基于流体涡量扰动波的波动函数分析

1、基于流体涡量扰动波的波动函数分析摘要：阐述涡量、自旋的物理属性的比较，以类比方式理解量子波动函数为描述涡量或自旋在空间的扰 动波；从流体力学出发，讨论涡量的扰动波动现象；以流体角度，解释薛定谔方程和狄拉克方程形式的 波动方程的现象与意义。关键词：涡量，自旋，波动方程。Analysis of Wave Function Based on the Disturbance Wave of Fluid VorticityAbstract In this paper, the physical properties of vorticity and spin are compared, and the

2、quantum wave function is understood by analogy to describe the disturbance wave of vorticity or spin in space; the disturbance wave phenomenon of vorticity is discussed from the perspective of fluid mechanics; the phenomenon and significance of wave equation in the form of Schrodinger equation and D

3、irac equation are explained from the perspective of fluid. Index Terms vorticity, spin, wave equation.动波函数如果以能量守恒归一化，就可能具有概率 幅函数的意义。2流体涡量波动方程动波函数如果以能量守恒归一化，就可能具有概率 幅函数的意义。2流体涡量波动方程考虑不可压缩粘性牛顿流体的涡量方程，不考 虑外力(或质量力无旋)情况下有式(2)。5 /5t=VX(uXQ)+vV2Q(2)其中v为运动粘性系数。对于不可压缩流体， 又有式(3)。 X (uX Q) = (Q V)u-(uV) Q式(3)代

4、入式(2)得到式(4)。d Q/dt= ( Q ) u-(uV) Q + v V2 Q(3)以不可压缩流体为例，设3维流场中某位置的流 体矢量速度为u,其涡量是流速的旋度Q=VXu， Q是轴矢量，可分为3个方向分量，按照右手螺旋定 则，每个分量有“ + ”、-”两个方向；在流体涡 量场中认为涡量是某位置上的一个速度环量强度， 可以用一个小涡管给予形象标记；此外，如果某位 置上有一小刚体旋转，小刚体的转动能量可以表达 为式(1)。(3)4)一个自由粒子在空间运动，从粒子参考系上 可以认为是空间向粒子运动。假设(1)：空间如流体一样掠过粒子，会在 粒子附近激起扰动波，以波动函数的复指数形式描 述如

5、式(5)。4)一个自由粒子在空间运动，从粒子参考系上 可以认为是空间向粒子运动。假设(1)：空间如流体一样掠过粒子，会在 粒子附近激起扰动波，以波动函数的复指数形式描 述如式(5)。W=&et+i(k5(5)式中，&为振幅，i为虚数单位，k为波矢，3 为圆频率，a为扰动幅随时间增长指数，当a0时 扰动是增长的，当a 0时扰动是衰减的，a =0时 扰动稳定。假设(2)：扰动波是线性的，并忽略速度u的 扰动项，可以从方程式(4)中分离出沃量的扰动其中，Ek表示刚体转动能量，I为转动惯量。 见转动能量与涡量的平方存在线性关系。涡量的上述性质与粒子自旋量具有相似性： 子自旋本质具有内禀角动量性质，也是

6、轴矢量， 有涡量的轴矢量属性。再考虑到量子力学概率幅波函数W在空间上也 存在3个方向分量，W同样具有 + ”、-”之分， 其属性与轴矢量Q相似，并且W与其共轭函数W*的 乘积WW*为概率密度函数，从能量守恒定律出发可 知，WW*具有遵守能量守恒的意义，WW*与Q2都 具有能量属性。猜测涡量、自旋只是在不同的物理 现象背后具有同一种本质属性，而量子波动函数可 以理解为描述了涡量或自旋在空间的扰动波，该扰77)8)方程为式(6)。dw/dt = (V)u-(uV) +v V2(6)式(6)中u, W是3维的。假设(3):扰动波W可以由3个正交方向的扰 动线性合成为式(7)W=g eat+i(kx-

7、ot)= 011 + 022+033=i (ciWi)定义扰动的3个分量为式(8)。W . g e a t+i (kixi-wt)得到式(9)。W = i(0iWi)=i(0igeat+i(kixi-ot)(9)其中0i为常系数。由于假设扰动波各分量具有 正交性：即i尹j时(。叭)/(。Xj) =0,代入方程式 (6)式(9)得式(10)。5 w/5t=ioi (5 Wi)/5t) = Sioi(a-io) Wi = (a-is)wW = ici Wi = ii(ciki Wi)= ikw(uV) w =uj5/5xj ( i (ci Wi)= iSi(0iUikiWi) = iSi(uiki

