兰州大学2006年2007年数分考研试题及解答

1、PAGE PAGE 14兰州大学2006年数学分析试题及解答一1. 求.解：由，得.求.解：，所以.求，.解： .求级数的和函数和收敛区域.解：设，显然有，于是当时，收敛；当时，发散.显然收敛，当，或者时，收敛，故级数的收敛域是；设，从而.设在有限区间上连续，并且，存在.证明：在上一致连续.证明：记，,作，由已知条件，得在上连续，从而在上一致连续，更有在上一致连续，即在上一致连续.若在的邻域上有定义，并且在处的左导数和右导数存在，证明：在处连续.证明：由 ； ，知，即得在处连续.计算曲线积分，其中为沿椭圆的逆时针方向.解：设，取充分小，使得包含于内，由Green公式，知 .设在上连续，并且，证

2、明：，使得.证明：由题意，即对任意，有，特别取，有，使得， ；我们构造数列如下：或者，取或；且，此时由连续函数的介值定理，存在或者，使得.于是有性质： （1），且； （2）.设是上的连续函数，且满足，其中，.证明：存在，使得.证明：由题意，对每一正整数，存在，使得当时，有，而在有界闭集上连续，有最小值，于是在上有下界，设，存在，时，所以，由于在上连续，故存在，使得.设，令，证明：在上一致收敛于零.证明：由，知有界，存在，使得，由，利用数学归纳法知 ，于是，又，从而在上一致收敛于零.设在带型区域上的二元连续函数，并且关于满足Lipschitz条件，即存在常数使得对任意的，有，证明：初值问题在区间

3、上有唯一连续的解，其中.证明：作上的函数列，由在作为的函数在上连续，得在上有界， ， ， ，从而 ，于是在上一致收敛，在上一致收敛，即有函数列一致收敛，设，则有在上连续，且一致收敛于，在中，令，取极限有，故是初值问题的解.兰州大学2007年数学分析试题及解答一1. 求.解： .求解： .求，.解：因为，所以.求.解：.5. 求，其中为圆周的逆时针方向.解：，.讨论级数的敛散性，其中，.解：（1）当时，由，及比较判别法知原级数收敛，当时，由，及积分判别法知，时，原级数发散， 时，原级数收敛.，取，由 及比较判别法知，原级数发散.证明：.证明：由的Taylor展式知，.设关于，均是一元连续函数，举

4、例说明可以不是二元连续函数；证明：当关于单调时，是二元连续函数.证明：（1）取，即有之；任意，由题意在处连续，而有，使得时，有；由，都在处连续，而对上述，存在，使得时，有，；于是对，若递增，则 ，若递减，则，于是有，故在处连续.令，试求.解：由题意 ， ， 即.设是上的连续函数，是在上的唯一零点，并且.试证明：收敛.证明：由题设条件及连续函数的介值性，下列两种情况有且仅有一种发生，；，.又，即，从而，时，即，从而只以点为瑕点.再由，及比较判别法知，收敛.求，其中.解：.对，记，其中是整数集.试证明：（1）是上周期为的连续函数；是上的连续函数.证明：（1）证法一 ，使得，当时，此时，且当时，从而，b）当，此时，取，当时，而也有，c）当，此时，取，当时，而也有，从而是上周期为的连续函数，证法二 因为 ，所以是以为周期的周期函数.由，得，进而，即，由对称性，还有，故有，由此，显然可知