单片机原理与应用第三章第四章

1、如何判断矩阵A是否可逆？若矩阵A可逆，则可利用初等变换的办法求其逆矩阵。第 三 章 行 列 式一、 概念 对任一 n 阶矩阵用式(3-1)(3-2)常称表达式称为此行列式的值.记作 det A而把相联系的那个数把 A 的行或列称作是 det A 的行或列 . n 阶行列式.今后，为 A 的行列式 (determinant),表示一个与 A 相联系的数，也一般称 这样有 n 行 n 列的表达式为它的值不予严格区分. 均指从表达式算出其值.但说到计算行列式，则通常定义 1对 的 n 阶矩阵 A，把删去第 i行及第 j 列后所得的 ( n 1 ) 阶子矩阵称为对应 今后在不致引起混淆的情况下, 将对

2、行列式及于元 aij 的余子矩阵，并以 Sij 记之. 对 n = 2, 3, , 用以下公式递归地定义 n 阶行列式之值：def定义 2 一阶矩阵 aij 的行列式之值定义为数a11 det a11 defa11（3-3）例 1 设按 计算 det A 的值 这样，可以下式所示的规则来记 2 阶行列式值的计算法：+（3-4）例 2 设计算 det A 的值用 写出计算 3 阶行列式值的公式为（3-5）其中每一条实线上的三个元素的乘积带正号,条虚线上的三个元素的乘积带负号, 数和就是三阶行列式的展开式.并可以下表的形式记 3 阶行列式值的计算公式.+每一所得六项的代 根据 2 阶、3 阶行列式

3、的计算公式，可以一般地指出：n 个元之乘积.n 阶行列式的值是 n！个不同项的代数和,其中的每一项都是处于行列式即不同行又不同列的定义 3 对 n 阶矩阵 A 或 n 阶行列式 det A，Aijdef( -1 ) i+j det Sijdet Sij 为元 aij 对其的余子式 , 称 ( -1 ) i+j det Sij 为元 aij 对其的代数余子式 , 记作 Aij ，称即如对 的 det A ，有等等.这样，可将 n 阶行列式值的定义写成其中 A1k 是元 a1k 对 A 或 det A 的代数余子式.(3-3)问：四阶以上行列式怎么求？问：下三角行列式怎么求？问：矩阵的加法、数乘、

4、转置、乘法、逆运算对应的行列式怎么求？问：初等变换后行列式会怎么变？问：上三角行列式怎么求？定理（展开） 对 n 阶矩阵 A ，有二、 性质 两组等式表明行列式可按任意第 i 行或第 j 列 展开计算，定理（展开） 对于 n 阶行列式 detA，有（3-6）(3-6)而 是其 i = 1 的特例.推论（转置）将行列式的各行依次换成同序号的列，其值不变，( det A )Tdefdet AT = det A 即行列式经过转置，其值不变：推论（数乘） 对 n 阶 矩阵 A 有定理（加法）若将 detA的某一列 (或行) ai 写成两个向量之和，ai = ci + di , 则 detA等于两个行列

5、式之和，结果，这两个行列式分别是在detA中用 ci 及 di 代替ai的定理(乘法) 若 A ，B 是两个同阶矩阵，则定理(交换) 对换两列 ( 或行 )的位置，行列式值反号:定理（数乘） 数乘行列式 detA，等于用乘它的某一列(或行)的所有元：推论（倍加）将行列式 的某一列 (或行) 的任意倍加到另一列 (或行) 去，值不变.推论 一列 (或行) 元全为零的行列式值为零.推论 若有两列 (或行) 元对应成比例，行列式 值为零.推论 有两列(或行)全同的行列式，其值为零.例 计算三、行列式值的计算例 计算下列行列式：行列式有什么用？对任一n 阶矩阵 A= aij ，用 adjA 记与 转置

6、伴随阵逆阵公式1 转置伴随阵定义 4之同阶的转置伴随矩阵 ，有(3-12) Aij Tadj Adef其中 Aij 是元 aij 在 A 中的代数余子式的值例 11 设求 adj A .定理 9 设 A 是 n 阶矩阵， adjA 为其转置伴随 矩阵，则有 今后，在遇到有关转置伴随阵的命题时应首先想到这一基本的关系，即式 (3-13)或(3-13).(3-13) 可逆阵及其逆矩阵是矩阵论中的重要基础概念 ,2 逆矩阵公式利用行列式可给出判明可逆阵的一个简单的条件,的基础上给出逆阵的一个公式 .并在定理 10 n 阶矩阵A为可逆阵的充分必要条件是 detA ，(3-14)此时有逆阵公式例 12

