单自由度系统的振动

1、PAGE PAGE 9第2章 单自由度(SDOF)系统振动(Single Degree of freedom) 如果振动系统任意时刻的空间位置只需要一个独立参数来表达，则称为单自由度系统。本章介绍单自由度系统运动方程的建立，以及自由振动的特点和动力响应的计算问题。2.1 运动方程的建立此处分别应用基于达朗贝尔原理的直接平衡法、虚位移原理和哈密顿原理建立振动微分方程。2.1.1 直接平衡法 承受动力荷载作用的任何单自由度系统均可以由图21所示的模型来代表。图21(a)中，为质量块的质量()，是为弹簧的刚度()，为粘滞阻尼系数()，为干扰力()。将坐标原点设在质量块的静平衡位置处，坐标即为相对于静

2、平衡位置产生的质量块的动位移。在任意瞬时取质量块的隔离体，如图21(b)所示，作用于质量块上的力有下列四种： （1）弹性恢复力（它等于弹簧刚度与位移的乘积），与位移的方向相反； （2）阻尼力（假设为粘滞阻尼机理，它等于阻尼常数与速度的乘积），与速度的方向相反； （3）惯性力（根据dAlembert原理，它等于质量与加速度的乘积），与加速度的方向相反；（4）干扰力，.（根据竖向力的动平衡条件即直接平衡法得出） (21)在振动的任意时刻，这四种力都保持着平衡，只是各个力所占的比例不同而已。由方程(21)可知，相对于动力系统的静力平衡位置所建立的运动方程是不受重力影响的。换言之，此类情况可以不考虑重

3、力影响建立方程。由于这个原因，建立方程时，位移都以静力平衡位置作为坐标原点，由此方程仅能得到系统的动位移，而总的位移应该是动力位移响应和静力位移值的叠加。2.1.2 虚位移原理以图21所示的结构系统说明如何应用虚位移原理建立方程。令质量发生虚位移，则作用在质量上的四个力所作的总虚功应该等于零，即式中的负号是因为力的方向和虚位移的方向相反。因为上式中的虚位移不等于零，很容易得到式（21）所示的振动方程。， ，因为，将四种力的表达式代入前式可推出 在结构系统中某些结构具有这样的特点：弹性变形完全限定于局部的弹簧元件中发生，而结构本身没有弹性变形，称此为刚体集合系统。现在介绍采用虚位移原理建立这类振

4、动系统的运动方程。 例2.1 图22所示的系统由两根刚性杆组成，两根杆用铰连接在一起。在O点和D点分别受到阻尼器和弹簧的约束，AD杆的单位长度的质量是均匀的，在无重刚杆DB中点有一个质量，并且上作用一个集中力，现用虚位移原理建立该系统的振动方程。 解 因为两个杆都是刚性的，所以整个系统仅一个自由度，故其动力响应可以用一个方程来表达。该体系可以用直接平衡法建立方程，但是用虚位移原理更简便。 选择铰的垂向位移为基本自由度，而其他的一切位移均可以通过它来表达。例如阻尼器处的位移为，质量处的位移为，作用于结构上的全部力为： 弹性力，； 阻尼力，； 质量惯性力,；刚性杆平动惯性力，；角加速度用表示：，角

5、加速度用表示：， 干扰力。 根据作用于系统上的所有力在发生虚位移时所做的总功等于零来建立运动方程。根据虚位移和成比例这一特性，可以写出总的虚功：引进：“引进：“广义质量、广义阻尼、广义刚度和广义荷载”的概念 或者写成： 其中， ，分别称为“广义质量、广义阻尼、广义刚度和广义荷载”，又可称为“等效质量、等效阻尼、等效刚度和等效荷载”。仅由弹簧的应变能表达的位能2.1.3 哈密顿原理仅由弹簧的应变能表达的位能针对图21，采用哈密顿原理建立振动方程。由图21得系统的动能和势能分别为：，非保守力即阻尼力和干扰力所做的功的变分为： （22）体系的非保守力为阻尼力和作用的荷载体系的非保守力为阻尼力和作用的

6、荷载解释：该项相当于虚位移原理的方程中与力有关的虚功表达式。根据式(16)，将动能对于速度求变分，将势能对于位移求变分，得到：， （23）将式(2-2)和式(23)代入式(1-6)得： （24）以上各项积分中，仅第一项含有速度的变分，通过分部积分得：解释：式中利用了关系解释：式中利用了关系，在哈密顿原理中假定变分在积分限和时为零，故第一项为零。因为在和时刻的位移是给定的，故其变分等于零。于是可得： （25）将式(25)代入式(24)，得： （26）考虑到时间区间内变分的任意性（），上式如果成立，被积分函数必须等于零。于是得到与式(21)相同的运动方程。以上的例题说明，同一运动方程可以用三种基本

