新高考版数学高中总复习专题7.1平面向量的概念、线性运算及基本定理(讲解练)教学讲练

1、专题七 平面向量.1 平面向量的概念、线性运算及基本定理高考数学考点一平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念及表示法考点清单名称定义表示法向量既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的长度(或模)向量:;模:|零向量长度为0的向量叫零向量,其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量常用e表示平行向量方向相同或相反的非零向量a与b共线可记为ab;0与任一向量共线共线向量平行向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量a=b相反向量长度相等且方向相反的向量a与b互为相反向量,则a=-b;0的相反向量为02.平面向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量

2、和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a;(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算三角形法则 数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|=|a|;(2)当0时,a与a的方向相同;当0时,a与a的方向相反;当=0时,a=0(a)=()a;(+)a=a+a;(a+b)=a+b考点二平面向量基本定理及坐标运算1.共线向量定理(1)判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数使得b=a,则向量b与a共线.(2)性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在唯一一个实数,使得b=a.(3)A,B,C是平面上三点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点

3、C在直线AB上,则存在实数,使得=(1-)+,如图.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量基本定理温馨提示(1)构成基底的两向量不共线;(2)基底给定,同一向量的分解形式唯一;(3)若1e1+2e2=0,则1=2=0.3.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、 j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj,这样,平面内的任一向量a

4、都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,显然0=(0,0),i=(1,0), j=(0,1).(2)设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标,即若=(x,y),则A点坐标为(x,y),反之亦成立(O是坐标原点).4.向量的坐标运算(1)平面向量运算的坐标表示 坐标表示加法已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2)减法已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2)数乘已知a=(x1,y1),则a=(x1,y1),其中

5、是实数任一向量的坐标已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)温馨提示a.向量相等,则坐标相同;b.向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关.(2)平面向量共线的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0.温馨提示a.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件不能表示成=.因为x2,y2有可能等于0,所以应表示为x1y2-x2y1=0.同时,ab的充要条件也不能错记为x1x2-y1y2=0,x1y1-x2y2=0等.b.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条

6、件是a=b(b0),这与x1y2-x2y1=0在本质上是没有差异的,只是形式上不同.考法一与平面向量线性运算有关的解题策略知能拓展例1(2019豫南九校第三次联考,8)如图所示,在ABC中,点M是AB的中点,且=,BN与CM相交于点E,设=a,=b,则等于()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b解题导引由条件BN与CM相交于点E,可知N,E,B三点共线及C,E,M三点共线,由共线向量定理可设=m+(1-m),=n+(1-n),再利用=,=,结合平面向量基本定理建立关系式,求得m、n的值,进而表示出.解析由题意得=b,=a,由N,E,B三点共线可知,存在实数m,满足=m+(1-m)=mb+(

7、1-m)a.由C,E,M三点共线可知,存在实数n,满足=n+(1-n)=na+(1-n)b,所以mb+(1-m)a=na+(1-n)b,因为a,b为基底,所以解得所以=a+b,故选A.答案A例2(2019河北3月质检,6)在ABC中,O为ABC的重心.若=+,则-2=()A.-B.-1C.D.- 解题导引三角形重心有什么性质?重心O是ABC中什么线的交点?(中线交点)延长BO交AC于点M,由重心的性质可知,M为AC的中点,且=,再把用,表示出来,得出,的值,进而可得-2.解析如图,延长BO交AC于点M,点O为ABC的重心,M为AC的中点,=-+=-+(-)=-+,又=+,=-,=,-2=-2=

8、-,故选D.答案D方法总结1.若A,B,P三点共线,则可设成=的形式,也可以设成=t+(1-t)的形式,两种设法因题而异,如例1,就用到了第二种设法;2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置;(2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果.考法二与平面向量坐标运算有关的解题策略例3(2018湘东五校4月联考,15)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=+,则实数+=.解题导引分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,然后写出A,M,N,C的坐标,利用平面向量的坐标运算求解.解析分别以AB,AD所在

9、直线为x,y轴建立平面直角坐标系,如图,A(0,0).设正方形的边长为2,则C(2,2),M,N分别是BC,CD的中点,M(2,1),N(1,2),=(2,2),=(1,2),=(2,1),又=+,(2,2)=(2,1)+(1,2),+=.答案例4(2019河北邯郸重点中学9月联考,11)给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若=x+y,则x+y的最大值是()A.B.1C.D.2解题导引由于点C在上运动,故可设AOC=,再通过建系,求点A,B,C的坐标,结合=x+y,将x,y用表示出来,进而求出x+y的最大值.解析以O为原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,设AOC=