概率论与数理统计：Ch-5 随机变量序列的极限

1、第五章随机变量序列的极限本章要点一、大数定律二、中心极限定理1.依概率收敛的定义5.1 大数定律2.独立同分布情形下的大数定律 1.依概率收敛定义5.1 设 是随机变量序列, 如果存在一个常数 , 使得对任意一个 , 总有那么称序列 依概率收敛于 , 记作或等价地 考察频率的稳定性率为 在 重贝努利试验中, 设事件 发生了 次, 则 其中 那么事件 发生的频而且 频率稳定性的证明 在 重贝努利试验中, 事件 发生的次数于是其中进一步事件 发生的频率 是个随机变 量, 且由切比雪夫不等式知, 对任意的 , 有因此由收敛定义得: 2.独立同分布情形下的大数定律定理5.3 设 是独立同分布的随机变量

2、序列,并且则 也即 因为 , 所以上式也可写成若 , ,例1 设 是独立同分布的随机变量序列,问 依概率收敛于什么值?解 , 所以 依概率收敛 , 所以 依概率收敛于于例2 频率的稳定性: 在 次重复独立试验中, 设随机 变量事件 在第 次试验中发生事件 在第 次试验中不发生那么 次重复试验中 发生的频率为于是 可以表示为 频率的稳定性可以用下面的贝努利大数定律来表示:贝努利大数定律（定理5.4） 设 独立同分布, 且 , 则5.2 中心极限定理定理5.5 （独立同分布情形下的中心极限定理） 设独立同分布的随机变量序列 ,且则对任意的实数总有 进一步说明记 , 则记 , 则所以, 式即为或例3

3、 对某据点进行轰炸, 击中的炮弹数是一个随机变量, 已知 . 现在进行了100次轰炸, 问击中的炮弹总数在180发至220发之间的概率.解 记第 次轰炸某据点击中的炮弹数是则 独立同分布, 且于是 100次轰炸击中的炮弹总数在180发至220发之间的概率即为由中心极限定理, 例4 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他解 设第 段的测量误差为 所以累计误差为又 为独立同分布的随机变量, 由知分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从区间 上的均匀分布. 试求总距离测量误差的绝对值超过 厘米的概率. 由独立同分布的中心极限定理:故所求即为例5 设有30个电子元件 它们如

4、下使用: 当 损坏时立即使用 损坏时立即使用 ,依次类推. 用 表示第 个元件的寿命, 设 （单位: 小时）. 记 为30个元件使用的总计时间, 问 超过350小时的概率是多少?解 第 个电子元件的寿命 则 由中心极限定理30个电子元件使用的总计时间超过350小时的概率即为例6 某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的. 试求在任何时刻有10个或更多个终端在使用的概率.解 记 第 个终端在使用 否则 独立同分布, 且其中 又而 就是任何时刻同时被使用的终端数. 由中心 极限定理, 故所求概率即为推论: （德莫弗-拉普拉斯中心极限定理） 设 是独

5、立同分布随机变量序列,且都服从参数为 的0-1分布, 则对任意有 此即 一般地有下列公式 设 , 则当 充分大时, 例7 一本 万字的长篇小说进行排版, 假定每个字被排错的概率为 试求这本小说出版后发现有6个以且有上错字的概率. 假定每个字是否被排错是相互独立的.解 以 表示错字总数, 则由中心极限定理, 小说出版后发现有6个以上错别字的概率即为例8 现有一大批种子, 其中良种占 , 今从中任选6000粒. 试问在这些种子中良种所占的比例减去 后小于1%的概率是多少?解 记 为6000粒种子当中良种的个数, 则且由中心极限定理:所求概率即为例9 利用中心极限定理计算: 当掷一枚均匀的铜币时,需

6、投掷多少次才能保证使得正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%?解 设需要投掷 次, 并记 为这 次当中正面出现的次数, 则 且由中心极限定理 由题意而由中心极限定理故由解得 , 故取 部分作业解答5.5 已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为 的指数分布, 随机抽取 只, 试求这 只晶体管的寿命总和超过 的概率.解 以 表示第 只晶体管的寿命, 则此时所求概率为又由中心极限定理得所以原概率近似为试问, 最多可以把这台机床分解成多少个部件, 才能以5.6 为了测定一台机床的质量, 将其分解成若干个部件来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: ）服从区间 上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的, 不低于 的概率保证总重量的误差的绝对值不超过解 设将机床分解成 个部件, 而 表示第 个部件的重量, 则所以由已知条件又即有所以取 5.7 已知生男婴的概率为 求在 个婴儿中男孩个数多于女孩的概率.解 设 个婴儿中男婴的个数为 由条件知此时由中心极限定理得所以所求概率为 5.8