应用动能定理进行多自由度系统建模探析

1、应胸能定理进行轴由度系统建模探析摘 要：探讨独立应用动能定理建立多自由度系统动力学方程的方法及其理论依据，证明了对于定常完 整的理想约束系统，当动能表达式中不显含广义坐标时，将微分形式动能定理简化为广义坐标微分的和式 方程，并令广义坐标微分前的系数为零，所得结果与拉格朗日方程所得结果一致。同时举例说明了这种方 法的局限性，详细讨论了动能定理的适用性问题&关键词：动能定理；多自由度系统；广义坐标；拉格朗日方程Analysis on Multi-Degree-of-Freedom ( MDOF)System Modeling with the Kinetic Energy TheoremAbstr

2、act： We discuss the methods of and theoretical basis for establishing kinetic equations of multi-degree-of- freedom ( MDOF) systems by applying the kinetic energy theorem independently. We prove that with respect to dynamical systems with scleronomous, holonomic and ideal constraints, the result of

3、the kinetic energy theorem with differential forms is equivalent to that of the Lagrange equation under the condition of not containing generalized coordinates in the expression for kinetic energy when the coefficient before the generalized coordinate differential is set zero. Meanwhile, the limitat

4、ion of the kinetic energy theorem is illustrated by examples, and its applicability is discussed in detail.Key words： kinetic energy theorem; multi-degree-ofreedom systems; generalized coordinate; Lagrange equationo引言众所周知，动力学问题可以利用各种方法进 行求解，例如动量定理、动量矩定理、平面运动 微分方程、定轴转动微分方程、动能定理、功率 方程、机械能守恒定律、达朗贝尔原理、动

5、力学 普遍方程、拉格朗日方程、哈密尔顿原理等。不 同方法从不同方面反映和刻画了物体的运动规 律，有各自的使用范围。动能定理是按照能量的 观点，将动能与力的功之间建立起关系，从而可以利用微分形式或积分形式的动能定理建立其动 力学方程。对于单自由度系统而言，该方程就可 以描述系统的动力学行为。而对于多自由度系 统，一般理论力学或工程力学教材.可均认为虽 然可以应用动能定理，但必须与其他定理联合才 能建立系统的动力学方程组。而单独应用动能定 理建立多自由度系统动力学方程的情况还很少 见。笔者发现将系统的动能用广义坐标来表示 后，将其微分并令表示为广义速度的组合，最后 令每一个广义速度前的系数项为零，

6、也可以得到 多自由度系统的运动微分方程(本文将这种方法 称为“多自由度系统微分形式动能定理法”)。在 文刃中也提供了应用类似方法建立系统动力学 方程，例如其中的3-38、3-39、3-40等多个例 题为多自由度问题，整个求解过程相对简单，步 骤统一，相比其他方法具有一定的优越性。但这 种方法的理论依据是什么？据笔者检索，未发现 国内外流行的理论力学或工程力学教材对此进行论 述，未见提及这种建立系统动力学方程的依据。本文拟对动能定理应用于多自由度系统的问 题展开讨论，首先给出动能定理应用于多自由度 系统的定理，然后给出其反例，以提示使用这种 方法的局限性。需要说明的是，由于文中的 方法是先利用动

7、能定理的积分形式，然后再对时 间求导数，故本文为节省篇幅，直接使用动能定 理的微分形式进行讨论。1可独立用动能定理完成建模的一类多 自由度系统定理1对于受到双面定常完整理想约束的多 自由度系统，如果系统动能的表达式中不显含广 义坐标，则令微分形式动能定理的广义坐标展开 式中各广义坐标微分的系数项为零，即可得到系 统的动力学方程。证 假设多自由度系统的质点数为%，自由 度数为0,受到双面定常完整约束。若选其广义 坐标为：Fi，g2，F，则各质点的位置K可 表示为：七(七(Fi，F2，,Fo)， ( 1，2,%因而系统中各质点的速度r,及系统动能T可表 示为：JL 0 r,r, ( & ( 1，2

