2019年中考数学总复习：胡不归问题模型及运用

1、2019年中考数学总复习：胡不归问题模型及运用胡不归问题，是一个非常古老的数学问题，曾经是历史上非常著名的“难题”。 近年来陆续成为各地中考模拟题的小热门考点，学生不易把握，今天给大家普及 讲解一下。话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即 赶路回家.小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布 满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到 家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留 之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可 以，他应该选择一

2、条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题.如图，A是出发点，B是目的地，直线AC是一条驿道，而驿道靠目的地一侧 全是砂土，为了选择合适的路线，根据不同路面速度不同（驿道速度为a米/秒， 砂土速度为b米/秒），小伙子需要在AC上选取一点D,再折往至B.所求问is即转化为求m*2仙的最值，因此需要在图中构造出长度为士。的 h a ）a替换线段.我们在直线AC下方作一条射线AM,使得过点D作DELAB,则 a笥二由而所以原问转化为*止+。理的最小值.显然垂线段最用.即过点B做的垂线，与/1。交点。1即为折件点，上述数学解释用到了三角函数知识将两个线段的系数权重都化为1,从而降 低了求最值难度。

3、聪明的同学或许一下就发现转化成了我之前讲过的“将军饮马 （小河取水）”模型，进而作对称求得最值。下面选取一道我编写的给初三学生学习的“胡不归”问题。例题:在直角三角形ABC中,下面选取一道我编写的给初三学生学习的“胡不归”问题。例题:在直角三角形ABC中,ZC=90S ZA=3O,BC-1SP是边AC上的个动点，则jPA+PB的最小值是显然线段PA,PB的系数不同，先要将他们化为1.考虑到本题中有个N A=30,而30所对的直角边是斜边的一半，所以可以将二分之一 PA转化， 如图例题：在直角三角形ABC例题：在直角三角形ABC中,ZC=90% ZA=30,BC=LP是.边AC上的一个动点，俞P

4、B的最小值是yPA-PD然后问题就明朗了，系数都是1 了，得到新模型一一“将军饮马（小河取水）” 模型例题工在直角三角形ABC中,ZC=90% 例题工在直角三角形ABC中,ZC=90% ZA=30,BC=LI,是边AC上的一个动点,伸J=P*VPB的最小值是二作轴对称解您彳PA+PB=PD-PB小河取水I两定一动1 7-PA-PDaur剩下的问题就是作对称，求最值了。大家思考一下，该选取哪个点关于AC对称 比较好？是D点呢，还是B点呢？聪明的你肯定注意到了NC=90,所以我们选取B点关于AC对称比较好，方便 计算。如下图：例题：在直角三角形ABC例题：在直角三角形ABC中,ZC=90c ZA=

5、30,BC=LP是边AC上的一个动点.（I gaPB的最小值是可知DB和AB垂直时候，DB就是本题的最短线段（所用知识：两点之间线段 最短+垂线段最短）。容易知道B也是30,可知BD=BC=1,而DB是DB的根 号3倍，为根号3.接下来，我们再看胡不归模型”二次函数中的应用例1. (2016 接下来，我们再看胡不归模型”二次函数中的应用例1. (2016 江苏徐州)如图，在平面直角 坐标系中，二次函数v=ax，bx+G的图象经过A (7,0)、B (0,) C (2,0)。对称轴与x轴相交于点Do(D求二次函数关系式及顶点坐标；丁(2)若P为v轴上一个动点，连接由，则；尸身十尸。的最小值为；(

6、3)若M (s, t)为抛物线对称轴上一个动 点，若平面内存在点N,使得以A、B、孔N为 顶点的四边形是菱形的点N共有一个； 连接MA、MB,若/AMB不小于60” ,求t 的取值范围。(2)分析：关键是如何转化PB的一半，根据上述胡不 归问题的分析，只要过点B做一条直线与v轴成(2)分析：关键是如何转化PB的一半，根据上述胡不 归问题的分析，只要过点B做一条直线与v轴成30角, 再过点口作垂线段即可口由题意得，/AB0=300 ,所以 过点作AB的垂线段，垂足为E, 口E即为所求.IAB： 丫 = -&-柩。芯=些 45个取点F (1,0),连接BF,则ABF为正三角形 ABF的外接圆圆H交

