2023年福建省高一数学竞赛-参考答案

1、PAGE PAGE 92023年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间：5月11日上午8：3011：00一、选择题每题6分，共36分1集合，假设，那么实数的取值范围为 A B C D【答案】A 【解答】时，符合要求。时，。由知，。，解得。的取值范围为。2假设一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，那么该圆锥内切球的体积为 A B C D【答案】A 【解答】设圆锥底面半径为，母线长为，那么，。又。因此，。圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。所以，其内切球半径，其体积。3函数的值域为 A B C D【答案】 B 【解答】由，知，。，。又，因此，。值域为。4给出以下命题：1设，是不同的直线，是

2、一个平面，假设，那么。2，是异面直线，为空间一点，过总能作一个平面与，之一垂直，与另一条平行。3在正四面体中，与平面所成角的余弦值为。4在空间四边形中，各边长均为1，假设，那么的取值范围是。其中正确的命题的个数为 A1个 B2个 C3个 D4个【答案】 C 【解答】1显然正确。2假设存在平面，使得，那么。但，是未必垂直。故不正确。3作于，那么为正三角形的中心，是与平面所成角。设，那么，。故，3正确。4取中点，那么。由、构成三角形知，。故，4正确。5是定义在上的奇函数，且对任意，均有，当时，那么函数在区间上的零点个数为 A6个 B7个 C8个 D9个【答案】 D 【解答】由知，或。在区间内有唯一

3、零点1。结合为奇函数知，在区间内有唯一零点。又由知，在区间内有唯一零点2；在区间内有唯一零点4；在区间内有唯一零点5。又由，知，。又。在区间上的零点个数为9。6函数。给出以下四个判断：1的值域是； 2的图像是轴对称图形；3的图像是中心对称图形； 4方程有解。其中正确的判断有 A1个B2个 C3个 D4个【答案】B 【解答】设，那么。1，与轴不相交即、三点不共线。 等号不成立，的值域是。1不正确。2，的图像关于直线对称。或从几何图形上看，当与关于点对称时，。2正确。3显然不正确。假设3正确，那么结合2可得为周期函数，矛盾。4，又， 方程有解是方程的解。4正确。二、填空题每题6分，共36分7集合，

4、假设，那么实数的取值范围为。【答案】 【解答】问题等价于圆在菱形内部不含边界。，且圆心到直线的距离。8如图，在等腰直角三角形中，、分别为、的中点。将沿折起，使得折起后二面角为。那么折起后四棱锥的体积为。【答案】【解答】由条件知，在四棱锥中，。是二面角的平面角，且。，且。作于，那么。由知，为正三角形，。 四棱锥的体积。9函数的图像关于点对称，那么点的坐标为。【答案】 【解答】由函数定义域为；值域为。猜测点坐标为。下面给出证明：。的图像关于点对称。10中，假设，那么面积的最大值为。【答案】【解答】以中点为坐标原点，直线为轴建立直角坐标系，那么，。设。那么由，知。整理，得。 点在以为圆心，半径为的圆

5、除与轴的交点上运动。 点到直线即轴距离的最大值为。面积的最大值为。11二次函数，假设对任意均有成立，那么的最大值为。【答案】 8【解答】，。，当且仅当，即时，等号成立。的最大值为8。12不等式的解集为。【答案】 【解答】不等式化为；或。由，得，由于函数为增函数，且。所以，不等式的解为。由，得。设，。如图，在同一坐标系内作函数与的图像，它们有两个交点， ()，其中，。所以，的解为。由、可知，不等式的解集为。三、解答题第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，总分值78分13此题总分值16分求二次函数在区间上的最小值的表达式。【解答】。当时，在区间上的最小值为。 4分当时，。假设，即时

6、，在区间上的最小值为。8分假设，即时，在区间上的最小值为。12分假设，即时，在区间上的最小值为。 16分14此题总分值16分两个同心圆：和：，圆上一点。过点作圆的两条切线，切点分别为、。1假设点坐标为，求四边形的面积。2当点在圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？假设存在，求出定圆的方程；假设不存在，请说明理由。【解答】1依题意，且，。 四边形的面积为。 4分2设，那么。当点在圆上运动时，恒有。 点、在以为圆心，为半径的圆上。该圆方程为。8分又点、在圆：上。联立两圆方程，消二次项，得。即。 直线方程为。 12分 原点到直线的距离为定值。 圆恒与直线相切。 存在定圆恒与直线相切，定圆方程为。 1

7、6分注：此题也可以用平面几何方法求解：设与的交点为，那么。 8分在中，由，知。 12分 以为圆心，1为半径的圆恒于直线相切。 存在定圆恒与直线相切，定圆方程为。 16分15.此题总分值16分如图，在中，为的平分线且与交于点，为中点，、为、上的点，且。求证：。【解答】如图，过点作的平行线交直线于点，于点。那么由为中点知，为中点。 4分平分，。，。结合知，、四点共圆。 8分。，。同理，。 12分，、四点共圆。 16分16此题总分值16分给出5个互不相同的实数，假设这5个数中任意两个数的和或积中至少有一个是有理数，求证：这5个数的平方都是有理数。【解答】设为其中的一个数，依题意，其余的4个数为或的形

8、式，其中为有理数。 4分1假设这4个数中至少有2个为的形式，设它们为，且，。那么由条件知，与中至少有1个成立。当时，成立。当时，成立。 8分2假设这4个数中最多只有1个为的形式，那么至少有3个数为的形式。设这三个数为，互不相同，且，。下面考虑这三个数的和与积。 假设，中至少有两个为有理数。不妨设，为有理数，那么。，成立。 12分 假设，中最多只有1个为有理数，那么，中至少有两个为有理数。不妨设，为有理数。那么，。两式相减，得，。，成立。由、知，此时成立。综上可得，。因此，这5个数的平方都是有理数。 16分17此题总分值14分1设集合，集合是的子集，且集合中任意两数之差都不等于6或7。问集合中最多有多少个元素？2设集合，集合是的子集，且集合中任意两数之差都不等于6或7。问集合中最多有多少个元素？【解答】1构造的以下13个子集：，中每一个数恰好属于2个子集。由于从中任取7个元素，它们分别属于上述13个子集中的14个子集，由抽屉原理知其中必有2个元素属于同一个子集，它们的差为6或7。因此，中任意7个元素都不能同时属于集合。即中最多只有6个元素。 4分又中任意两数之差都不等于6或7。集合符合要求。 集合中最多有6个元