求解匀质球体转动惯量的4种方法

1、求解匀质球体转动惯量的4种方法摘要：普通物理学中，匀质球体转动惯量的求解是比较复杂的，但是根据转动惯量基本概念和微 积分的知识可以发现多种计算方法.这些方法的掌握能够提高学生用微积分处理物理问题的能力， 对于学生后续物理学习是非常有帮助的.基于对称性分析给出4种计算思路和具体计算步骤. 关键词：匀质球体；转动惯量；微积分Four methods for calculating the moment of inertia of a homogeneous sphereAbstract: In general physics，the solution of the moment of inerti

2、a of a homogeneous sphere is quite complicated. But according to the basic concept of moment of inertia and the knowledge of calculus, a variety of calculation methods can be found. These methods can improve students ability to deal with physical problems with calculus, which is very helpful for stu

3、dents subsequent physics study. Based on symmetry analysis, presents four kinds of calculation ideas and specific calculation steps.Key words: homogeneous sphere; moment of inertia; calculus力学中刚体转动惯量是非常重要的概念，它是刚体定轴转动问题中衡量物体转动惯性的物理量，在转 动定律中的作用相当于牛顿第二定律中质点质量的作用.具有对称性的刚体求某一定轴的转动惯量是微积 分知识在物理学中的重要应用.教学中通

4、常会以简单模型为例介绍计算方法，例如：求质量均匀的细杆相 对于过质心且与杆垂直的轴，或者相对于过端点且与杆垂直的轴的转动惯量；求质量均匀的圆环或者圆盘 相对于过圆心且与圆面垂直的轴的转动惯量1-2.对于更加复杂的刚体转动惯量，一般要求学生课后自行练 习计算，或者记住特定刚体的转动惯量公式，遇到相应的问题可以直接使用.实际上，如果能熟练掌握转动惯量推导的计算技巧，对后面质心位置求解3-7及电磁学中场强叠加的计 算都是非常有帮助的8-9，因为这些问题都是根据基本概念或者基本原理，结合模型的对称性选取合适的微 元来积分运算10-11.教学过程中，将均匀球体绕中心轴的转动惯量的计算作为附加作业布置给学

5、生，师生 共同讨论，总结出4种方法.题目质量为m，半径为R的匀质球，求以直径为轴的球体转动惯量.方法1根据转动惯量定义J = JdJ =Jr勺m （ r是质元dm到轴的距离），利用球坐标求解.m设Z轴为转轴(见图1),球体质量密度为Q = m史-在球坐标中选取微元-nR33dV = r2 sindddr微元对应的转动惯量为dJ = r2 sin2 甲-pdV = r4 sin3 甲-pdddr式中：r sm0是微元到转轴的距离即r-球体转动惯量为J =夕广亳易度抨 0d0jRr 4drp= mR这种方法非常简单，但是不熟悉球坐标的学生可能想不到-方法2也有一些学生是利用转动惯量定义，在直角坐标

6、系中取微元(见图2).图1方法图1方法1所用球坐标微元对应的转动惯量为dJ = p( x2 + y2) dxdydz式中：x2 + y2是微元到转轴的距离即r 球体转动惯量为J = JJJ p( x2 + y2) dxdydz将其投1)但是在计算时，学生会遇到困难，很多人放弃这种方法，改用球坐标-也有人根据其对称性, 影到极坐标系计算，方法为将其投1)J = JJJ p( x2 + y2) dxdydz=p( x2+y 2) dxdy 5三注=DJJ 2p(x2 + y2)7R - x1 - y2dxdyD在xoy平面内建立极坐标，极径r = .x2 + y2 ,式(1)在极坐标下写成J=2阿

7、，2序；？.局牛2p . 2n .1JR2 r/R2 - r2 dr2 今-2 Jo2npJ；(R2 - x2) x(-dx2) = 4npJR(R2 - x2) x2dx=%pRs=mR2155此外，很多学生借鉴利用圆环转动惯量求圆盘转动惯量的方法，选取简单的模型作为微元，再积分求 得整个球体的转动惯量.容易想到的是将球体看成一系列圆盘的叠加，利用匀质圆盘的转动惯量作微元（见 方法3）.也有人将球体看成是一系列薄球壳的叠加，先求薄球壳的转动惯量，再将其作为微元积分后得到 球体的转动惯量（见方法4）.图3方法图3方法3采用的圆盘微元方法3已知圆盘的转动惯量为J = -mR2 （见图3），取与转

8、轴垂直的、厚度为dz的薄圆盘，该体元2dV = nr2dz，对应的转动惯量dJ =!pnr2 - r2dz =；p（R? - z2） dz球体转动惯量为J = fR pR2 - z2）2 dz=npR5 = mR2J-R 2 *）155方法4先求质量为m，半径为R的薄球壳的转动惯量（见图4），先取圆环带，其边缘弧长为dl，也可以参考图3,圆环的面元为d* = 2nrdl=2nR sin 0d （R。） = 2nR2 sin 0d0根据转动惯量定义可得薄球壳的转动惯量 TOC o 1-5 h z J = f r 2dm= f R2sin2OS =m *4*fn mR2 sin3 0d0 = - mRJ。23在球体内取半径为r，厚度为dr薄球壳，体元为dV = 4nr2dr .利用薄球壳转动惯量公式写出图4中薄球壳 的转动惯量dJ= r2dm = r2 -p4nr2dr33球体的转动惯量为fR 2 228522J=| r -p4%r dr = %pR = mRJ。3155这4种方法都是学生曾经尝试过的，这个过程中学生通过查资料，挖掘数学潜力.做的最多的是方法 1和方法4,曾经提示学生利用