定积分的几何应用课件

1、1.元素法的步骤:1）作图，2）在区间内，任取一小区间则相应于该区间上的微分元素为3）写出定积分的表达式：定积分区间选积分变量复习11.元素法的步骤:1）作图，2）在区间内，任取一小区间则相应oyx其面积元素为：则面积为上曲线下曲线xoy2.平面图形的面积曲边梯形的面积:2oyx其面积元素为：则面积为上曲线下曲线xoy2.平面图形的xyocdy+dyyxoycdy+dyy其面积元素为：则面积为右曲线左曲线曲边梯形的面积:3xyocdy+dyyxoycdy+dyy其面积元素为：则面积面积元素曲边扇形的面积为:极坐标系情形4面积元素曲边扇形的面积为:极坐标系情形46-2 定积分在几何上的应用 旋转

2、体就是由一个平面图形绕这圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积旋转轴平面内一条直线旋转一周而成的立体该直线叫做特点：垂直于轴的截面是圆.1.旋转体定义：56-2 定积分在几何上的应用 旋转体就是由一个平面图形围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积.求由连续曲线直线x=a、 x=b(ab) 及x轴所2.xf(x)abx.111111111取积分变量x，在上任取小区间方法：则以为底的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积近似等于以为底半径，以为高的扁圆柱的体积，旋转体的体积为即体积元素6围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积.求由连续曲线直类似地，如果旋转体是由连续曲线直线及轴所围成的曲边梯形绕轴

3、旋转一周而成的立体的体积.7类似地，如果旋转体是由连续曲线直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋解例1 求y24x, x 0,4绕x轴旋转时形成的旋转体的体积取积分变量为x,则积分区间为在0,4上任取小区间则该薄片的体积元素为则所求的体积为8解例1 求y24x, x 0,4绕x轴旋转时形例2 求抛物线与直线所围的图形绕x轴解如图：联立方程组得交点坐标为取x为积分变量，则于是体积元素为：则所求体积为旋转所得立体的体积.oxy29例2 求抛物线与直线所围的图形绕x轴解如图：联立方程组得交解上半椭圆的方程为：由公式知：同理得椭圆绕y轴旋转而成的旋转体的体积为：例3求由椭圆绕x轴旋转所成旋转体的体积.10解上

4、半椭圆的方程为：由公式知：同理得椭圆绕y轴旋转而成的旋转解11解11另解12另解12求星形线绕x轴旋转构成的旋转体的体积.例5解由公式所求的体积为13求星形线绕x轴旋转构成的旋转体的体积.例5解由公式所求的体积解求星形线绕x轴旋转构成的旋转体的体积.例5旋转体的体积为14解求星形线绕x轴旋转构成的旋转体的体积.例5旋转体的体积为1xyoAB解15xyoAB解15AB依题意有xyo16AB依题意有xyo16二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，立体体积立体的体积也可用定积分来计算.上垂直于一个定轴的各个截面面积，这个表示过点且垂直于轴的截面面积.那么，为的已知的连续函数.但却

5、知道该立体17二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，立解建立如图的坐标系.则底圆方程是：一个直角三角形.两直角边的长分别为例7一平面经过半径为的圆柱体的底圆的中心，底圆交成角计算这平面截圆柱体所得立体的体积.并与过点且垂直于轴的截面是及即及则截面面积为从而得体积元素为x18解建立如图的坐标系.则底圆方程是：一个直角三角形.两直角边的在闭区间上作定积分，便得所求立体的体积19在闭区间上作定积分，便得所求立体的体积19解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.例8垂直于x轴的截面为等腰三角形半径为R的圆面

6、积的四分之一20解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积求以半径为R的圆为底弧长元素弧长三、平面曲线弧长的概念1、直角坐标情形设曲线弧为其中在上有一阶连续导数，取积分变量为x,在上任取一小区间以对应小切线段的长代替小弧段的长.小切线段的长为21弧长元素弧长三、平面曲线弧长的概念1、直角坐标情形设曲线弧为解所求弧长为例1计算曲线上相应于从到的一段弧的长度.22解所求弧长为例1计算曲线上相应于从到的一段弧的长度.22解oxy-aaa例2求悬链线从到的这一段的弧长（如图）.则弧长23解oxy-aaa例2求悬链线从到的这一段的弧长（如图）.则弧曲线弧为弧长2、参数方程情形其中上具有连续的导数.在24曲线弧为弧长2、参数方程情形其中上具有连续的导数.在24解例3计算摆线的一拱的长. 弧长元素为从而，所求弧长25解例3计算摆线的一拱的长. 弧长元素为从而，所求弧长25解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长例4求星形线的全长.26解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长例4求星形线曲线弧为弧长3、极坐标情形其中上具有连续的导数.在27曲线弧为弧长3、极坐标情形其中上具有连续的导数.在2