8、 W) =i (uk) WV2W= (52/5x12+52/5x22+52/5x32) W= -k2w(10)(10)式代入方程(6)得到式(11)。(a-io) w = ( wV)u-i (uk) W-vk2W(11)假设(4) : ( wV)u是由于空间速度梯度 。*/欲：引起的。在很接近粒子的周围空间，认为流 速梯度伽/欲,应该是存在的且不可忽略的，但是从 远离粒子的距离上看，认为空间的流速梯度已经很 小了(流速梯度应该是近邻粒子周围的一种局域效 应，类似于流体力学中的边界层效应，远离边界层 的地方近似于流速梯度趋于零)，所以从远离边界 层的位置来看就忽略该项内容。基于假设(4)，简化方

9、程式(11),得式 (12)。(a-io)w=-i(uk)W-vk2W(12)得到粘性系数为式(13)。v =- a /k2+i/k2 o - (uk) (13)对于(13)式中的虚数部分，可以理解为它只 作用于波动函数的相位变化；只有实部数值在空间 起到运动粘性作用。利用 2W=-k2W，可得-1/k2V2w=W，对波 动函数求时间偏导得式(14)。5 w/5t= (a-io)w=a w-io w=a w+io /k2V2 W或者：dw/dt=(a+io/k2V2) W(14)3引入德布罗意波当考虑扰动波是德布罗意波时，得到波动的波 矢、圆频率对应了自由粒子的动量、能量：p = kh 和E=

10、oh,代入方程式(14)得到式(15)。d w/5t= ( a +iEh/p2 V2) W(15)代入v的表达式(13)中得到式(16)。v =- ( a h2)/p2+ih (E/p2-1/m)( 16)假设(5):假设扰动波的随时间增长指数a =0，分两种情况。在非相对论情况下，自由粒子运动的动 能为= (1/2)mu2，动量的分量为p=mu = kh代入方 程(15)，并在方程两边同时乘以因子ih,得到式(17)。ihdw/dt=ih(i h/2m V2) w =-h2/ (2m) V2 W(17)在相对论情况下，自由粒子能量为 = (m02c4+c2p2)1/2,其中的m是粒子静质量，

11、代入方程(15),并利用V2W=-k2w,最后在方程两边同 时乘以因子ih,得到式(18)。ihd w/5t = -c (m02c2+p2)1/2/k2V2 W=-c (m02c2+p2)1/2(1/k2) V2 W= c(m02c2+p2)1/2w(18)而方程(16)则改写为式(19)。v =ih/m(c2/u2-1)(19)可见，光子以光速c运动时，其粘性系数为 零。方程(18)可以采用狄拉克的办法，引入狄拉 克矩阵a i。令E = c (m02c2+p2)1/2= c(p12+p22+p32+m。2 c2)1/2= c(a 81+ a 2p2+ a 3p3+ a 4mc)经过推导后可以

12、得到与狄拉克方程形式一致的 波动方程为式(20)。ihd w/5t= ihc ( a V) + a 4m0c2 W= ihc(a1d/dx1+a2d/dx2+ a 会/dx3) + a 4m0c2 W(20)虽然薛定谔方程(文中方程(17)与狄拉克 方程(文章方程(20)均可以从波动函数(文中 方程(5)及其线性性质、德布罗意波、狭义相 对论中直接推导出来，而本文从不可压缩流体涡量 方程出发，引入了多个简化假设后可以得到类似的 波动方程，目的是引入涡量的扰动这一物理背景， 并认为薛定谔方程和狄拉克方程可能是空间涡量扰 动波动的一个简化描述。4对波函数的定性描述假设自由粒子在x-y平面上沿着x正

13、方向以速度 u运动，当在空间激起旋量波动W时，例如只考虑z 方向的旋量波动会在x-y平面上传播，相当于x-y平 面上建立起了一个随时间波动的涡量场，某位置处 的涡量大小由W的波动方程决定（主要是频率、波 矢，以及相位），则仿照流体N-S方程可知粒子会 受到一个与速度u方向垂直的偏向力uXw,该效果 与带电粒子穿过一个磁场而受到洛伦兹力类似。由 于涡量场的波动（圆频率为3= E/h，波矢为k = p/h），粒子实际在沿程上受到了周期变化（包括 值大小和正反方向）的偏向力（即uXw是周期变 化的），在足够长的距离上可以认为偏向力的总效 果被抵消了。如果粒子要经过双缝装置，则由于在双缝的 后方出现了波动干涉效应，自由粒子在穿行过程中 会穿越这些双波干涉空间，直至最后被探测器记录 到一次能量转换事件（产生电流之类）。特别是粒 子到达终点最后时刻的一小段时间内，双缝干涉效 应使得粒子向波动幅增强的地方稍微偏转（当波动 幅值与粒子旋量方向一致时），这意味着粒子在波 动的最后半个周期（T/2）或半个波长X/2内发生 的偏转才是最有效的。当多个自由粒子穿越这样的 空间时，便在探测板上出现具有统计意义的干涉条 纹。虽然粒子的偏向力是uXw,与w有关，但是 记录粒