3 = -0.060 .z关于x的回归方程为z = 0.752x - 0.060，则y关于x的回归方程为y= e0.752x-0.060 ；(3)对于首场比赛的选择有以下三种情况：A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先赛.一 t 一 1 一一一 3 一一 1由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为1,甲胜丙的概率为彳，乙胜丙的概率为歹,JJ乙则甲公司获胜的概率分别是：31- + -x5 3(3 1 11 - x-x- +I 5 J 2 331x -=5 31345 ；3x1+3x(1 1 -5J113x x x 2 3 53 11131X - X1X - X 5 3 2 3 55 .9、13、1 由于 一 25 45 5甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得，优胜公司”的概率大.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，互斥事件与相互独立事件概率的求法，还考查 了分析问题运算求解的能力，属于中档题.22.已知椭圆C: 0- + y 1（ b 0 ）过点P（2）,勺,F2分别为椭圆C的左、右焦点且PF】 PF2 1.y.（1）求椭圆C的方程；（2）过P点的直线11与椭圆C有且只有一个公共点，直线l2平行于OP （O为原点），且与椭 圆C交于