大学电工电子应用技术第2章

1、第二章 正弦交流电路第一节 正弦量的参数和相量表示法第二节 电阻元件的交流电路第三节 电感元件的交流电路第四节 电容元件的交流电路第五节 简单交流电路的分析第六节 三相交流电路的分析返回主目录第一节 正弦量的参数和相量表示法 在正弦交流电路中，由于电流或电压的大小和方向都随时间按正弦规律发生变化，因此，在所标参考方向下的值也在正负交替。图2-1a所示电路，交流电路的参考方向已经标出，其电流波形如图2-1b所示。 图2-1一、正弦量的三要素 1.振幅值（最大值）正弦量在任一时刻的值称为瞬时值，用小写字母表示，如 、 , 分别表示电流及电压的瞬时值。正弦量瞬时值中的最大值称为振幅值也叫最大值或峰值

2、，用大写字母加下标m表示，如Im、Um , 分别表示电流、电压的振幅值。图2-2所示波形分别表示两个振幅不同的正弦交流电压。图2-22.角频率 角频率是描述正弦量变化快慢的物理量。正弦量在单位时间内所经历的电角度，称为角频率，用字母表示，即 式中， 的单位为弧度/秒（ ） 正弦量完成一次周期性变化所需要的时间，称为正弦量的周期，用T表示，其单位是秒（S）。 正弦量在1秒钟内完成周期性变化的次数，称为正弦量的频率，用f 表示。其单位是赫兹，（HZ）。（2-1）根据定义，周期和频率的关系应互为倒数，即3.初相 在正弦量的解析式中，角度（ ）称为正弦量的相位角，简称相位，它是一个随时间变化的量，不仅

3、确定正弦量的瞬时值的大小和方向，而且还能描述正弦量变化的趋势。 初相是指t =0时的相位,用符号表示。正弦量的初相确定了正弦量在计时起点的瞬时值。计时起点不同，正弦量的初相不同，因此初相与计时起点的选择有关。我们规定初相|不超过弧度，即-。图2-3所示是不同初相时的几种正弦电流的波形图。图2-3 在选定参考方向下，已知正弦量的解析 式为 。试求正弦量的振幅、频率、周期、角频率和初相。例2-1解 已知一正弦电压 ，频率为工频 ，试求 时的瞬时值。 当 时，角频率 当时， 由于例2-2解二、相位差两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用 表示。例如则两个正弦量的相位差为： 上式表明，同频率正弦量

4、的相位差等于它们的初相之差，不随时间改变，是个常量，与计时起点的选择无关。如图2-4所示，相位差就是相邻两个零点（或正峰值）之间所间隔的电角度。规定其绝对值不超过 图2-4当 即两个同频率正弦量的相位差为 ，称这两个正弦量反相，波形如图2-5b所示。 当 即两个同频率正弦量的相位差为零，这两个正弦量为同相，波形如图2-5a所示。当图2-5 两个同频率正弦交流电流的波形如图2-6所示，试写出它们的解析式，并计算二者之间的相位差 解析式 相位差比 超前 ，或 滞后 。图2-6例2-3解三、有效值 把一个交流电i与直流电I 分别通过两个相同的电阻，如果在相同的时间内产生的热量相等，则这个直流电I 的

5、数值就叫做交流电i 的有效值。直流电流通过电阻在交流一个周期的时间内所产生的热量为 交流电流通过电阻，在一个周期内所产生的热量为 热量相等，所以 若交流电流为正弦交流 则 这表明振幅为1A的正弦电流，在能量转换方面与0.707A的直流电流的实际效果相同。同理，正弦电压的有效值为 人们常说的交流电压220V，380V指的就是有效值。 有一电容器，耐压为250V，问能否接在民用电电压为220V的电源上。 因为民用电是正弦交流电，电压的最大值这个电压超过了电容器的耐压，可能击穿电容器，所以不能接在220V的电源上。例2-4解四、正弦量的相量表示法一个正弦量可以表示为根据此正弦量的三要素，可以作一个复