8、切0 F1 .!1 二二(二0 r,0 r,T ( & m-. ( & & I & m-1 f,Fi9妇 i C妇I J i J为力 2，( 12 广 1 - = 1 , ( 10 Fj0 Fi I(3)%( 2) TOC o 1-5 h z %0 r ,0 r%( 2)若记：m,- ( & m,二二,则由定理1的条件 切0 F,0 F-可知，m,-中不显含广义坐标、广义速度和时间， 即m,i为常数，且满足m,i ( m-,。0T 1000(V & & m ( FjFi)(0 F,2 广1 - =10 F,1002 & mfl( Fi+ F,+i)= &2 J = 1 i = 1 di ( j

9、= & M匝(00 F,0r若广义力记为：N, ( & 0 二，则由拉格朗日件0 F,方程可得系统的动力学方程为：0& m同 / Q,( 0 ( ( 1，2, !，0)( 5),=1如果利用微分形式的动能定理，则：0T00dF,( & myFjF ,dl ( 0 F, (1 广100& m&F ,dF,i=1 , (1%0=& 0, d L = & 0dF,=1=1000=1000& m,F,dF = & Qd%。=1 ,=1=1由动能定理可得：(6(6)& ( & #f, - Q,) dF, ( 0j = 1, ( 1由于m初(m,故式(6)中dg,前面的系数与 用拉格朗日方程求得的式(5)

10、中的左端一致。即 在定理1的条件下，利用动能定理的微分形式求 得的多自由度系统的动力学方程与用拉格朗日方 程求得的动力学方程完全一致，因此可用来求解例1示意图图1 T(妇 I例1示意图图1 T(妇 I(,21T#2(7)#2-2 di + 2#2-1 -2+ 2#2 -1 -2(8)这种特殊情况下系统的动力学方程。对于单自由度系统而言，质点的动能自然不 包含位置坐标，由定理1可知结果必然正确，这 也是理论力学中一般采用的情况。定理1表明微分形式的动能定理可以用来处 理一类特殊的多自由度系统，从而在一定程度上 扩大了动能定理的适用范围，扩展了人们对微分 形式动能定理的认识，具体示例不再介绍。但需

11、 要注意的是，直接令动能定理的微分和式中各广 义坐标的微分前系数为零在物理上并不是因为各 广义坐标的微分相互独立。事实上，各广义坐标 的微分(即微小实位移)是不独立的，它们之间 存在着一定的联系，只是对于满足定理1条件 的系统，动能定理的微分形式中广义坐标微分前 的系数项刚好与拉格朗日方程的虚位移前的系数 项一致，才使得微分形式动能定理具有这样的适 用性。而对于不满足定理1条件的系统，则无法保 证动能定理的微分形式中广义坐标微分前的系数 刚好与拉格朗日方程虚位移前的系数一致，因此 也就无法直接令其为零而得到正确的系统动力学 方程。现举例进行比较说明。2举例及讨论文中的例题3-38、3-39、3

12、-40等，其中 的动能表达式中不仅包含广义速度项，而且显含 广义坐标，故上述定理1不适用。对于这类问题 的求解，多自由度系统微分形式动能定理法是否也 适用呢？在此给出一个类似的例子，并加以讨论。例1已知位于铅垂平面的图1所示系统 中，杆件OA和AB长度分别为2-1和、质量 分别为#1和#2,用光滑铰链连接。试建立系统 的运动微分方程。解该系统约束显然为双面完整定常的理想 约束。以两杆的转角,和-为广义坐标。由于： xc ( 2Z1sin, + -2sin-， xc ( 2-1COS, +Qc ( 2-1COS, + -2COS-， Qc ( 2-1in, - -2in 蓦 + qC = 4-1

13、，2 + Z；2 + 4-1 -2，cos(-,) 则系统的动能为：;#1 4-1)二#2 4-2)(- 4-2,2 + -22 +_ 4-1 -2， cos( - ,) _dT (;#1 -2，,di + !#2-2di + 4#2-：33dt +,cos( - ,) dt +cos( - ,) dt .2#2-1 -2sin( - ,) ( - ,) dt (#1 -1+ 亍 #2-；d + 4#2-2+,cos( - ,) d +cos( - ,) d,.-2#2-1 -22sin( - ,) d, +2#2-1 -2,2in( - ,) d式(8)中，在归类时采用将2#2-1-2伽si

