2021-2022学年湖南省长沙市育英学校高三数学理期末试题含解析

1、2021-2022学年湖南省长沙市育英学校高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 图中共顶点的椭圆、与双曲线、的离心率分别为，其大小关系为A. B.C. D. 参考答案：C2. 设函数的导函数的最大值为3，则的图象的一条对称轴的方程是（ ）A B CD参考答案：D3. 记集合M=x|x|2，N=x|x23x0，则NM=（）Ax|2x3Bx|x0或x2Cx|0 x2Dx|2x3参考答案：A【考点】交集及其运算【分析】分别求出集合M，N，由此利用交集定义能求出NM的值【解答】解：集合M=x|x|2=x|x

2、2或x2，N=x|x23x0=x|0 x3，NM=x|2x3故选：A4. 圆上的动点P到直线x+y7=0的距离的最小值等于 （ ） A B C D 参考答案：答案：A 5. 函数f(x)x与函数g(x)在区间(，0)上的单调性为()A都是增函数B都是减函数Cf(x)是增函数，g(x)是减函数Df(x)是减函数，g(x)是增函数参考答案：D略6. 设全集等于 A4 B2，3，4，5 C1，3，4，5 D参考答案：A7. 已知实数满足等式下列五个关系式，其中不可能成立的关系式有( )A1个 B2个 C3个 D4个参考答案：B8. 已知定义在R上的函数满足，且时 ，则A-1 B0 C1 D1或0参考

3、答案：A略9. 若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( )A. 1B. 5C. 10D. 20参考答案：C【分析】由二项式展开式的各项系数之和为，求得，再结合展开式的通项，即可求解常数项.【详解】由题意，二项式展开式的各项系数之和为，令，可得，解得，则二项式展开式的通项为，令，可得常数项为.故选：C.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的系数的求法，以及二项展开式的通项是解答的关键.着重考查了计算能力，属于基础题.10. 函数的值域为D，若，则实数a的取值范围为（ ）A(,1 B(,2 C. (0,2 D2,+) 参考答案：B二、 填空题:本大题共7

4、小题,每小题4分,共28分11. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数k, 对定义域中的任意，等式恒成立现有两个函数，则函数、与集合的关系为 参考答案：12. 某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中ABC=60，BCD=135，AB=80nmile， BC=40+30 nmile，CD=250nmile现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，则收到指令时该轮船到城市C的距离是 nmile参考答案：100【考点】HU：解三角形的实际应用【分析】求出AD，可得DAC=90，即可得出结论【解答】解：

5、由题意，AC=50nmile，60min后，轮船到达D，AD=501=50nmile=sinACB=，cosACD=cos（135ACB）=，AD=350，cosDAC=0，DAC=90，CD=100，故答案为100【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题13. 设抛物线的焦点为F,已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为 参考答案：114. 为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间50,100上，其频率分布直方图

6、如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 参考答案：120015. 已知平面向量，的夹角为，|=2，|=1，则|+|= 参考答案：考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：运用数量积的定义求解得出=|?|cos，结合向量的运算，与模的运算转化：|+|2=（）2=|2+|2+2，代入数据求解即可解答：解：平面向量，的夹角为，|=2，|=1，=|?|cos=2=1，|+|2=（）2=|2+|2+2=4+12=3，即|+|=故答案为：点评：本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题16. 已知，各项均为

7、正数的数列满足，若，则 .参考答案：略17. 已知，且的夹角为锐角，则的取值范围是_。参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数 (I)若 ，求函数 的单调区间；高 考 资 源 网()若 ，使不等式 成立，求a的取值范围参考答案：略19. （本小题满分13分）已知等比数列an的公比，前n项和为Sn，S37，且，成等差数列，数列bn的前n项和为Tn，其中N*（1）求数列an的通项公式； （2）求数列bn的通项公式；（3）设，求集合C中所有元素之和参考答案：（1）， ，成等差数列， 2分得，即 又由得， 消去得，解得或（舍去） 4分（

8、2）当N*时，当时，当时，即 6分， ，即，故N*） 9分（3）， 11分A与B的公共元素有1，4，16，64，其和为85，集合C中所有元素之和 13分20. 在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P到坐标原点O的距离参考答案：（1），；（2）（1）将代入，整理得，所以直线的普通方程为由得，将，代入，得，即曲线的直角坐标方程为（2）设，的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的角坐标方程得，化简得，由韦达定理

9、得，于是设，则，即所以点到原点的距离为21. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、6分、8分.已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点，是它的一条渐近线的一个方向向量.求双曲线的方程；若过点()任意作一条直线与双曲线交于两点 (都不同于点)，求证：为定值；对于双曲线G:，为它的右顶点，为双曲线G上的两点(都不同于点)，且，那么直线是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求

10、解或证明过程）.情形一：双曲线及它的左顶点； 情形二：抛物线及它的顶点；情形三：椭圆及它的顶点.参考答案：解：(1)设双曲线C的方程为，则，.2分又 ，得，所以，双曲线C的方程为. .4分当直线垂直于轴时，其方程为，的坐标为(,)、(,)，得=0. .6分 当直线不与轴垂直时，设此直线方程为，由得 . 设，则, ，.8分故.9分=0 . 综上，=0为定值. 10分(3)当满足时，取关于轴的对称点、，由对称性知，此时与所在直线关于轴对称，若直线过定点，则定点必在轴上. .11分设直线的方程为：， 由，得 设，则, ， 由，得， 即， 化简得， 或 (舍)， .13分 所以，直线过定点(,0).

11、.14分情形一：在双曲线G ：中，若为它的左顶点，为双曲线G上的两点(都不同于点)，且，则直线过定点(,0). .15分情形二：在抛物线中，若为抛物线上的两点(都不同于原点)，且，则直线过定点. .16分情形三：（1）在椭圆中，若为它的右顶点，为椭圆上的两点(都不同于点), 且，则直线过定点(,0)；.15分（2）在椭圆中，若为它的左顶点，为椭圆上的两点(都不同于点)，且，则直线过定点(,0) ；.16分（3）在椭圆中，若为它的上顶点，为椭圆上的两点(都不同于点), 且，则直线过定点(0,)； .17分（4）在椭圆中，若为它的下顶点，为椭圆上的两点(都不同于点), 且，则直线过定点(0,). .18分略22. 已知椭圆的离心率为，一个焦点为（