6、数让它的模为 ，幅角为 ，即 上式j= , 为虚单位，这一复数的虚部为一正弦时间函数，正好是已知的正弦量，所以一个正弦量给定后，总可以作出一个复数使其虚部等于这个正弦量。因此我们就可以用一个复数表示一个正弦量，其意义在于把正弦量之间的三角函数运算变成了复数的运算，使正弦交流电路的计算问题简化。 由于正弦交流电路中的电压，电流都是同频率的正弦量，故角频率这一共同拥有的要素在分析计算过程中可以略去，只在结果中补上即可。这样在分析计算过程中，只需考虑最大值和初相两个要素，故表示正弦量的复数可简化成上式为正弦量的极坐标式，我们就把这一复数称为相量，以“ ”表示，并习惯上把最大值换成有效值，即（2-5）

7、 在表示相量的大写字母上打点“ ”是为了与一般的复数相区别，这就是正弦量的相量表示法。 需要强调的是，相量只表示正弦量，并不等于正弦量；只有同频率的正弦量其相量才能相互运算，才能画在同一个复平面上。画在同一个复平面上表示相量的图称为相量图。 对应关系不相等！相量与正弦量的关系 已知正弦电压、电流为 ， 写出 和 对应的相量，并画出相量图。 的相量为 的相量为相量图如图2-7所示。图2-7例2-5解 写出下列相量对应的正弦量。 （1） （2） （1）（2）解例2-6 已知 试用相量计算 ，并画相量图。 正弦量 和 对应的相量分别为它们的相量和为对应的解析式 为相量图如图2-8所示。 例2-7解图

8、2-8 如图2-9为一个电阻元件的交流电路，在关联参考方向下，根据欧姆定律，电压和电流的关系为若 则得或两正弦量对应的相量为第二节 电阻元件的交流电路图2-9一、电阻元件上电压和电流的相量关系两相量的关系为即此式就是电阻元件上电压与电流的相量关系式。（2-6） 由复数知识可知，式（2-6）包含着电压与电流的有效值关系和相位关系，即 通过以上分析可知，在电阻元件的交流电路中1）电压与电流是两个同频率的正弦量。2）电压与电流的有效值关系为。3）在关联参考方向下，电阻上的电压与电流同相位图2-10a、b所示分别是电阻元件上电压与电流的波形图和相量图。图2-10二、电阻元件上的功率 在交流电路中，电压

9、与电流瞬时值的乘积叫做瞬时功率，用小写的字母 表示，在关联参考方向下 从式中可以看出 0，表明电阻元件总是消耗能量，是一个耗能元件。电阻元件上瞬时功率随时间变化的波形如图2-11所示。 正弦交流电路中电阻元件的瞬时功率图2-11通常所说的功率并不是瞬时功率，而是瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，简称功率，用大写字母 表示 ，则正弦交流电路中电阻元件的平均功率为即（2-8） 上式与直流电路功率的计算公式在形式上完全一样，但这里的U和I是有效值， 是平均功率。例2-8 一电阻（2）电阻消耗的功率（3）作相量图 一电阻 ，两端电压 求:（1） 通过电阻的电流 和所以 （1）电压相量 ，则

10、（2）或（3）相量图如图2-12所示例2-8解图2-12 额定电压为100V，功率分别为100W和40W的电烙铁，其电阻各是多少欧姆？ 100W电烙铁的电阻40W电烙铁的电阻 可见，电压一定时，功率越大电阻越小，功率越小电阻越大 。解例2-9第三节 电感元件的交流电路 电感元件即电感器一般是由骨架、绕组、铁心和屏蔽罩等组成。它是一种能够储存磁场能量的元件，其在电路中的图形符号如图2-13所示。一、电感元件图2-13 电感元件的电感量简称电感。电感的符号是大写字母L。其单位为亨利（简称亨），用符号H表示。实际应用中常用毫亨（mH）和微亨（H）等。 二、电压与电流的相量关系 设电流 ,由上式得式中