14、n( - ,) dt 项归结为 2#2-1-22in( ( - ,) d,，2#2-1 -2in( -,),dt项归结为2#2-禹味血(-,)d等。而外 力的元功之和为：(- (#1 g-in, + #21 2-in,) d,-#21-2 sind由于dT = &O，可得：I，#1-；, I#-1, + 2#2-1-2cs(- -,)-2#2-1 -22sin( - ,) + (#1 g-sin, +#21 2-Sin,) d, + #2-2 + #2-2 +2#2-1 -2,cos( - ,) + 2#2-1 -2,2sin( - ,) +#2g-2i：- d( 0利用多自由度系统微分形式动

15、能定理法,则该系 统的动力学方程为：, + 4#2, + 2#2-$ -2 cos(,)-2#2-$-2 2i：( ,) +#$g-$i:, + 2#2g-$i：，( 0#2-2 + #2-2 + 2#2-$ -2，cos( ,) +2#2-$ -2，2i：( ，) + #2g-2Sin( 0(9)经验证方程(9)与由拉格朗日方程所得结果 完全相同。但若将式(8)中 2#2-$-2in( ,) di 项归2#2-$-2际sin( ,) Odt2#2-2#2-$-2际sin( ,) Odt2#2-$-2sin( ,) d,为项归结则类似可得方程为:#$-；, + 4#2-2, + 2#2-$ -

16、2 cos( ,) +项归结则类似可得方程为:2#2-$ -2， sin( ,) +(#$g-$sin, + #2g 2-$sin,) ( 0#2-2 + #2-； + 2#2-$ -2,cos(,)2#2-$ -2，sin( ,) + #2 g-2sin (10) 由拉格朗日方程可以证明这样得到的方程(10) 是错误的。在本例的计算过程中，动能函数为广义坐标 的二次齐次函数，但部分系数中显含有广义坐 标，所以并不满足定理1的条件。对于这类问题, 在应用时需要特别留意2#2-$-2sin( ,) dt应 该等于2#2-$-2 2sin( ,) d,而不能等于 2#2-$-2,sin( ,) d

17、 &由此可以看出，对于不满足定理1条件的系 统使用定理1，虽有可能得到正确结果，但存在 很大的不确定性，即存在二义性问题，而对于自 由度大于2的系统，则可能出现多义性问题。上 述多义性问题在文7的3-38、3-39、3-40等 例题中也一样存在，只是作者明智地选择了第一 种方式归结，而没有采用其他归结方式。这说明 定理1的条件是有用的。如何消除上面所说的多义性？笔者发现在导 数与微分之间归结时应遵循以下规律：不同速度 乘积项归结后的结果中某广义坐标的线性速度项 与其微分项不应在同一个表达式中。例如，例1的 计算过程中sin( ,) dt项应归结为 2sin( ,) d,，而不能归结为 ,sin

18、( ,) d。如果说对于例1多自由度系统微分形式动能 定理法经改良还可以使用的话，那么对于下面的 例2,独立应用动能定理则根本无法得到正确的 结果&例2图2所示系统中，均质杆的质量为 #1，在铅垂平面Paq内运动，质量为#2的滑块 可以在杆上无摩擦地滑动，若外力偶矩为L,， 物块与转轴的距离为p，杆的转角为,，试建立图2例2示意图解该系统约束显然为双面完整定常的理 想约束。选择系统广义坐标为F1 ( p % F2 =,，则 此时系统的动能可表示为:L = tS0,2 + t#2 也2 + (p,) 2 (+#1 -2，2 + ；#2p2 + -2#2p，2dL = (a#i-2, + #2p，) d, + ( #2p + #2p,2) dp= (L, #1 g cos, #2g pcos,) d, #2 gsin,dp 按照多自由度系统微分形式动能定理法,则可得 系统的动力学方程为：, + #2p，+ #$ 1 COS, +#21 pcos, - T,( 0经分析，上述结果与基于拉格朗日方程所得 结果3不同。所以对于这类动能表达式中