7、判断矩阵是否可逆？若可逆则求出 A-1 当系数行列式时，有惟一解定理 11 对 n n 线性代数方程组 , 称自由项全为零的线性代数方程组为齐次方程组 从这个定理可得关于 n n 齐次线性代数方程组的两个明显推论推论 1 对于 n n 齐次线性代数方程组 Ax = 0,当 det A时，只有一组零解（未知数全取零值的解） 齐次方程组的零解也称为平凡解，推论 2 若 n n 齐次线性代数方程组 Ax = 0 有非零解，则必 det A 0 xi 不全为零的那种解为 非平凡解 或 非零解而称各个利用行列式判断线性方程组解的情况有以下两方面局限性：1、系数矩阵是方阵2、行列式不等于零时有唯一解，等于

8、零呢？第4章 矩阵的秩和线性代数方程组的解矩阵的秩概念定义1 对m n 矩阵A, 称其一切非退化方子列式或者简称为子式，则定义可以说成r (A)是A的一切的非零子式的最高阶数.矩阵的最高阶数 k 为的秩(rank), 记作r (A), 并规定若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行r (O) = 0 .即若r (A) = k ,则A至少有一个取非零值的k阶子式，而任一k + 1阶子式(如果存在的话)的值必为零.例1求下列矩阵的秩:(1) (2) (3) .如何求秩有没有一类矩阵的秩很容易求出？任何一个矩阵是否可以化成这一类矩阵？化的过程中秩会怎么变？我们想到是否有类似于任何一个行列式可以化成上

9、三角行列式来求值类似的方法4.1.2 计算定义2 称对 k=1,2,m-1满足以下两个条件的 m n 矩阵为梯矩阵(echelon matrik):1.若第k行是零(即该行的元全为零)，则第(k+1) 行必为零.2.若有第(k+1)行是非零行，则其行的首非零元所在的列号，必大于第k行首非零元所在的列号.为梯矩阵,并求出r(A) .例2 说明定理1 任一m n矩阵A经过有限次行初等变换后秩不变.推论1 任一m n矩阵A经有限次列初等变换后秩不变. 推论2 设A是任一 m n矩阵,而B是m(或)n阶满秩矩阵,则必有 (或) (4-3)定理2 任一m n矩阵 A必可通过有限次行初等变换而化为梯矩阵.

10、 例对矩阵 依定理证明中的方式用行初等变换(今后就简称为行初等变换法),将其化为梯矩阵.以上两个定理可以简洁地表述为:等价矩阵的秩相等;任一矩阵必有与之等价的梯矩阵. 为计算矩阵 A的秩,可归结为求一个与A等价的梯矩阵,然后由数出该梯矩阵的非零行的行数而观察得到r(A).齐次方程组第二节 线性代数方程组的解非齐次方程组4.2线性代数方程组的解一个存在解的线性代数方程组称为是相容的,否则就是不相容或矛盾方程组.理性地描述一般齐次线性方程组的通解以及非其次方程组相容的条件及相容显性代数方程组解的结利用矩阵的概念可构.或写成矩阵-向量形式其中m n矩阵A=aij为方程组的系数矩阵, xT=x1 ,x

11、2 xn是n维未知数向量,而m维零向量0是取自由(4-4)(4-4)4.2.1 齐次方程组m n的齐次线性代数方程组为 项(或右端项)向量.因为齐次方程组所以总是相容的.在何种情况下有非平凡解,以及在有非零解的条件下,怎样表示出其所有的解.有个明显的平凡解，即零解于是,对齐次方程组,只需研究其能得出其任一解的通解式中含有n-r(A)个任意常数. 从定理看出，齐次方程组若有非平凡解，则必有无限多个解.定理3 方程组要条件是系数矩阵之秩r(A)小于未知数个数n ,且在存在非平凡解的充分必例4 求下列齐次方程组的通解：4.2.2 非齐次方程组一般的m n非齐次线性代数方程组的矩阵-向量形式为 (4-5)称m n矩阵A=aij为其系数矩阵，分块形式的 m (n+1)矩阵 为方程组的增广矩阵， x=x1 x2 xnT是n维的未知数向量, b=b1 b2 bmT是m维自由项(或右端项)非零向量.之具有相同系数矩阵的方程组或者称与为其对应齐次方程组(也称为导出组).与齐次方程组不同，非齐次方程组不一定有解，而有如下重要的相容性定理.定理4 对非齐次方程组如下结论：(1) 当 时，方程组相容，即有解.一确