11、， 两正弦量对应的相量分别为 图2-14所示电路是一个纯电感的交流电路，选择电压与电流为关联参考方向，则电压与电流的关系为图2-14两相量的关系：即 （2-9） 上式就是电感元件上电压与电流的相量关系式。 由复数知识可知，它包含着电压与电流的有效值关系和相位关系，即通过以上分析可知，在电感元件的交流电路中：1）电压与电流是两个同频率的正弦量。2）电压与电流的有效值关系为 。3）在关联参考方向下，电压的相位上超前电流 图2-15a、b分别为电感元件上电压、电流的波形图和相量图图2-15 把有效值关系式 与欧姆定律 相比较，可以看出， 具有电阻 的单位欧姆，也同样具有阻碍电流的物理特性，故称 为感

12、抗。 （2-10） 当电感两端的电压 及电感 一定时，通过的电流 及感抗 随频率 变化的关系曲线如图2-16所示。 图2-16三、电感元件的功率 在电压与电流参考方向一致时，电感元件的瞬时功率为 上式说明，电感元件的瞬时功率也是随时间变化的正弦函数，其频率为电源频率的两倍，振幅为 ,波形图如图2-17所示 图2-17电感元件的平均功率为 上式表明：电感是储能元件,它在吸收和释放能量的过程中并不消耗能量。 为了描述电感于外电路之间能量交换的规模,引入瞬时功率的最大值,并称之为无功功率,用 表示,即 （2-11） 也具有功率的单位,但为了和有功功率区别,把无功功率的单位定义为乏（ ）应该注意: 无

13、功功率 反映了电感与外电路之间能量交换的规模,“无功”不能理解为“无用”,这里“无功”二字的实际含义是交换而不消耗.以后学习变压器,电动机的工作原理时就会知道,没有无功功率,它们无法工作。 在电压为220V，频率为50Hz的电源上，接入电感 的线圈（电阻不计），试求：1）线圈的感抗 。2）线圈中的电流 。3）线圈的无功功率 。4）若线圈接在 的信号源上，感抗为多少？ (1) (2) (3) (4) 例2-10 解 的电感元件，在关联参考方向下，设通过的电流 ，两端的电压 ，求感抗及电源频率。 根据有效值关系式可得感抗电源频率例2-11 解第四节 电容元件的交流电路一、电容元件 电容元件即电容器

14、是由两个导体中间隔以介质（绝缘物质）组成。此导体称为电容器的极板。电容器加上电源后，极板上分别聚集起等量异号的电荷。带正电荷的极板称为正极板，带负电荷的极板称为负极板。此时在介质中建立了电场，并储存了电场能量。当电源断开后，电荷在一段时间内仍聚集在极板上。所以，电容器是一种能够储存电场能量的元件。电容元件在电路中的图形符号如图2-18所示。 图2-18二、电压与电流的相量关系 图2-19所示为一个纯电容的交流电路，选择电压与电流为关联参考方向，设电容元件两端电压为正弦电压则电路中的电流，根据公式 得式中，即图2-19上述两正弦量对应的相量分别为上式就是电容元件上电压与电流的相量关系式。它们的关

15、系为即（2-12） 由复数知识可知，它包含着电压与电流的有效值关系和相位关系，即通过以上分析可以得出，在电容元件的交流电路中 1）电压与电流是两个同频率的正弦量。2）电压与电流的有效值关系为 。3）在关联参考方向下，电压滞后电流 图2-20 a、b所示分别为电容元件两端电压与电流的波形图和相量图。图2-20 由有效值关系式可知， 具有同电阻一样的单位欧姆，也具有阻碍电流通过的物理特性，故称 为容抗。 （2-13）容抗 与电容 、频率 成反比。当电容一定时，频率越高，容抗越小。因此，电容对高频电流的阻碍作用小，对低频电流的阻碍作用大，而对直流，由于频率 ，故容抗为无穷大，相当于开路，即电容元件有

