新课标版高中数学高考总复习专题5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲解练)教学讲练

1、第五章 三角函数与解三角形5.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式高考数学考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式一、三角函数的概念1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角.正角:按逆时针方向旋转形成的角;负角:按顺时针方向旋转形成的角;零角:如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角.(2)终边相同的角:与终边相同的角可表示为|=+2k,kZ.2.弧度与角度的互化(1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角.考点清单(2)角的弧度数公式:|=.(3)角度与弧度的换算360=2rad,1=rad,1 rad=57.30

2、=5718.(4)扇形的弧长及面积公式:弧长公式:l=|r.面积公式:S=lr=|r2.第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合3.象限角4.三角函数 正弦余弦正切定义设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:y叫做的正弦,记作sin ,即sin =yx叫做的余弦,记作cos ,即cos =x叫做的正切,记作tan ,即tan =(x0)+-+-+-一全正,二正弦,三正切,四余弦5.终边相同的角的三角函数sin(+k2)=sin ,cos(+k2)=cos ,tan(+k2)=tan ,其中kZ,即终边相同的角的同一三角函数值相等.知识拓展终边相同的角与

3、对称性(1),终边相同=+2k,kZ.(2),终边关于x轴对称=-+2k,kZ.(3),终边关于y轴对称=-+2k,kZ.(4),终边关于原点对称=+2k,kZ.6.三角函数线各象限内角的三角函数线如下表:角的终边所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形当角的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时角的正弦值和正切值都为0;当角的终边与y轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在,此时角的余弦值为0,正切值不存在.二、同角三角函数的基本关系式1.平方关系:sin2+cos2=1.2.商数关系:tan =.函数角正弦余弦正切-sin cos -tan -sin -cos -tan

4、 +-sin -cos tan 2-sin cos -tan 2+sin cos tan -cos sin +cos -sin 三、诱导公式-cos -sin +-cos sin 角“(kZ)”的三角函数的记忆口诀为“奇变偶不变,符号看象限”.考法一利用三角函数定义解题知能拓展例1(2018广东广州模拟,3)在平面直角坐标系中,以x轴的非负半轴为角的始边,角,的终边分别与单位圆交于点和,则sin(+)=()A.-B.C.-D. 解题导引 解析因为角,的终边分别与单位圆交于点和,所以sin =,cos =,sin =,cos =-,所以sin(+)=sin cos +cos sin =+=.答案

5、D总结拓展1.已知角终边上一点P(不与原点重合)的坐标,求三角函数值:先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解;若含参数,则需对参数进行讨论.2.已知角的终边所在直线的方程,求三角函数值:先设出终边上一点(除原点)的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题;若直线的倾斜角为特殊角,则可直接写出角的三角函数值.考法二同角三角函数的基本关系式的应用技巧例2(2018皖南八校第二次联考,11)已知,且+=35,则tan 2=()A.B.C.D. 解题导引 解析依题意,知12(sin +cos )=35sin cos ,令sin +cos =t,t(1,两边平方并整

6、理得sin cos =,原式化为12t=35,解得t=,故sin +cos =,则sin cos =,即=,即=,12tan2-25tan +12=0,解得tan =或,则tan 2=,故选D.答案D方法总结1.已知sin ,cos 与tan 三者中的一个求另外两个:利用平方关系和商数关系求解;2.已知tan 的值,求关于sin 与cos 的齐n次分式的值:分子、分母同除以cosn,转化为关于tan 的式子求解;3.“1”的代换问题:含有sin2,cos2及sin cos 的整式求值问题,可将所求式子的分母看作“1”,利用“sin2+cos2=1”代换后转化为“切”,然后求解.特别提醒对于si

7、n +cos ,sin cos ,sin -cos 这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可求.转化的公式为(sin cos )2=12sin cos .考法三利用诱导公式化简求值的思路和要求例3(1)设cos(-36)=k,那么tan 2 016=()A.B.-C.D.-(2)已知sin(3+)=,求+的值.解题导引(1)先利用同角三角函数的基本关系求出sin 36的值,再利用诱导公式化简求解.(2)利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简求解.解析(1)cos(-36)=cos 36=k,所以sin 36=,所以tan 2 016=tan(3605+216)=tan 216=tan

8、(180+36)=tan 36=.(2)因为sin(3+)=-sin =,所以sin =-.原式=+=+=+=18.答案(1)A方法总结1.化简求值的思路方法:(1)分析结构特点,选择恰当的公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得出最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.常见的互余和互补的角(1)常见的互余的角:-与+;+与-;+与-等.(2)常见的互补的角:+与-;+与-等.4.求任意角的三角函数值的步骤负角化正角,正角化锐角,最后求值.考法四同角三角函数的基本关系和诱导公式的综合应用例4已知3cos2(+x)+5cos=1,求6sin x+4tan2x-3cos2(-x)的值.解题导引将已知条件化简,求出sin x,cos2x,tan2x,代入化简后的式子求解即可.解析由已知得3cos2x+5sin x=1,即3sin2x-5sin x-2=0,解得sin x=-(sin x=2舍去).这时cos2x=1-=,tan2x=,故6sin x+4tan2x-3cos2(-x)=6sin x+4tan2x-3cos2x=6+4-3=-.方法总结1.求值:(1)给角求值:用诱导公式遵循“负化正,正化小,到锐角”的一般步骤求值;(2)给值求值:先用诱导公式统一角,再用