刚体翻倒过程瞬态分析

1、刚体翻倒过程瞬态分析 钟鸣 刚体翻倒可能有两种状态：无滑动翻倒与滑动翻倒。本文利用相图，把刚体翻转的状态分 析转化成刚体的运动轨线与临界曲线在相图中的几何关系分析。讨论了转动惯量和摩擦角 取一切可能值的情况下，刚体无滑动翻转的发生的条件。利用非线性偏微分方程稳定性理 论，定性分析了滑动翻到的情况。最后初步研究了一种更具普遍性的刚体翻转模型。一.翻转状态定义与符号说明 定义：与地面接触点相对地面静止的翻转为无滑动翻转，反之为滑动翻转。符号说明：符号意义Eo初始能量M刚体质量I刚体关于与地接触点的转动惯量R质心与对地接触点的距离6翻转角度g重力加速度卩刚体与地摩擦系数N地面对刚体支持力f地面对刚体

2、摩擦力0p = tan 0o翻转角速度P翻转角加速度ax质心加速度水平分量ay质心加速度竖直分量二.刚体翻转边界条件分析现讨论刚体在无滑动翻转与滑动翻转之间转换的边界条件。 由动力学方程组：MgR sin 6 二邛Mg cos6 - N cos6 - f sin6 = MRMg sin 6 一 N sin 6 + f cos 6 = M P R解得：N = Mg -M2R cos6 - MR2g 沁 6f = M 2R2g 学9 竺9 - M 2 R sin 9令f =卩|N|，当/ 0，摩擦力方向向右时，有/二卩N，解得:MR2MR 2g (1 )sm 0+sin 20) 2 二 212Rs

3、in(0 0)定义函数：F(A定义函数：F(A)= (1- A Si神 + ASin(Q-20)NSin(0 9)gMR 2即2 = RFn （寸，0，9），称该表达式为左滑临界曲线。当轨线进入该曲线下方时刚体向左滑动。同理，当f gF (MR 2,兀,6)R N 21R N 212兀当6 e *，时,g F (MR2, e, 6) Sin-1（电）时，左滑临界曲线与横轴相切，左滑区域不存在，刚体不可能向左滑MR21 21动。再令2MR24MR再令2MR2 TOC o 1-5 h z X1j当e,0G0,巧时，解得e = Cos-1(I ),222MR 21+此时右滑临界曲线在e =n/2处的

4、斜率与无滑动翻转的轨线的斜率相同。由数值分析可知，在e叮弓e，9 G0,情况下，总有:MR2i 4MR2 TOC o 1-5 h z 211iMR 2Sin-1(一21 ) Cos-1(1 )，下图是两者之差与的关系曲线。MR2 22 MR22 IMR 2MR2Sin-1 (MR 2MR2Sin-1 (21MR2 1 214MR21-)e Cos-1(12MR 21 +现在可以把e分成0e Sin-1(),MR21214MR2Cos-1(I ) e 三段进行讨论。2 MR 221 +IMR2当0 e Sin-1 (=I )，左滑临界曲线与横轴有两个交点： MR21 一21 TOC o 1-5

5、h z MR2MR2）si神）+2）si神）+2，易知91叫9 = Sin-1(21 )Sine) + ，9 = - Sin-1(211 2MR222 2 2MR21T21Xg MR 2右滑临界曲线与纵轴9 =-有交点-2 l =（1 一 丁）咖，右滑临界曲线左滑临界曲线右滑临界曲线左滑临界曲线刚体翻转轨线不妨令刚体翻转轨线为：2 = | (1- MR2)Tan - 2盹簣題，该轨线恰好在右滑临界R IIMR21 曲线以下，与横轴交点为e 3易知：6二Cos-1(,丄)Tan)，由数值分析可得在332MR 2讐e42, 0,強0,|情况下总有：63叫即该轨线总在左滑区间之外。下图为0，为0，M

6、R-取不同值时63-62的变化图线MR2结论：在0 Sin-1(传)情况下，当MgR Eo R(I - MR2)Tan0时刚体无滑2I1 2I动翻转。 TOC o 1-5 h z MR24MR21 -当Sin-i(电 )Cos-1(1 )时，不存在左滑区间，且由数值分析可得，在MR22MR21 1 +21IMR2 r 1 1兀d MR2.2MgRCosOw匕，,w o,牙情况下，轨线= (1)兀神与右滑2I 4 22R II临界曲线仅在e = n /2处有交点。即该轨线总在右滑区间之外。故只需继续满足MgR E g (I MR2)Tan，即可保证刚体无滑动翻转。oR右滑临界曲线左滑临界曲线刚体