16、隔直作用。三、电容元件的功率 在关联参考方向下，电容元件的瞬时功率为 由上式可见，电容元件的瞬时功率也是随时间变化的正弦函数，其频率为电源频率的2倍，图2-21所示是电容元件瞬时功率的变化曲线。电容元件在一周期内的平均功率 平均功率为零，说明电容元件不消耗能量，只与电源进行能量的相互转换。这种能量转换的大小用瞬时功率的最大值来衡量，称为无功功率，用 表示，即 式中， 的单位为乏 图2-21图2-22 有一电容 ，接在 的电源上。试求： (1)电容的容抗。 (2)电流的有效值。 (3)电流的瞬时值。 (4)电路的有功功率及无功功率。 (5)电压与电流的相量图。 (1) 容抗 （2）电流的有效值

17、（3）电流的瞬时值 电流超前电压 ，即则（4）电路的有功功率 无功功率 （5）相量图如图2-22所示。例2-12 解 在关联参考方向下，已知电容两端的电压 ，通过的电流 ，电源的频率 ，求电容 。 由相量关系式可知所以则例2-13 解第五节 简单交流电路的分析一、相量形式的基尔霍夫定律 基尔霍夫定律是电路的基本定律，不仅适用于直流电路，而且适用于交流电路。在正弦交流电路中，所有电压、电流都是同频率的正弦量，它们的瞬时值和对应的相量都遵守基尔霍夫定律。 1基尔霍夫电流定律 瞬时值形式 （2-15）相量形式（2-16）2基尔霍夫电压定律瞬时值形式 （2-17）相量形式 （2-18） 图2-23所示

18、电路中，已知电流表A1、A2的读数均是5A,试求电路中电流表A的读数。 设两端电压 a图中电压、电流为关联参考方向，电阻上的电流与电压同相，故电感上的电流滞后电压 ，故根据相量形式的KCL 得即电流表A的读数为7.07A。b图中电流与电压为关联参考方向，电容上的电流超前电压，故 电感上的电流滞后电压 ，故根据相量形式的KCL 得即电流表A的读数为0。例2-14 解图2-23图2-24 图2-24所示电路中，已知电压表V1、V2的读数均为100V，试求电路中电压表V的读数。 设图2-24a：根据相量形式的KVL电压表的读数为141.4V。 图2-24b：根据相量形式的KVL电压表的读数为0。例2

19、-15 解二、串联电路的分析 1电压与电流的相量关系 在图2-25所示电路中，设电流 ，对应的相量为 则电阻上的电压电感上的电压 电容上的电压根据相量形式的KVL即（2-19）式中， 称为电抗（），它反映了电感和电容共同对电流的阻碍作用。X可正、可负； 称为复阻抗（）。图2-25图2-26图2-27复阻抗是关联参考方向下，电压相量与电流相量之比。但是复阻抗不是正弦量，因此，只用大写字母Z表示，而不加黑点。Z的实部R为电路的电阻，虚部X为电路的电抗。复阻抗也可以表示成极坐标形式。其中（2-20）|Z|是复阻抗的模，称为阻抗，它反映了 串联电路对正弦电流的阻碍作用，阻抗的大小只与元件的参数和电源频

20、率有关，而与电压、电流无关。 是复阻抗的幅角，称为阻抗角。它也是关联参考方向下电路的端电压 超前电流 的相位差。 即 式中，2电路的三种情况 （1）感性电路当XLXC时，ULUC。以电流 为参考相量，分别画出与电流同相的 ，超前电流 的 ，滞后于电流 的 ，然后合并 和 为 ，再合并 和 即得到总电压 。相量图如图2-26 a所示。从相量图中可以看出，电压 超前电流 的角度为 ， 0，电路呈感性，称为感性电路。（2）容性电路当XLXC时，ULUC，如前所述作相量图如图2-26b所示。由图可见，电流 超前电压 ， ，电路呈容性，称为容性电路。（3）阻性电路（谐振电路）当XL=XC ，UL=UC，

