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1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A4.4.1 Taylor级数4.4.2 函数展开成幂级数4.4.3 函数展开成幂级数的应用4.4 函数展开成幂级数第4章 无穷级数中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A4.4.14.4 函数展开成幂级数4.4.1 Taylor级数 函数展开成幂级数 直接法4.4.2 函数展开成幂级数思考题 间接法Taylor(泰勒)级数的存在性Taylor(泰勒)级数的形式 习例1-3习例4-104.4 函数展开成幂级数4.4.1 Taylor级数 函数展是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数？问题:1.如果能展开, 是什么?2.展开式是否唯

2、一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?一、Taylor级数是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数？问题:1.如果1. Taylor(泰勒)级数的形式 证1. Taylor(泰勒)级数的形式 证泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数定义问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.定义问题泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.可见在x=0点任意阶可导,可见在x=0点任意阶可导,2. Taylor(泰勒)级数的存在性证必要性2. Taylor(泰勒)级数的存在性证必要性充分性注意: 定理1告诉我们：若f(x)能展成x的幂级数，则此

3、幂级数就是Maclaurin级数；但反过来，若f(x)的Maclaurin级数在x=0的某邻域内收敛，却不一定收敛于f(x).其敛散性应进一步考虑.充分性注意: 定理1告诉我们：若f(x)能展成x的幂级数，则二、函数展开成幂级数步骤：1. 直接法 二、函数展开成幂级数步骤：1. 直接法 例 1 例 2 例 3 用直接法展开函数成幂级数习例例 1 例 2 例 3 用直接法展开函数成幂级数习例例 1 解例 1 解例 2 解例 2 解例 3 解例 3 解开放式精品示范课堂高等数学建设组牛顿二项展开式.牛顿二项展开式.注意:注意:2. 间接法(1)利用已知幂级数展式.(2)利用求导求积恒等变形等运算转

4、化为已知幂级数 展式来展开.(3)端点情况的收敛性重新考虑.2. 间接法(1)利用已知(2)利用求导求积恒等变形等运算转例 4 用间接法展开函数成幂级数习例例 5.例 6 例 4 用间接法展开函数成幂级数习例例 5.例 6 例 7 例 8 例 9 例 10 例 7 例 8 例 9 例 10 例 4 解例 4 解开放式精品示范课堂高等数学建设组开放式精品示范课堂高等数学建设组例 5 解例 5 解例 6 解例 6 解例 7 解例 7 解开放式精品示范课堂高等数学建设组开放式精品示范课堂高等数学建设组例 8 解例 8 解例 9 解例 9 解例 10 解例 10 解开放式精品示范课堂高等数学建设组 思 考 题1. 函数处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级数” 有何不同

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