利用能量法求解变截面压杆的临界压力

1、班级：力学（1）班姓名：喻光安学号：1203040122指导教师：黄志强摘要目前计算变截面压杆的临界压力通常采用以下四种方法：最小截 面的等截面法、静力分析法、能量法、有限单元法。本文主要采 用能量法，根据结构的受力条件计算杆件的应变能增量和外力做 的功，当二者相等时，即建立了杆件临界状态下的方程，由此解 出的外力即为临界压力值。该方法简洁明了，在解决此类问题中 可以广泛使用。关键词：能量法；变截面压杆；临界压力；正文：（一）、理论分析能量法变截面压杆由直线状态变为微弯曲状态，并使压杆的作用点 向下产生了位移，这样压杆的应变能将有一个增量 U,而外力势 能的增量AV则等于外力做功AW,但符号相

2、反。于是，相对于直 线平衡位置，总势能的增量是AU-ZW。当总势能的增量为零 时，即AU-AW 0时，压杆的直线平衡是稳定的。当总势能 的增量小于零时，即AU-AW 0时，压杆的直线平衡是不稳 定的，从而得到从稳定平衡转变为不稳定平衡的临界条件 U AW=0,或U = AW (1)所以得到的临界条件是：在弹性体系对其平衡位置的微小偏移屮，体系的变形能增量与外力所做的功相等，根据这一条件即 可求出临界载荷，这种方法称为能量法。对于杆件的轴线由直线变为曲线后，力作用点竖向位移入应为:1 + (-)2dx dx ax将上式中的J1+ (芳尸展开为级数，并略去高阶微量得:卜十牆21+adx上式代入入中

3、得:入斗厂(薯)2仅而外力所做的功为：1+adxP AW =臥=三2 Ja变截面压杆因弯曲而增加的变形能为：AU = WijgjdV,对于压杆一维问题，取应变能增量：严 M2(x)AU =Ja 2EI(x)将M(x) = E/(x)y代入上式得：1=號+乜心).(/)2必,将(、AW代入式(1),可得临界载荷：_广乜心)3)2必cr、实例求解下面将利用能量法求解一端餃支，沿杆轴线阶梯型变化的压 杆的临界压力，如下图所示：取挠度曲线的方程为w(x) = Asinfx),其中A为不定常数, Lj称为屈曲模态幅值。对于整个杆件任意横截面的弯矩为：71M(x) = P w(x) = PAsin()xj

4、L/由公式:AUCAUCL M2(x) =Jo可得该阶梯杆件的变形能增量:丿0外力所做的功AW为:fL丿0外力所做的功AW为:fL-iM2(x)AU = /o W +L-L1P2A2 sin2 -k+丿M2(x)2EI/ P2A2 sin2 y Llx 2EI 由公式 U AW = 0可得:S P2A2 sin2Jo2EZT7TXdx +S P2A2 sin2Jo2EZT7TXdx +P2A2 sin22 Eh7TXPA27T21aT7TXT)dx41解上式方程可求得临界载荷:_2Eh?2 兀 3厶2 sin （；“）一 人厶2 sin 竺牛判 + 2nlL2 一 2兀厶厶厶【+ 2nl2厶厶i 若令上式中的h =【2 （s =扌厶），此时该阶梯杆件即变成了等截面杆件，可化简上式得到该杆件的临界压力为：n2EIPcr =i7即总所周知的等截面杆的临界压力，从而表明了本文计算的正确性。（三）、结论利用能量法，可以对各种约束条件下的变截面杆进行临界压力的 求解。计算过程简单明了，可以在工程中得到广泛的应用，但读 者也可以看到，此种方法会遇到复杂的积分运算，即使杆件不等 截面的段数较少，计算的工作量仍较大，建议釆用该方法时配合 MATLAB等相关计算软件辅助运算。参考文献：徐芝纶弹性力学.4版.北京：高等教育出版社，2006.同济大学数学系.高等数学.6