21、相量图如图2-26c所示，电压 与电流 同相， 。电路呈电阻性。我们把电路的这种特殊状态，称为谐振。 由图2-26可以看出，电感电压 和电容电压 的相量和 与电阻电压 以及总电压 构成一个直角三角形，称为电压三角形。由电压三角形可以看出，总电压的有效值与各元件电压的有效值的关系是相量和而不是代数和。这正体现了正弦交流电路的特点。把电压三角形三条边的电压有效值同时除以电流的有效值 ，就得到一个和电压三角形相似的三角形，它的三条边分别是电阻R、电抗X和阻抗|Z|，所以称它为阻抗三角形，如图2-27所示。由于阻抗三角形三条边代表的不是正弦量，所画的三条边是线段而不是相量。关于阻抗的一些公式都可以由阻

22、抗三角形得出，它可以帮助我们记忆公式。 在R-L串联电路中，已知 ， 外加电压 ，求电路的电流 、电阻的电压 和电感的电压 ，并画相量图。电路的复阻抗相量图如图2-28所示。例2-16 解图2-28图2-29 在电子技术中，常利用RC串联作移相电路，如图2-29a所示。已知输入电压频率 。需输出电压 在相位上滞后输入电压 为 ，求电阻 。 设以电流 为参考相量，作相量图，如图2-29b所示。已知输出电压 （即 ）滞后于输入电压 为 ，则电压 与电流 的相位差 。即 时，输出电压就滞后于输入电压 。 而所以例2-17 解 RL串联电路和RC串联电路均视可为RLC串联电路的特例。在RLC串联电路中

23、当 时， ，即RL串联电路。当 时， ，即RC串联电路。由此推广，R、L、C单一元件也可看成RLC串联电路的特例。这表明，RLC串联电路中的公式对单一元件也同样适用。 在RLC串联电路中，已知 ， ， 。电源电压 。求此电路的电流和各元件电压的相量，并画出相量图。 电路的复阻抗电流相量各元件的电压相量相量如图2-30所示。例2-18 解图2-30图2-313功率在RLC串联电路中，既有耗能元件，又有储能元件，所以电路既有有功功率又有无功功率。电路中只有电阻元件消耗能量，所以电路的有功功率就是电阻上消耗的功率由电压三角形可知所有上式为RLC串联电路的有功功率公式，它也适用于其它形式的正弦交流电路

24、，具有普遍意义。 电路中的储能元件不消耗能量，但与外界进行着周期性的能量交换。由于相位的差异，电感吸收能量时，电容释放能量，电感释放能量时，电容吸收能量，电感和电容的无功功率具有互补性。所以，RLC串联电路和电源进行能量交换的最大值就是电感和电容无功功率的差值，即RLC串联电路的无功功率为由电压三角形可知所以（2-22）上式为RLC串联电路的无功功率计算公式。它也适用于其它形式的正弦交流电路。我们把电路的总电压有效值和总电流有效值的乘积，称为电路的视在功率，用符号 表示，它的单位是伏安(VA)，在电力系统中常用千伏安(kVA)（2-23）视在功率表示电源提供的总功率，也用视在功率表示交流设备的

