微积分理论在不等式证明中的应用

1、微积分理论在不等式证明中的应用微积分理论在不等式证明中的应用1.引言论文联盟.Ll.不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系。在高等数学中，不等式是证明许多定理与公式的工具。不等式表达了许多微积分问题的结果，而微积分的一些定理和公式又可以导出许多不等式。不等式的求解证明方法很多，本文用微积分的一些定理及性质来说明不等式证明的几种方法与技巧，以便更好地理解各局部内容之间的内在联络，从整体上更好的把握证明不等式的思想方法。2.微积分在证明不等式中的应用2.1用导数的定义证明不等式从导数、微分、积分定义出发处理不等式，是容易被忽略的，但这种最原始的方法有时又是

2、一种非常有效的证明方法。导数定义：设函数在点的某个邻域内有定义，假设极限存在，那么称函数在可导，称这极限为函数在点的导数，记作。证明方法：(1)找出，使得恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合条件去研究。适用范围：用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以到达化繁为简的目的。2.2利用函数的单调性证明不等式函数单调性本身就是不等式，此方法的关键是把要证明的不等式归结为某函数，通过对所设辅助函数求导，借助导数符号来判断函数的单调性，从而解决问题。定理：假设函数在可导，那么在内递增

3、递减的充要条件是：.定理：设函数在连续，在内可导，假如在内或，那么在上严格单调增加或严格单调减少.定理：设函数在内可导，假设或，那么在内严格递增或严格递减.上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.证明方法：1构造辅助函数，取定闭区间；利用不等式两边之差构造辅助函数见例2；利用不等式两边一样形式的特征构造辅助函数见例3；假设所证的不等式涉及到幂指数函数，那么可通过适当的变形假设取对数将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数见例4。(2)研究在上的单调性，从而证明不等式。实用范围：利用函数单调性证明不等

4、式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处的值为0，然后通过在开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性。2.3利用Lagrange中值定理证明不等式应用Lagrange中值定理求解极限就是将极限当中符合条件的函数值增量处理为自变量增量与导数之积的形式再进展讨论，此时一定要注意：(1)应用Lagrange中值定理必须符合定理本身的条件，否那么可能使结论不成立；(2)在随后的极限的求解中一定要论证的变化趋势。拉格朗日中值定理：论文联盟.Ll.假设函数满足以下条件：1在闭区间上连续；2在开区间内可导，那么在内至少存在一点，使得。拉格朗日中值定

5、理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系。证明方法：辅助函数，并确定施用拉格朗日中值定理的区间；对在上施用拉格朗日中值定理；利用与的关系，对拉格朗日公式进展加强不等式。适用范围：当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明。2.4利用极值理论证明不等式证明方法根据极值的充分条件定理。定理：极值的第一充分条件设在连续，在内可导，i假设当时，,当时，,那么在获得极大值；(ii)假设当时，,当时，,那么在获得极小值。定理极值的第二充分条件设在的某领域内一阶可导，在处二阶可导，且，,(i)假设，那么在获得极大值；(ii)假设，那么在获得极小值

6、。极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑。假设函数在一个区间的内部获得最值，那么此最值也是极值。极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系。证明方法1构造辅助函数，并取定区间。当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；当不等式两边含有一样的形式时，可利用此形式构造辅助函数；当不等式形如或为常数时，可设为辅助函数。(2)求出在所设区间上的极值与最大、最小值.极值求法：1求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；2按极值充分条件断定可疑点是否为极值点.最大、最小值的求法：1闭区间上连续函数的

7、最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点处的函数值比拟，最大者为最大值，最小者为最小值.2开区间内可导函数的最大值、最小值的求法：假设在内可导，且有唯一的极值点，那么此极值点即为最大值点或最小值点。适用范围：1所设函数在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；2只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式。2.5利用凹凸性证明不等式证明方法根据凹凸函数定义及其定理和詹森不等式。定义：设为定义在区间I上的函数，假设对于I上任意两点和实数，总有,那么称为I上的凸函数，假设总有,那么称为I上的凹函数.定理：设为I上的二阶可导函数，那么为I上的凸函数或凹函数的充要条件是在I上。命题：詹森不等式假设在上为凸函数，对任意的且,那么.该命题可用数学归纳法证明。函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系。证明方法：定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数，并讨论在所给区间上的凹凸性.詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此类不等式.适用范围：当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且可以构造凸函数的不等式。3.总结微积分是人类智慧最伟大的成就之一，是数学上的伟大创造，它如今广泛影响着消费技术和科学的开展。如今，微积分已是广阔科学工作者以及技术