虚位移原理在求解梁式杆件内力方程中的应用

1、虚位移原理在求解梁式杆件内力方程中的应用摘要:利用虚位移原理求解静定条件下构件截面的内力方程，即弯矩方程和剪力方程。该方法直观有效,可以不必求解 约束反力，避免由于约束反力计算不准确带来的二次错误，减小了计算工作量；同时该方法丰富了虚位移原理的应用，为静 定结构的内力方程求解提供了另一种思路。关键词:虚位移原理；内力计算；弯矩;剪力0引言虚位移原理又称为虚功原理，虚功是指力在虚位移中所做的功。虚位移原理是分析静力平衡问题的 主要方法之一，广泛应用于未知力和未知位移的求解，尤其在结构力学中，在其基础上推导而来的积分法 和图乘法使得位移计算量较之材料力学方法大大减小。同时虚位移原理也是分析动力学的

2、重要基础，它 为人们求解平衡问题提供了一个极佳的工具,在经典力学中起着支撑作用。在材料力学中，梁的内力主要包括轴力、剪力和弯矩。计算梁的内力的方法主要是截面法，这一解题 方法计算量大，且一般需要求出支座约束反力。如果利用虚位移原理进行求解，则不需要求出支座约束反 力，就能够求解任意截面的弯矩与剪力，这一方法不失为对内力方程求解的有用补充。1虚位移原理的概念及应用1.1虚位移原理的概念= 0，(1)设一质点系具有理想约束,其中某质点受力如图1所示。儿，的虚功之和 为零,其平衡的充要条件是:作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所 做虚功的和等于零，表达式如下： 其中,= 0，(1)1.2虚位移原

3、理的应用、71.2.1虚设位移状态求未知力*如图2所示的计算简图，在求解此平衡体系中的未知力或者约束反力图1质点受力与虚位移时,如果利用平衡方程进行求解，需要至少两个方程才能 解出尸,求解过程见表1。而利用虚位移原理进行求解时，把杆件看作刚体体系，虚设位移状态，求未知力。例如利用表1中的计算简图求解A点竖向约束反力，只需要将A点固定端支座变为滑图2计算简图示例动支座，同时把竖直约束力Fa画在图上,然后在A点虚设单位位移AA-=1，画出此机动体系位移图，如表 1图中虚线所示。应用虚位移原理,用一个方程即可求出Fa图2计算简图示例表1虚设位移状态求未知力求A点竖向约束反力Fa x 1 - qFa

4、x 1 - q x 3a x 1 + qa x 0.5 = 0 二 Fa = 2.5qa(XMC = 0, Fb x 2a - qa x 3a = 0(XFy = 0, Fa + Fb - 3qa - qa = 0 Fa = 2.5qa1.2.2虚设力状态求未知位移在求解梁式杆件中某点位移时，我们还可以利用挠曲线近似微分方程EIw = -M3）进行求解，也可以利用叠加法进行求解。利用挠曲线近似微分方程求解时，需要积分两次得到挠度方程,再利用边界条 件和连续条件求出积分常数。如果杆件的内力方程有3个，积分常数就会有6个，联立6个方程进行求 解，工作量较大，且很容易出错。利用虚位移原理求解时,把梁

5、式杆件看作变形体体系，虚设力状态,求未知位移。同样如图2所示的 计算简图,要求解D点竖向位移。首先求出结构在外荷载作用下的轴力F,剪力膈，弯矩M,接着单独 在D点作用一竖向单位荷载1,计算结构在单位荷载作用下的轴力Fn,剪力Fq,弯矩M，对梁来说，轴 力和剪力对其变形影响很小，可以忽略不计，只考虑弯矩的影响。因此利用下面公式中最后一项即可求得D点竖向位移，见表2,并且由此公式演化而来的图乘法,可以简化计算，不再赘述。 =j Fds + 钏FQF项s+ 空为。EA GA A EI表2虚设力状态求未知位移虚位移原理aD(2.5qax - 3aD(2.5qax - 3qa2 - 0.5qx2 ( 0

6、 W x 3a )Mp/ -0.5qa (x -3a)(3a W x W 5a)qax - 6qa2(5a W x W 6a )1.5a - 0.5x( 0 W x W 5a )1.5a - 0.5x + 1.5( x - 5a ) ( 5a W x W 6a )1MmpEI2虚位移原理求解内力方程内力方程是画内力图的前提，传统教材中求解内力方程都是采用截面法,一般解题步骤为:求解支座 约束反力，在某一截面处切割杆件后选取研究对象，在梁上截切梁段,在截面处代之以内力，画出已知的 主动力和约束反力，在截面处画出轴力、剪力、弯矩等内力，并列出平衡方程求解内力方程。使用截面法， 需要先求出支座反力，

7、步骤较多,而且一旦支座反力求解错误，就会导致后续计算失效。使用虚位移原理 进行求解内力方程，只需要把某梁段左右截面之间变成铰接点或者滑动支座，代上一对大小相等、方向相 反的弯矩或者剪力，画出此时机动体系的位移图，根据几何关系求解各主动力相应的位移，列出虚位移方 程，即可获得该段梁的内力方程。这种方法省去了求解支座约束反力这一步骤，直观易懂,不失为一种有 效的方法。下面将以图2所示的计算简图为例，阐述利用虚位移原理求解内力方程的方法。2.1虚位移原理求弯矩方程首先，将在AC段的F点连接变成铰接点，代上一对大小相等，方向相反的内力M,如图3(a)所示。然 后做出机动体系的位移图，图中虚线表示相对位

8、移，使CFE = 1,如图3(b)所示。则由虚位移原理可得：3a - xM x( -1) - J q x 1 x y x dy + qa x DG = 0,其中,DG = 0.5EC =0.5x 1 x(3a - x)。代入上式后得3a - x3 a - xM x( -1) - q I ydy + qa x 0.5 x(3a - x )=0,0/. 3 a - xM x( -1) - q I ydy + qa x 0.5 x(3a - x )=0,0/. M = 2.5qax - 3qa2 - 0.5qx2 , (0 W x W 3a )。3 a x显然，结果与表2中弯矩方程一致。对于均布荷载

9、，Jydy其实就等于FEC的面积,0同理可以得到CB段和BD段的弯矩方程计算简图，如图3(c)、图3(d)所示。 经过位移分析，由虚位移原理得到：= -0.5qa( x - 3a ) ( 3a W x W 5a )IM = qax - 6qa2F=qa遂AG图3梁式杆弯矩方程计算简图F=qaM /(F=qa遂AG图3梁式杆弯矩方程计算简图F=qaM /(5a W x W 6a )2.2虚位移原理求剪力方程首先，将在AC段的F点连接变成滑动支座，代上内力儿，如图4(a)所示。然后做出机动体系的位移 图，使FH = 1,如图4(b)所示。FsFs X1q X 1x y X dy + qa X DG = 0,其中,DG=0.5E =0.5 x 1=0.5。代入上式后得Fs Fs x 1 - q3a0dy + qa X 0.5 = 0,Fs = 2.5qaqx , (0 W x W 3a )。对于均布荷载，/-dy其实就等于四边形FHEC的面积，即等于FC-ECOFC = 3a - x，EC = 1。同理0可以得到CB段和可以得到CB段和BD段的剪力方程计算简图，如图4(c)、图4(d)所示。图4梁式杆剪力方程计算简图根据虚位移原理求得以下剪力方程:Fs = -0.5