25、容量。通常所说变压器的容量，就是指视在功率。将电压三角形的三条边同时乘以电流有效值I，又能得到一个与电压三角形相似的三角形。它的三条边分别表示电路的有功功率P、无功功率Q和视在功率S，这个三角形就是功率三角形，如图2-31所示。P与S的夹角 称为功率因数角。至此， 角有三个含义，即电压超前电流的相位差、阻抗角和功率因数角，三角合一。由功率三角形可知（2-24）（2-25）为了表示电源功率被利用的程度，我们把有功功率与视在功率的比值称为功率因数，用 表示，即（2-26）对于同一个电路，电压三角形、阻抗三角形和功率三角形都相似，所以从上式可以看出，功率因数取决于电路元件的参数和电源的频率。关于功率

26、的有关公式虽然是由RLC串联电路得出的，但也适用于一般正弦交流电路，具有普遍意义。 图2-32 所示电路中，已知电源频率为50Hz，电压表读数为100V，电流表读数为1A，功率表读数为40W，求 R 和 L 的大小 电路的功率就是电阻消耗的功率，由 得 电路的阻抗由于 所以感抗则电感例2-19解图2-32 RC串联电路接到 的电源上，电流 ，求R、C和P。 复阻抗由 可知 ：又所以功率或例2-20解 RLC串联电路，接在 的电源上，已知 ， ， ，求电流 、有功功率、无功功率、视在功率。 电流相量电流解析式有功功率无功功率视在功率例2-21解三、感性负载与电容器的并联 为了提高感性负载的功率因

27、数，常采用在感性负载两端并联适当的电容器的方法，这种方法不会改变负载原有的工作状态，但可利用电容和电感之间无功功率的互补性，减少电源与负载间交换的无功功率，从而提高电路的功率因数。 图2-33感性负载和电容器后电路如图2-33a所示，图2-33b是其相量图。由图2-33b知又因代入上式可得即（2-27）并联电容器前后电路消耗的有功功率是相等的，所以并联电容器前并联电容器后 图2-33 a所示电路中，有一感性负载的功率P=10kW，功率因数为0.65，电源电压为380V，频率为50Hz。若把功率因数提高到0.9，试求所需并联电容器的容量以及并联电容前后电路的总电流。 根据已知条件所需并联电容的容

28、量并联电容前，电路的总电流并联电容后，电路的总电流例2-22解 第六节 三相交流电路的分析一、对称三相正弦量 对称三相正弦电压是由三相发电机产生的，它们的频率相同、振幅相等、相位彼此相差 ，我们把这样一组正弦电压称为对称三相正弦电压。图3-34三相分别称为U相、V相和W相，三相电源的始端（也叫相头）分别标以U1、V1、W1，末端（也叫相尾）分别标以U2、V2、W2，如图2-34所示对称三相电压解析式为 (2-28)相量表示为 (2-29)对称三相电压波形图与相量图分别如图2-35a、b所示 对称三相正弦电压瞬时值之和恒为零，这是对称三相正弦电压的特点，也适用于其它对称三相正弦量。从图2-35的

29、波形图或通过计算均可得出上述结论。即解析式之和为零，即从相量图上可以看出，对称三相正弦电压的相量和为零，即 对称三相正弦电压的频率相同，振幅相等，其区别是相位不同。相位不同，表明各相电压到达零值或正峰值的时间不同，这种先后次序称为相序。 图3-35二、三相电源的联结1 三相电源的星形联结 如图2-36所示，把三相电源的负极性端即末端接在一起成为一个公共点，叫做中性点，用N表示，由始端U1、V1、W1引出三根线作为输电线，这种联接方式称为星形联接。 由始端U1、V1、W1引出的三根线叫作端线。从中性点引出的线叫作中性线。也称零线。 端线与中性线之间的电压称为相电压，用符号 、 、 表示，即每相电源的电压；端线之间的电压即 、 、 ，称为线电压 图2-36根据基尔霍夫定律可得用相量表示设对称三相电源每相电压的有效值用 表示，线电压的有效值用 表示。如果以 作为参考相量，即则根据对称性有：将这组对称相量代入上面关系式得 (2-30)相电压和线电压的相量图如图2-37所示 从图中可见，线电压