勾股定理的九种证明方法

1、勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）1A1A血/7%A/左边的正方形是由1个边长为左的正方形和1个边长为的正方形以及4个直 角边分别为，斜边为亡的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为 朴的正方形和4个直角边分别为出、禺，斜边为朴的直角三角形拼成的。因为这两 个正方形的面积相等（边长都是+3）,所以可以列出等式a2 -b2 + 4x =+0、，化简得二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）a这个直角梯形是由2个直角边分别为吃、鸟，斜边为亡的直角三角形和1个直 角边为Q的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所-2x-ab =以可以列出等式三、

2、相似三角形的证法：4相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角 A形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。如图，RtAABC中，ZACB=90。作CD丄AB,垂足为D。贝VBCDsBAC,ACADsABAC。由厶BCDsBAC 可得 BC2=BD X BA,由厶CADsBAC 可得 AC2=AD X AB。我们发现，把、两式相加可得BC2+AC2=AB（AD+BD），而 AD+BD=AB，因此有BC2+AC2=AB2，这就是a2+b2=c2。这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。四、古人的证法:如图，将图中的四个直

3、角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，以弦 为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定 了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除 之，即弦也”。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较 为简明、直观。五、项明达证法：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、 b（ba），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、 A、 C 三点在一条直线上.过点Q作QPBC,交AC于点P.过点B作BM丄PQ,垂足为M；再过点F作FN丄PQ,垂足为N./ ZBCA = 90, QPBC,

4、 ZMPC = 90,/ BM 丄 PQ, ZBMP = 90,BCPMBCPM是一个矩形，即ZMBC = 90.ZABC + ZMBA = ZMBC = 90, ZQBM = ZABC,又 ZBMP = 90,ZBCA = 90, BQ = BA = c, RtABMQ 竺 RtABCA.同理可证 RtAQNF 竺 RtAAEF.即 aA2+bA2=cA2六、欧几里德射影定理证法:如图，RtABC中，ZABC=90。，AD是斜边BC上的高，通过证明三角 形相似则有射影定理如下：1) (BD) a2；=ADDC,(2) (AB) a2；=ADAC ,(3) (BC) a2；=CDAC 。由公式

5、(2) + (3)得：(AB) a2；+ (BC) a2；=ADAC+CDAC = (AD+CD)AC= (AC)人2；,即 (AB) a2；+ (BC) a2；= (AC)人2七、杨作玫证法:七、杨作玫证法:做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b (ba),斜 边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作 AF丄AC, AF交GT于F, AF交DT于R过B作BP丄AF，垂足为P.过D作 DE与CB的延长线垂直，垂足为E, DE交AF于H./ ZBAD = 90,ZPAC = 90, ZDAH = ZBAC.又 ZDHA = 90,ZBCA = 90

6、, AD = AB = c, Rt A DHA 竺 Rt A BCA DH = BC = a, AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一个矩形, 所以Rt A APB 竺 Rt A BCA即PB = CA = b, AP= a,从而 PH = b a./ Rt A DGT 竺 Rt A BCA ,Rt A DHA 竺 Rt A BCA. Rt A DGT 竺 Rt A DHA DH = DG = a,ZGDT = ZHDA 丈:ZDGT = 90,ZDHF = 90,ZGDH = ZGDT + ZTDH = ZHDA+ ZTDH = 90, DGFH 是一个边长为 a 的正方形 GF

7、= FH = a TF丄 AF, TF = GTGF = b a TFPB是一个直角梯形，上底TF=b a,下底BP= b,咼FP=a + (b a)用数字表示面积的编号(如图),则以 c 为边长的正方形的面积为c 2 = S + S + S + S + S12345S+S+ S = lb + (b - a ) la + (b - a )1b 2 - ab:8342=2S=S+S，589，S+S1=b2 ab S3 428= b 2 - S - S= 1 8把代入，得c2=S + S + b 2 - S - S + S + S121889b 2 + S + S =29八、陈杰证法：设直角三角形

8、两直角边的长分别为a、b （ba）,斜边的长为c做两个边长一条直线上 用数字表示面积的编号（如图） 在EH = b上截取ED = a,连结DA、DC, 则 AD = cbFa3a一条直线上 用数字表示面积的编号（如图） 在EH = b上截取ED = a,连结DA、DC, 则 AD = cbFa3a174 cc52 G又:Z CMD = 90，CM = a，Z AED = 90， AE = b，: EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EM又:Z CMD = 90，CM = a，Z AED = 90， AE = b， Rt A AED 竺 RtADMC. Z E

9、AD = Z MDC，DC = AD = c: Z ADE + Z ADC+ Z MDC =180，Z ADE + Z MDC = Z ADE + Z EAD = 90， ZADC = 90作ABDC, CBDA，贝V ABCD是一个边长为c的正方形.: Z BAF + Z FAD = Z DAE + Z FAD = 90， Z BAF=Z DAE连结 FB,在 A ABF 和 A ADE 中,: AB =AD = c，AE = AF = b，ZBAF=ZDAE， A ABF 竺 A ADE, ZAFB = ZAED = 90, BF = DE = a.点B、F、G、H在一条直线上.在 Rt

10、A ABF 和 Rt A BCG 中，/ AB = BC = c, BF = CG = a, Rt A ABF 竺 Rt A BCGa 2 二 S + S37 c 2 二 S + S + S + Sb 2 a 2 二 S + S372 3 4 5 1 2 6S 二 S 二 S 二 S + S1 5 4 6 7 a 2 + b 2 二 S + S + S + S + S37126=S + S + S +（S + S ）2 3 1 6 7=S + S + S + S2345=c2a 2 + b 2 = c 2.DAD辛卜松证法：aab=c2a 2 + b 2 = c 2.DAD辛卜松证法：aabba Caba 2ababaa设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正 方形ABCD.把