7、方法中的任一种来导出，显然对于不同的系统可以选择不同的方法建立运动方程，以简单方法建立为好。（对简单的体系，使用直接平衡法将比较简单）2.1.4 重力的影响现在讨论图（21）)所示的体系，重力沿着位移的方向作用，此时，作用在质量上的力系如图（23b）所示，当引用各力的表达式后，体系的平衡关系可以写作 （附21）其中是刚体的重量。图23 重力对单自由度体系平衡的影响但是，如果总位移用由重量引起的静位移及附加动力位移的和来表示，如图（23c）所示，即： （附22）则弹簧力可写为： （附23）将方程 (附23)代入方程（附21）得： （附24）注意到，则导致 （附25）对方程（附22）求导数，同时注

8、意到是不随时间变化的，因此显然有等关系，所以方程（附25）可改写为： （附26）图24比较方程（附26）及方程(21)可见，相对于动力体系的静力平衡位置所写出的运动方程是不受重力影响的（因此单自由度系统的物理模型可以简化为图2图242.1.5支座扰动的影响 结构的动应力和动位移不仅可以由随时间变化的荷载引起，如图21所表示的那样，而且也可以由于结构支承点的运动而产生。由于地震引起的建筑物基础的运动，或由于建筑物的振动而引起放在建筑物内的设备基底的运动等等，就是这类扰动的重要的例子地震振动问题的一个简化模型如图25所示。图中由于地震引起的地面水平运动用相对于固定参考轴的结构基底位移来表示。图25

9、制作扰动对单自由度体系平衡的影响：（a）体系的运动；（b）平衡力系在这个刚架里水平横梁假定是刚性的，而且它包含了结构所有的移动质量。立柱假定为无重且在竖直方向(轴向)不能伸长，抵抗横梁位移的恢复力，由每一根弹簧常数为的立柱来提供。这样，这个质量具有一个自由度，它与立柱的弯曲有关，而且阻尼器则提供了对这个变形的抗力，这个抗力与速度成比例。图25制作扰动对单自由度体系平衡的影响：（a）体系的运动；（b）平衡力系如图25(b)所示，对于这个体系的平衡可以写为： （附27）式中阻尼力和弹性力可以用前述方程表示，而在这种情况下，惯性力由下式给出： （附28）式中表示质量对参考轴的总位移。将惯性力、阻尼力

10、和弹性力的表达式代入方程（附27）可得： （附29）在解这个方程之前，所有的力都必须用单一的变量来表达，为此，把质量的总位移表示为地面运动和柱子变形的和即可，即： （附210）对方程（附210）求导，获得两个加速度分量，以它们表示惯性力，并代入方程（附29），可得： （附211）或由于地面加速度代表对结构特定的动力输入，运动方程可以很方便地写成： （附212） 在这个方程中，表示等效支承扰动荷载。换句话说，在地面加速度作用下，结构的反应就和在外荷载下产生的反应一样，只是外荷载等于质量和地面加速度的乘积而已。方程（附212）中的负号表示等效力的方向和地面加速度方向相反；因为般必须假定基底输入的作

11、用方向不定，因此这一符号实际上是不重要的。附：2.1.5广义单自由度体系：刚体集合刚体质量和质量惯性矩 直到目前，所讨论的所有例子都是十分简单的因为，体系的物理特性质量、阻尼和弹性中每一个都用单个离散单元来表示。然而，大多数实际体系的分析，即使可以把它们当作单自由度结构考虑，仍需要用更复杂的理想化模型。为了这个讨论目的，将广义单自由度结构区分为二类较为方便：（1）刚体的集合，在这种集合中弹性变形完全限定于在局部的弹簧元件中发生。（2）体系具有分布弹性，在这个体系里变形可以在整个结构上或在它的某些元件上连续在这两种情况里，都假定只允许有某种单一形式的位移，从而迫使结构的性状象单自由度体系一样。对于此处所讨论的刚体集合类结构，其所允许的单一位移形式常常是由刚体集合的构造来决定的，也就是说这些刚体被支承和铰所约束，因而仅能有一种位移形式。对具有分布弹性的结构，