7、直线x = 1与N,此作HG_L直线工=；垂足为G33、包叵金一旦叵-2解：；/ = -(工+ 1)(工-2) 顶点在 RtZHGM 中，GN =（2）尸0L36）f 13 1417 44例 （2）尸0L36）f 13 1417 44例 3： （2015 内江 27 题 12 分）如图，在ZACE 中，CA=CE, /CAE=3000经例2. (2015山东日照，第22题14分)如图，抛物线_y = g/+帆t+界与直线 y = -1x + 3交于A, B两点，交x轴与D、C两点，连接AC、BC, 已知 A (0, 3), C (3, 0).(1)求抛物线的解析式和t昌n/EAC的值；(2)在

8、(1)条件下：P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA,过点P作PQPA交V轴于点Q,问：是否存在点P使得以A, P,。为顶点的三角形 与ACE相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若 不存在，请说明理由.设E为线段AC上一点(不含端点)，连接DE, 一动点M从点口出发，沿线段 DE以辑秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒VI个单位的速度运动 到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？解：（1） y = X2x+ 3tan ZB AC 2235号卫E与ED的时间相同，过点A作I平行于x轴,过点作AF_LI,垂足为匕交AC于点E,故D、E、F三点共线时，用时最短口则

9、点E即为所求口E (2J)接下来，我们再看胡不归模型“圆中的应用过点C,且圆的直径AB在线段AE上，(1)试说明CE是。的切线鼻(2)若AACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式 表示。0的直径AB；(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接 0D,当当D+0D的最小值为6时，求O0的直径AB的长. 解：连接0C,如图1,/CA=CE, NCAE=30 ,/. ZE=ZCAE=30 , NC0E=2NA=60 ,/. Z0CE=90,二CE是0。的切线；(2)过点C作CH_LAB于H,连接0C,如图2,-3-居高搐下浅入郊幽K由题可得CH=h.在 RtZOHC 中，CH=OC-sin

10、ZCOH,Ah=0C-sin60o 二驾C,2: 00=光1, 7T 3.AB = 20031；3(3)构造;CO,因为NA=30 ,所以过点C作AE的平行线CP,过点。作OHLCP与H,交AC与点D,则有。点D即为所求。由垂线段最短可知，的最小值为0H 二 6在 RtZHOC 中，6C = 2x A = 4V3.直径 AB-8/3练习1：抛物线yfJ2x-3与x轴交于A、B两点，多过点B的直线交抛物线与E,且tan/EBA=20 一只蚂蚁从A出发以1单位/秒的速度沿直线AD爬到BE 3上的D处，再以1. 25单位/秒的速度沿DE爬至E觅食，则蚂蚁从A到E的最短 时间为=练习2： B (-4.

11、0) C (1,0),以BC为直径作圆M交y轴正半轴于点A,过A、 B、C三点作对称轴平行于y轴的抛物线。(1)求A点的坐标(2)求抛物线的解析式P (x, V)为抛物线上一动点，若/BPC为锐角，求x的取值范围E点为抛物线的顶点，点F从E出发，沿线段EM以速度运动到Q后，再 以速度内沿直线向点C运动。若%： %=同：4,要使点F从点E到C的用时最 短，求。点坐标。例4： (09年 北京25题)如图，在平面直角坐标系工的中，ABC例4： (09年 北京25题)如图，在平面直角坐标系工的中，ABC三个顶点的坐标分别为月(-6,0),见6,0),。他4可，延长AC到点D,使CD=；/C过点D作DE/7AB交BC的延长线于点E.(1)求D点的坐标；(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,若“(3)设G为V轴上一点，点P从直线yn丘+ 5与V轴的交点出发，先沿V轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在