7、翻转轨线4MR21 I1右滑临界曲线左滑临界曲线刚体翻转轨线4MR21 I12MR 21 +、 丄 兀)时，不存在左滑区间，但此时右滑临界曲线在e =n/2处的斜2率比无滑动翻转的轨线的斜率大，故轨线需要和右滑临界曲线相切，才能保证轨线在右滑区间外，需求解方程组：MR2 木 口、2E2MR2口d F (,札一8) 一o +Cos8 N 21I I二 o502L2Lg F (MR 2F (R N 2I2E2MgRCos00L L获得切点坐标ce L，叫）和临界能量E ，只要满足MgR E E即可保证刚体无滑L L0 L0 0 L动翻转。右滑区间无滑区间L，叫）右滑区间无滑区间L，叫）右滑临界曲线

8、左滑临界曲线刚体翻转轨线e =n /2滑动翻转分析轨线一旦进入左滑动区间，将发生滑动翻转卩 N = e =n /2滑动翻转分析轨线一旦进入左滑动区间，将发生滑动翻转卩 N = Ma ； Mg cos N = Maxy由动力学方程：(N sin 6 卩 N cosO) R = (IMR2) pRP sinO + R2 cosO = ay令n = 可得到支持力换向曲线2 = Rcoso，进一步求解可得:2()(1 + 口 2 ( 2CosO) Sin(O Q) =21R1 2( MR2) + 2( MR2 )J1 +卩 2SinO Sin(O Q)利用非线性偏微分方程稳定性分析理论可知，上述方程有

9、不动点：0,o=k兀+e,其中k = 0丄2,3.在不动点附近有:（dO、,d忆（dO、,d忆0g（1）k 2（讐人丘(dOA，有特征根九MR2(1-2(：；)/ 八MR2、rg (1)k 2( 2i A/1 +A2 R(1- 2(讐)在-0图中，当k为偶数时轨线为不稳定解，当k为奇数时轨线为周期解 易知：=篇，故当或叫Rso时有护0，故在Rcoso下方的 轨线不可能穿过3=：示缶，对于实际刚体翻转，其初状态必然位于支持力换向曲线以 下，因此刚体在翻转过程中不可能脱离地面。可知3-0相图如下令e T-e，即可得到右滑翻转结果，此时有不动点3=o,o=k兀-e其中k=o丄2,39相图与左滑情况的

10、相似。C兀当然，刚体翻转的实际轨线只局限于上图的区间0,-内，支持力换向曲线=RCosB以下。现在把刚体翻转推广到一种更普遍的刚体转动模型，如下图所示，刚体绕转动轴在数值平 面内转动，该轴被一半径更大的外轴套住，两者光滑无摩擦。外轴可沿导轨来回移动，两 者之间有摩擦。此时刚体将出现上述相图所描述的复杂转动。当刚体获得较大初动能，以致导轨作用力朝下时，刚体角速度将出现先变大后变小再变大 的过程，是由于重力势能和摩擦耗散之间的复杂转换导致。当刚体在竖直平面内转动时，左滑与右滑交替发生，如图可知左右滑的相图左右对称，但 右滑的不动点都比左滑不动点向左平移两倍的摩擦角，故每次交替，轨线整体向下一个不

11、动点平移一段距离，不稳定的轨线将逐渐趋于周期轨线，若某时刻外轴相对导轨静止瞬间， 刚体已经进入无滑区间，刚体将停止滑动，在平衡位置来回摆动，这是由于摩擦耗散使能 量降低所致。当上述刚体从竖直位置静止翻转，摩擦系数不太大的情况下，满足方程：话人时（R二）心）（2k込2如叟） TOC o 1-5 h z ）J1 +卩 2 Sin Sin（e-）22=.MR =.MR 2MR 21 - 2( ) + 2(212IMR 2g)、：1 + 卩2 (-2Cos0)Sin -)R q =21R(2k + 1)k - 9 (2k + 1)k + 1 - 2(MR2) + 2(MR2)J1 +卩2 Sin Sin(9 -)229 = q下图反映了上述装置从竖直位置出发，经历了 6 次左右滑动交替，将更靠近不动点，某时 刻转动轴相对地面静