数学物理方法教学Chapt4课件

1、数学物理方法梁昆淼 编刘法 缪国庆 修订讲演者徐卫青 ()数理系，物理教研室第四章 留数定理4.1 留数定理4.2 应用留数定理计算实变函数定积分*4.3 计算定积分的补充例题一、包含单个孤立奇点的回路积分1.对于存在单个孤立奇点的区域，根据复连通区域的柯西定理，有问题引入ll0z02.对于存在孤立奇点的区域，在以z0为中心，半径为0的圆环域上将f(z)展开为洛朗级数3.将2式代入1式右边，逐项积分，问题引入3式右端积分: k=-1, 2i; k-1,0.留数(或残数)，Res f(z0).()二、包含n个孤立奇点的回路积分1.对于存在n个孤立奇点的区域，根据复连通区域的柯西定理，有问题引入2

2、.将上一节的代入上式，ll1b1l2b2l3b3l4b4lnbn留数定理有限远点的留数定理：设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点b1,b2,b3,bn外解析，在闭区域B上除b1,b2,b3,bn外连续，则留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和.无限远点的留数定理：设函数f(z)在无限远点的邻域解析，在围绕无限远点的回路l之外的区域上没有有限远奇点，则留数的计算留数的计算: 1.在以奇点为圆心的圆环域上将函数展开为洛朗级数，取负一次幂项系数即可； 2.直接求解留数.一、求解单极点的留数单极点的函数洛朗展开：zz0取极限！000留数的计算000zz0取极限！

3、（）可以看成函数(z-z0)mf(z)的泰勒展开，则(m-1)项泰勒级数的系数a-1即为f(z)在z0点的留数Res f(z0),有()例2.确定函数f(z)=1/sin z的极点，求出函数在这些极点的留数.留数定理z0=n,单极点! 留数为(-1)n.例3.确定函数f(z)=(z+2i)/(z5+4z3)的极点，求出函数在这些极点的留数.留数定理z0=2i,单极点; z0=0,三阶极点.2.单极点 在单位圆外，故不必考虑；例4.计算沿单位圆IzI=1的回路积分.留数定理1.被积函数f(z)=1/z2+2z+的两个单极点分别为，3.单极点 在单位圆内，故计算其留数；留数定理例5.求下列函数对应

4、点的留数.留数定理2-i/4i/4第四章 留数定理4.1 留数定理4.2 应用留数定理计算实变函数定积分*4.3 计算定积分的补充例题问题引入Damped System behaviors:1. Critical damping (=1)2.Over-damping (1)3.Under-damping (0 1,舍去，不考虑;z0=1,在圆内，求留数.应用留数定理计算实变函数定积分例2.计算 3.根据留数定理，求回路积分，应用留数定理计算实变函数定积分例3.计算下列积分值.应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算实变函数定积分类型二 条件：复变函数f(z)在实轴上没有奇点，在上半平面除

5、有限个奇点外是解析的；当z在上半平面及实轴上时，zf(z)一致地0. 当R1=R2时的极限值，称之为原反常积分的主值，记为应用留数定理计算实变函数定积分 1.考虑如右图所示半圆回路l，根据柯西定理，有(第二种求解方法) 2.再根据留数定理，有 3.令R,求上式的极限值，有应用留数定理计算实变函数定积分0例4.计算解: (1) f(z)的奇点是否在实轴上？z=i，上半平面！z=-i，下半平面！ (2) z, zf(z)0 ?应用留数定理计算实变函数定积分例4.计算 (3) f(z)在上半平面奇点的留数应用留数定理计算实变函数定积分例5.计算 ，(n为正整数)解:z=i，上半平面n阶极点！z=-i

6、，下半平面n阶极点！应用留数定理计算实变函数定积分例5.计算 ，(n为正整数)解:应用留数定理计算实变函数定积分例5.计算 ，(n为正整数)解:应用留数定理计算实变函数定积分例6.计算 ，(n为正整数)解: 积分区间不满足类型二的条件，但是被积函数f(z)=1/(1+x2)n为偶函数，故有，应用留数定理计算实变函数定积分例7.计算下列积分值.应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算实变函数定积分类型三 条件：F(x)和G(x)分别为偶函数和奇函数，且在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z在上半平面及实轴上时，F(z)及G(z)一致地0.1.对所求积分进行形式变换，应用留

7、数定理计算实变函数定积分2.对第二项积分作积分变量代换,x-y,有3.将第二项的积分变量再改为x,4.同理有，应用留数定理计算实变函数定积分约当引理 如m为正数，CR是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z在上半平面及实轴上时，F(z)一致地0，则证明:应用留数定理计算实变函数定积分(1).注意到条件：当z在上半平面或实轴上时，F(z)一致地0，有，(2).证明右端积分有界即可=(3).在0/2范围内,02/sin ,有(4).当R,上式有限值，这就证明了约当引理！应用留数定理计算实变函数定积分5.类似于类型二，有如下结论：例8.计算解: 被积函数 的两个单极点分别为ia,则在上半平面的

8、单极点ia的留数为，应用留数定理计算实变函数定积分例9.计算解: 被积函数 的两个二阶极点分别为ia,则在上半平面的二阶极点ia的留数为，应用留数定理计算实变函数定积分例10.计算下列积分应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算实变函数定积分类型四 条件：f(x)在实轴上有单极点z=a， 除此之外，f(z)满足类型二或类型三的条件。取极限：R,00?应用留数定理计算实变函数定积分1.将f(z)在z=a的邻域展为洛朗级数，并注意到z=a是f(z)的单极点，有2.P(z-a)为级数的解析部分，在积分路径上连续有界，3.应用留数定理计算实变函数定积分 实轴上有多个单极点，则注意：1.C不是闭合曲线，解析部分的积分是由于0才趋于零；2.实轴上的奇点只能是单极点，不能是二阶或以上的极点，更不能是本性奇点，否则积分值为趋于无穷大或不存在。例11.计算应用留数定理计算实变函数定积分