定积分的概念和基本性质

1、关于定积分的概念和基本性质1第1页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三2 例: 求曲线 y=x2、直线 x=1和 x轴所围成的曲边三角形的面积。x yOy=x214.3.1 引出定积分定义的例题第2页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三3x yOy=x21(4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积：(1)分割(2)近似(3)求和第3页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三4x yOy=x21(4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积：(1)分割(2)近似(3)求和第4页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三5x yOy=x

2、21(4)取极限 取Sn的极限，得曲边三角形面积：(1)分割(2)近似(3)求和第5页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三6分 割求 和近 似取极限把整体的问题分成局部的问题在局部上“以直代曲”, 求出局部的近似值；得到整体的一个近似值；得到整体量的精确值； 例: 求曲线 y=x2、直线 x=1和 x轴所围成的曲边三角形的面积。第6页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三7 一般地，求由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积的方法是： y=f(x)bx yOaxi-1xi=x0 xn=xi第7页，共28页，2022年

3、，5月20日，22点2分，星期三8例2设物体沿直线作变速运动，速度为 v =v (t), 假定v (t)是 t 的连续函数，求此物体在时间区间 a, b 内运动所走距离 s 。tOtn=t0t1ti1 titn1 abti引出定义的实例二：求物体作变速直线运动所经过的路程 解： (2) 在第 i ( i1, 2, , n) 个时间段 ti1, ti上任取一时刻 i，用v(i)Dti近似替代物体在第i个时间段所走距离: Dsiv(i)Dti 。(1) 用分点 t=ti (ti10, f(x)0, 利用定积分几何意义验证：定积分的几何意义第19页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期

4、三20 性质1：4.3.2 定积分的基本性质有限个可积函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即若fi(x) (i = 1, 2, , n)在a, b内可积，则有第20页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三21 性质2：4.3.2 定积分的基本性质一个可积函数乘以一个常数之后，仍可为可积函数，且常数引资可以提到积分符号外面，即若 f(x)在a, b上可积，则 cf(x)在a, b上也可积（c为常数），且满足第21页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三22 性质3：积分的可加性定理4.3.2 定积分的基本性质设f(x)在a, b内可积，若acb, 则f(x)在

5、a, c和c, b上可积；反之，若f(x)在a, c和c, b上可积，则f(x)在a, b内可积，且有第22页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三23 性质4：积分的可加性定理4.3.2 定积分的基本性质交换积分上下限，积分值变号，即特别地，若a=b，则第23页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三24 性质5：4.3.2 定积分的基本性质设f(x)和g(x)在a, b上皆可积，且满足条件f(x) g(x)，则有第24页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三25 性质6：4.3.2 定积分的基本性质第25页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三26 性质7：4.3.2 定积分的基本性质若函数f(x)在a, b上可积，且最大值与最小值分别为M和m，则推论：若函数f(x)在a, b上可积，则第26页，共28页，2022年，5月20日，22点2分，星期三27 性质8：定积分中值定理4.3.2 定积分的基本性质设f(x) 在区间a, b上连续，则在a, b内至少有一点 (a b), 使得下式成立：同时， 我们称下式为f(x)在a, b上的平均值第27页，共28